歐氏幾何公理體系

1、第一講 歐氏幾何公理體系目錄一、幾何概述 P1二、公理化方法的內(nèi)涵與意義 P1三、歐幾里得?幾何原本?簡介 P2四、完備化的希爾伯特公理體系 P5五、中學(xué)幾何公理系統(tǒng) P8一、幾何概述二、公理化方法的內(nèi)涵與意義1什么是公理化方法公理化方法是 “從某些根本概念和根本命題出發(fā)， 依據(jù)特定的演繹規(guī)那么， 推導(dǎo)一系列的 定理，從而構(gòu)成一個演繹系統(tǒng)的方法。 一般由 4 局部組成：(1) 原始概念的列舉(2) 定義的表達(3) 公理的列舉(4) 定理的表達和證明4 個局部不是獨立地表達和展開，而是相互交叉、相互滲透、相互依賴地按照邏輯原那么 演繹和展開的。 原始概念和公理決定幾何體系的根底， 不同的根底決

2、定不同的幾何體系。 如 歐氏幾何、羅氏幾何等。原始概念包含原始元素(圖形 )和原始關(guān)系兩類原始元素如點、直線和平面等，原始關(guān)系如結(jié)合關(guān)系、順序關(guān)系、合同關(guān)系等。原始概念沒有定義，但它們的 屬性隱含在公理中，如平面的屬性，中學(xué)給出三個公理： 一直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么直線上所有點都在平面內(nèi)； 兩平面有一公共點，那么它們有且僅有一條過公共點的直線； 過不在同一直線上的三個點，有且只有一個平面。公理是“在一個系統(tǒng)中已為反復(fù)實踐所證實而被認(rèn)為不需要證明的真理，具有自明性. 。一般來說，公理被人們普遍接受，無須證明，但后來發(fā)現(xiàn)，有些公理并非十分顯然， 如第五公設(shè)。因此， 人們選用某些命題作為一種演

3、繹推理的出發(fā)點，并非一定要自明， 只要 大家能接受就行，實質(zhì)在于符合經(jīng)驗。2公理系統(tǒng)的三個根本問題1相容性 無矛盾性 假設(shè)由公理系統(tǒng)不能推出兩個矛盾的命題， 那么稱該公理系統(tǒng)是相容的。 靠演繹推理的方法 證明系統(tǒng)刀的無矛盾性是不可能的， 因為無論推出多少個命題沒有出現(xiàn)矛盾， 也不可能保 證繼續(xù)推下去保證永遠不會發(fā)生矛盾。要證明無矛盾性，數(shù)學(xué)上用解釋即作模型 的方法。先找一個模型 M,使M的事物與刀的命題形成一一對應(yīng)關(guān)系， 我們先確定 M的事物是存在的， 或假設(shè)它是存在的， 后一情況，我們只證明了公理系統(tǒng)在 M存在的條件下是無矛盾的， 即刀 相容是有條件的， 如歐氏幾何的相容性歸結(jié)為自然數(shù)的皮亞

4、諾公理的相容性，而它又歸結(jié)為集合的相容性，而集合的無矛盾性至今也沒有解決。2獨立性 公理數(shù)量最少問題 確定刀中每個公理是必要的， 不是多余的，不能由其它公理導(dǎo)出， 保證公理是最少個數(shù) 問題。解決起來很困難，如第五公設(shè)。在實際教學(xué)中，從學(xué)生的現(xiàn)有知識水平出發(fā)，為了提 高教學(xué)效率，成心多列一些公理，便于論證。3完備性 公理個數(shù)最大化問題 公理個數(shù)盡可能多，保證每個定理均能推出。 ?幾何原本?所列的公理是不夠的，證明 中借助了幾何直觀和其它默契， 如無順序性等。公理的完備性相當(dāng)復(fù)雜，到目前為止， 希爾 伯特在 ?幾何根底? 中才將歐氏幾何的公理完備性解決。 一般地， 多數(shù)數(shù)學(xué)理論是以不完備 的公理系

5、統(tǒng)為根底的，如群論 存在不同構(gòu)的群。對于一個刀，要求必須是相容的，最好是 獨立的，是否完備那么視需要而定。3公理化方法的意義和作用關(guān)于公理化思想方法的作用，徐利治歸結(jié)為以下 4 點： 這種方法具有分析、總結(jié)數(shù)學(xué)知識的作用。凡取得了公理結(jié)構(gòu)形式的數(shù)學(xué)，由于定理和 命題均已按邏輯演繹關(guān)系串聯(lián)起來，故使用起來也較方便。 公理化方法把一門數(shù)學(xué)的根底分析得清清楚楚，這就有利于比擬各門數(shù)學(xué)的實質(zhì)性不 同，并能促使和推動新理論的創(chuàng)立。 數(shù)學(xué)公理化方法在科學(xué)方法上有示范作用。 這種方法對現(xiàn)代理論力學(xué)及各門自然科學(xué)理 論的表述方法都起到了積極的借鑒作用。 例如， 19世紀(jì) 40年代波蘭的 Banach 曾完成了

