求函數最值的方法總結

1、求函數最值的常用以下方法：1. 函數單調性法先確定函數在給定區(qū)間上的單調性，然后依據單調性求函數的最值.這種利用函數單調性求最值的方法就是函數單調性法.這種求解方法在高考中是必考的，且多在解答題中的某一問中出現.1例1設a1,函數f(x) = log ax在區(qū)間a,2a上的最大值與最小值之差為？，那么a=.思路先判斷函數在指定區(qū)間上的單調性，再求出函數的最值，然后利用條件求得參數a的值.解析Ta1,.函數f(x) = log ax在區(qū)間a, 2a上是增函數，二函數在區(qū)間a,2a上的最大值與最小值分別1為 log a2a, log aa= 1.log a2= q, a= 4.故填 4.講評解決這

2、類問題的重要的一步就是判斷函數在給定區(qū)間上的單調性.這一點處理好了，以下的問題就容易了.一般而言，對一次函數、幕函數、指數函數、對數函數在閉區(qū)間 m n上的最值：假設函數f(x)在m n上單 調遞增，那么 f (x) min= f(n) , f(x)max= f(n )；假設函數 f ( X)在g E 上單調遞減，那么 f ( x) min = f ( n) , f ( x) max= f ( ； 假設 函數f(x)在m n上不單調，但在其分成的幾個子區(qū)間上是單調的，那么可以采用分段函數求最值的方法處理.2. 換元法換元法是指通過引入一個或幾個新的變量，來替換原來的某些變量(或代數式)，以便使

3、問題得以解決的一種數學方法.在學習中，常常使用的換元法有兩類，即代數換元和三角換元，我們可以根據具體問題與題目形式去靈活 選擇換元的方法，以便將復雜的函數最值問題轉化為簡單函數的最值問題，從而求出原函數的最值.如可用三角代 換解決形如a + b2= 1與局部根式函數形式的最值問題.例2 (1)函數f (x)= x + 21 _ x的最大值為:解析方法一：設 .1-x= t(t 0),x= 1 t2, y = x+ 2 1 x= 1 t2 + 2t=t2 + 2t + 1 = (t 1)2 + 2,當 t = 1 即 x = 0 時，ymax= 2.方法二：f(x)的定義域為x|x 1,f (X

4、)=1由 f(x) = 0 得 x= 0.Ov x 0, f(x)為增函數.當 x= 0 時，f ( x) max= f(0) = 2.求函數y= x+“ 4-x2的值域.解析 換元法：由4 x20得2x2,二 f(t) = t2 2at + 2a2 2= (t a)2 + a2 2 的定義域為2，+乂).t拋物線y=f(t)的對稱軸為t = a,當 a2 且 a0 時，ymin = f(2) = 2(a 1)2；當 a2 ab(a, b為實數)；ab(a0, b0)；2 2a+ b 2 a + b“宀業(yè)廠abw(w)0,所以函數的定義域為x| 3 x b,例 6 對 a, bR,記 ma*a,b|=函數f(x)= ma*|x +1| , |x-2|( x R)的最小值是,b, a| x-2| ,1得(x+ 1)2(x 2)2，所以 x21 |x + 1| , x2, 所以f (x)=1 |x 2| , xx, x 1,如果點O為坐標原點，那么| OP的 最小值等于最大值等于.思路此題實質上可以視為線性規(guī)劃問題，求解時，先找出約束條件，再畫可行域，最后求出最值.解析由題意，得點P(x， y)的坐標滿足y?x，x 1.畫出可行域，如下列圖.由條件