6、 理論力學(xué)的公理化；而物理學(xué)家亦把相對論表述為公理化形式 公理化方法所顯示的形式的簡潔性、條理性和結(jié)構(gòu)的和諧性確實符合美學(xué)的要求，因而 為數(shù)學(xué)活動中貫徹審美原那么提供了范例。三、歐幾里得?幾何原本?簡介歐幾里得 是柏拉圖 的學(xué)生，以其?幾何原本?聞名于世，但身世不詳，沒有哪位偉人能 象他那樣聲譽持久。 其奉獻在于對前人的材料加以整理， 并在書中作了系統(tǒng)闡述， 于公元前 300 年完成?幾何原本? 。本人是一個溫和敦厚的教育家，受托勒密一世之邀，長期在亞歷 山大城進行教學(xué)和研究工作。他反對學(xué)數(shù)學(xué)投機取巧，也反對狹隘的實用觀點。一次， 托勒 密問他有無學(xué)習(xí)幾何的捷徑，答復(fù)說： “在幾何里， 沒有專

7、為國王鋪設(shè)的大道。 成為千古傳 誦的學(xué)習(xí)箴言。又一個學(xué)生問學(xué)習(xí)幾何后能得到什么，歐幾里得答復(fù)說： “給他三個錢幣， 因為他想在學(xué)習(xí)中獲得實利。 ?幾何原本?先以手抄本流傳，在有印刷術(shù)后，先后有 1000 多種版本，在西方是僅次 于?圣經(jīng)?的出版量最多的書，其影響之深遠，以致使歐幾里得和幾何學(xué)成了同義詞。1?幾何原本?簡介?幾何原本?由希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得Euclid，公元前300年前后所著，是用公理方法建立演繹數(shù)學(xué)體系的最早典范。是至今流傳最廣、影響最大的一部世界數(shù)學(xué)名著。?幾何原本?共 13 卷。每卷或幾卷一起都以定義開頭。第卷 首先給出 23 個定義，摘要列舉如下：(1)點沒有大小(2)線有

8、長度沒有寬度；(3) 線的界是點(4) 直線是與其上的點看齊的線(5) 面只有長度和寬度(6) 面的界是線(7) 平面是與其上的直線看齊的面(8) 平面角是平面上兩相交直線的傾斜度(15) 圓是包圍在一 (曲 )線里的平面圖形， 使從其內(nèi)某一點到該線的所有直線段彼此相等(16) 于是那一點便叫做圓的中心 ( 簡稱圓心 )(23)平行直線是這樣的一些直線，它們在同一平面內(nèi)，而且往兩個方向無限延長時，在 兩個方向上都不會相交接著給出五條公設(shè)：I 從每個點到另一點可引直線.I I 每一直線都可無限延長III 以任意點為中心可用任意半徑作圓.W.所有直角彼此相等.V ( 在同一平面內(nèi) )如果兩條直線與

9、第三條直線相交，某一側(cè)的兩個內(nèi)角之和小于二直角，那么把兩條直線向該側(cè)充分延長后一定相交.接著給出五條公理：I 等于同一量的量相等.II 等量加等量其和相等.川等量減等量其差相等.W.彼此重合的量相等.V 整體大于局部. 這里，歐幾里得把公設(shè)看成僅適于幾何的公理，把公理看成既適用于算術(shù)又適用于幾 何.現(xiàn)在的幾何學(xué)把兩者都稱為公理， 不再區(qū)分公設(shè)和公理， 而后五條算術(shù)公理一般不再明 文列出.第一卷的后面提出 49 個命題和證明等論述，討論有關(guān)平行線的判別和性質(zhì)，三角形 的全等和邊角關(guān)系，垂線、平行四邊形、多邊形面積和勾股定理等.第二卷 本卷編寫的是用幾何方法研究代數(shù)恒等式，即幾何中的代數(shù)共提出14

10、個命題,其中包括線段的計算，黃金分割，多邊形變形為等積正方形等.第三卷 本卷編寫了與圓有關(guān)的定理，共提出 37 個命題其中有關(guān)于弦、圓心角、圓周角、 切線、割線、圓冪等定理，這些就是現(xiàn)在中學(xué)幾何中所提出的定理，證法也根本相同第四卷 本卷編寫了圓的內(nèi)接和外切多邊形的性質(zhì)，以及正多邊形的作圖等，最后一個命題 是作圓的內(nèi)接正十五邊形，共提出 16 個命題第五卷 本卷編寫了比例論，是在歐多克斯研究成果的根底上開展而成的歐幾里得首先給 出同類的兩個量之比，四個量成比例等定義，提出更比、反比、合比、分比等性質(zhì)，共提出25 個命題第六卷 本卷編寫了相似形理論，以及求作一些比例量的作圖，共提出 33 個命題大

11、局部 和現(xiàn)行中學(xué)幾何教材一致，其中第 31 命題是畢達哥拉斯定理的推廣第七、八、九卷 是有關(guān)數(shù)論的知識，討論了整數(shù)及整數(shù)比的性質(zhì)，是純粹討論數(shù)的，其論 證不依賴于幾何第十卷 本卷表達了整數(shù)開平方的幾何運算， 以及對無理數(shù)度量的分類， 共提出 115 個命題第十一到十三卷 編寫的是立體幾何，以及求面積、體積的“窮竭法第十一卷 表達了立體幾何的根本定理，包括空間點、直線、平面相互位置關(guān)系的一系 列定理；關(guān)于多面角的理論；相似立體形、棱柱、棱錐、棱臺、圓柱、圓錐、圓臺、球等概 念和性質(zhì)其中大部與現(xiàn)行中學(xué)立體幾何課本的內(nèi)容相同第十二卷 本卷編寫了幾何體的外表積和體積的有關(guān)定理，包括曲線和曲面所圍成的形

12、 體的面積和體積集中研究了歐多克斯研究過的“窮竭法 本卷共提出 18 個命題所謂“窮竭法 ，舉例說，為證明兩圓面積之比等于其直徑平方之比，可以通過圓的內(nèi) 接正多邊形， 當(dāng)邊數(shù)不斷增加時， 正多邊形的面積逐漸接近圓的面積， 而定理對正多邊形成 立，就證明它對圓也成立 “窮竭一詞起因于相繼作圓的內(nèi)接多邊形， 當(dāng)邊數(shù)無限增多時， 窮竭了圓的面積， 不過歐幾里得避開了極限的概念 歐幾里得把這種方法推廣到求空間圖形 的體積上第十三卷 編寫了正多邊形本身的性質(zhì)及內(nèi)接于圓的性質(zhì)、球的內(nèi)接正多面體的性質(zhì)和 作圖，以及確定五種類型正多面體等共提出 19 個命題正多面體不能多于五種的證明， 是根據(jù)第十一卷命題 2

13、1“ 多面角各面角之和小于 360° 來完成的 假設(shè)正多面體各面都是正三角形時， 當(dāng)時每個頂點都有三個正三角形時， 那么正四 面體 ;當(dāng)過每個頂點都有四個正三角形時，那么得正八面體；當(dāng)過每個頂點都有五個正三角形 時，那么得正二十面體 過每個頂點不能有六個以上的正三角形， 因為這時多面角之和就要等 于或者大于 360°假設(shè)正多面體的面都是正方形，過每個項點的正方形只能有三個，這便 是正六面體； 假設(shè)正多面體的面都是正五邊形， 過每個頂點只能有三個正五邊形， 這便是正 十二面體此外再不能有其他情形了。2?幾何原本?的偉大奉獻?幾何原本?內(nèi)容是相當(dāng)豐富的我們說?幾何原本?是一部不

14、朽的經(jīng)典著作，可以舉 出很多事例，但歸納起來主要有三個方面：第一 ，從科學(xué)和數(shù)學(xué)本身來看， 它是歷史上第一部真正的、 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)科學(xué)理論著作 它 把公元前 3 世紀(jì)以前所積累的經(jīng)驗幾何和早期推理幾何的龐大的幾何知識， 加工整理成理論 體系，為后來幾何開展奠定了堅實的根底 實際證明， 它是幾何學(xué)開展的一個重要的里程碑， 是人類文明遺產(chǎn)中的瑰寶第二 ，從科學(xué)方法論的角度來看，歐幾里得吸取了亞里士多德的關(guān)于建立科學(xué)理論的思 想，總結(jié)了古希臘各個學(xué)派對幾何學(xué)方法的研究成果，在 ?幾何原本?中確立了古典公理化方法.?幾何原本?從少數(shù)根本概念和公理出發(fā)，運用形式邏輯的原理，把幾何學(xué)編排成由 概念、公理、命

15、題組成的演繹體系.他的思想方法和示范性的工作，為幾何學(xué)的研究開創(chuàng)了史無前例的新的途徑， 為公理化方法奠定了良好的開端.在此根底上公理化方法逐步開展成為近代公理化方法，并超越幾何學(xué)的界限，被應(yīng)用到整個數(shù)學(xué)和其他科學(xué)領(lǐng)域.第三，從數(shù)學(xué)教育方面來看，由于?幾何原本?已把幾何知識編排成系統(tǒng)的科學(xué)著作， 自然就成為傳播幾何知識的重要教材，它在世界上引起的巨大影響， 使歐幾里得的名字幾乎成為幾何學(xué)的代名詞了.世界上各國的中學(xué)幾何教材，幾乎都是以?幾何原本?的內(nèi)容、方 法編排而成的.3.?幾何原本?缺乏之處?幾何原本?雖是不朽的著作，但由于時代和當(dāng)時科學(xué)開展的局限性，難免存在許多缺陷.主要的是以下三個方面：

16、第一，歐幾里得在?幾何原本?中試圖對每個概念都給出定義，實際上是不可能的.因 此一些定義，如開頭的 7個定義不過是對點、 線、面等幾何概念的直觀描述，它們在以后的 推理論證中根本不起作用；還有一些定義模糊不清，令人費解，如“直線“平面等概念；還有一些定義利用了未加定義的概念，如“界限“長度等等.總之，在概念的處理上存在一些問題.第二，?幾何原本?中作為演繹、推理根底的公設(shè)不夠用.希爾伯特對歐幾里得幾何給 出了 20條公理，不多不少正好夠用，而?幾何原本?僅給出 5條公理即5條公設(shè)，不含算 術(shù)公理，顯然缺少很多，有許多命題的證明由于缺少論據(jù)，不得不借助于圖形的直觀感覺 或未加證明的一些事實為根據(jù)

17、，即離不開幾何實體.后來過了2000多年的時間，才逐步補齊了所缺的公理.第三、表達上格式單調(diào)、割裂；有的命題的證明過于煩瑣、重復(fù)，以特例證明一般，甚 至出現(xiàn)邏輯錯誤等.四、完備化的希爾伯特公理體系?幾何原本?的公理系統(tǒng)盡管具有偉大的歷史意義，成為表述科學(xué)真理的典范，但畢 竟是初創(chuàng)時期，存在許多的缺乏之處，那該怎樣修改、補充?幾何原本?中的定義、公理才 能使幾何成為邏輯上完美無缺的科學(xué)呢？如何建立幾何學(xué)牢固的邏輯根底？兩千年來，數(shù)學(xué)家們致力于研究的重要課題，一方面增加或改換公理，促使幾何根底的嚴(yán)密化；另一方面， 試證第五公設(shè)，導(dǎo)致非歐幾何的產(chǎn)生。 在前一方面，做出偉大奉獻的是德國數(shù)學(xué)家希爾伯特。

18、根本元素：點、線、面卄亠人纟吉合關(guān)系根本概念I(lǐng)本概根本關(guān)系順序關(guān)系合同關(guān)系幾何根底關(guān)聯(lián)公理h - IJ順序公理ll2 TIJ根本公理*合同公理llllll5平行公理V連續(xù)公理y - V21 結(jié)合公理原始元素和關(guān)系點用大寫拉丁字母、=、_'、等表示直線用小寫字母：.、：、等表示 平面 用希臘字母、等表示結(jié)合關(guān)系屬于關(guān)系用“二丄“左叮等術(shù)語表達。公理Il對于任意兩點丿、丄，恒存在直線：.通過它們。兩點指不同的點 公理12 對于任意兩點"、丄，至多存在一條直線通過它們。上面兩條公理肯定了通過任意兩點存在惟一一條直線。公理13在一條直線上至少有兩個點，；至少存在三個點不在一條直線上。

19、以上三條公理只確定點與直線的結(jié)合關(guān)系，是平面幾何的結(jié)合公理，建立空間幾何還需要引進以下公理1418公理I4 對于任意三個不在一條直線上的點、丄，、，存在平面二通過它們。每個平面上至少有一個點。公理15 對于任意三個不在一條直線上的點"、丄，、，至多有一個平面通過它們。公理16 如果直線：.上的兩個點、丄,在平面丄上，那么直線：.上的每個點在平面一:.上。 公理17如果兩個平面有一個公共點，那么它們至少還有另一個公共點。公理I8至少有四個點不在同一平面上。甚至不可能證該公理所能導(dǎo)出的定理很少，不能證明點、直線、平面的集合是無限的, 明“每直線上至少有三個點。在中學(xué)教材中，絕大局部是直觀

20、成認(rèn)了。2 順序公理順序公理是確定原始關(guān)系“介于或“一點在兩點之間的公理公理111 如果品介于點和點匚之間，那么、丄，、匚是直線上三點，而且丄，也介于L和 上之間。公理112對任意兩點一!、L，在直線.-! '' 上至少存在一個點，使L介于和之間公理II3在一直線上的任意三點中，至多有一點介于其余兩點之間 以上三條公理是直線上的順序關(guān)系。公理114帕施Pasch公理設(shè)、丄，、一-是不在一條直線上的三個點，是、丄，、-三點所決定平面上的一條直線，并且不通過三點中任何一個。如果直線通過線段一一的一個內(nèi)點，那么直線：一定要通過線段上一或線段丄1之一的一個內(nèi)點。3 合同公理合同公理所涉

21、及的原始關(guān)系是“線段相等和“角相等，它們的屬性由以下公理來制約。公理III1 設(shè)是直線二上的兩點，二是同一直線或另一直線 y上的一點。那么在y上二的一側(cè)，一定可以找出一個點；，使線段丄丄合同于或相等于線段 化丁，記做.-l"1。對于每個線段 -有筒 。這里的線段是無向線段，即長度公理III2如果兩線段都合同于第三線段，那么這兩個線段也合同。公理III3設(shè)廠和FC是直線：上的兩個線段，沒有公共的內(nèi)部點。又設(shè)fl和丁_是同一直線或另一直線 亍上的兩條線段，沒有公共的內(nèi)部點。如果：，丄'_，那么 d。這條公理肯定了合同線段的可加性。公理III4 如果在平面二上在同一個或另一個平面上

22、給定一直線，并且在平面上指定了直線$確實定一側(cè)，以及上從一點一出發(fā)的射線。那么在平面上 直線J予先指的那一側(cè)，存在惟一一條以_為端點的射線，使得產(chǎn)合同于或相等于；。公理山5如果兩個三角形一匚和I了 "之間有合同關(guān)系， ，那么必有_一，亠一二4 連續(xù)公理W公理W 1阿基米德命題設(shè)是任意兩個線段，那么在直線-二 上存在有限個點込一-；,它們排成順序：點 訂介于和遼之間，點遼介于點訂和二之間等等，又 M =4-i4 = pS ，并且使得點b介于點乂和點人之間。康托爾命題公理W 2康托爾命題設(shè)直線二上存在線段的無窮序列，其中后一線段都在前一個線段的內(nèi)部，且對于任何線段-；.：，恒有.使那么必

23、有一點丄，落在所有線段 勒S也 的內(nèi)部。前面合同公理川中討論二線段比擬大小的問題，是進行直接的比擬，而非比擬它們的長度。因為只用前三組公理不能說明每條線段有長度，只有引入了連續(xù)公理后同， 才能做到這一點。這以后，兩線段大小的比擬轉(zhuǎn)化為兩個數(shù)目的比擬，在實踐中方便多了。 不僅如此線段與數(shù)目的對應(yīng)溝通了形與數(shù)，使我們在必要時可把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，或把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題， 解析幾何就是這樣。 有了公理I到公理w之后， 可建立空間直角坐標(biāo) 系，進而解析幾何的根本問題解決了。在有了長度概念、角的測量問題之后，可推導(dǎo)直線的連續(xù)性命題及直線上的點與實數(shù)之間能建立一一對應(yīng)關(guān)系，也能推導(dǎo)直線交圓命題在平面上過圓內(nèi)部的點的直線交圓于兩點和圓交圓命題在一平面上一圓通過圓內(nèi)部一點和外部一點，那么兩圓必有兩交點，從而解決了初等幾何的尺規(guī)作圖問題。5 平行公理公理V 歐幾里得平行公理 在平面上，通過直線外一點至多存在一條直線與直 線不相交。五、中學(xué)幾何公理系統(tǒng)1中學(xué)幾何屬于歐幾里得幾何范疇中學(xué)幾何是以歐幾里得?幾何原本?為原型建立的。其方法采用了歐幾里得實體公理化方法，即以不完備的公理系統(tǒng)加上一些直觀成認(rèn)的客觀事實為根底，通過邏輯推理