202X高中數(shù)學(xué)第2章圓錐曲線與方程2.4.2拋物線的幾何性質(zhì)課件蘇教版選修1_1

1、2.4.2拋物線的幾何性質(zhì)第2章2.4拋物線學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解拋物線的范圍、對稱性、頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等幾何性質(zhì).2.會利用拋物線的性質(zhì)解決一些簡單的拋物線問題.問題導(dǎo)學(xué)達(dá)標(biāo)檢測題型探究內(nèi)容索引問題導(dǎo)學(xué)知識點(diǎn)一拋物線的幾何性質(zhì)思考思考1類比橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)，結(jié)合圖象，你能說出拋物線y22px(p0)的范圍、對稱性、頂點(diǎn)坐標(biāo)嗎？答案答案范圍x0，關(guān)于x軸對稱，頂點(diǎn)坐標(biāo)(0,0).思考思考2拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p0)中的參數(shù)p對拋物線開口大小有何影響？答案答案p越大，開口越大.梳理梳理標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0) x22py(p0)圖形性質(zhì)范圍_ _ _

2、_對稱軸_頂點(diǎn)_離心率e_x0，yRx0，yRxR，y0 xR，y0 x軸y軸(0,0)1知識點(diǎn)二焦點(diǎn)弦設(shè)過拋物線焦點(diǎn)的弦的端點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么：y22px(p0)ABx1x2py22px(p0)ABp(x1x2)x22py(p0)ABy1y2px22py(p0)ABp(y1y2)知識點(diǎn)三拋物線中的弦長與中點(diǎn)弦問題2.AB是拋物線y22px(p0)的一條弦，其中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0，y0)，運(yùn)用平方差法可推導(dǎo)AB的斜率如下：由得(y2y1)(y2y1)2p(x2x1). y1y22y0， 由得kAB ，即弦AB的斜率只與 和弦AB中點(diǎn)的 坐標(biāo)有關(guān).p縱1.拋物線y2px

3、2(p0)的對稱軸為y軸.( )2.拋物線關(guān)于頂點(diǎn)對稱.( )3.拋物線只有一個(gè)焦點(diǎn)，一條對稱軸，無對稱中心.( )4.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程各不一樣，其離心率也各不一樣.( )思考辨析 判斷正誤題型探究類型一由拋物線的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程解答例例1拋物線的焦點(diǎn)拋物線的焦點(diǎn)F在在x軸上，直線軸上，直線l過過F且垂直于且垂直于x軸，軸，l與拋物線交于與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，假設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，假設(shè)OAB的面積等于的面積等于4，求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方，求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程程.引申探究引申探究等腰直角三角形等腰直角三角形AOB內(nèi)接于拋物線內(nèi)接于拋物線y22px(p0)，O為拋物線的頂點(diǎn)，為拋物線

4、的頂點(diǎn)，OAOB，那么，那么AOB的面積是的面積是_.答案解析4p2解析解析因?yàn)閽佄锞€的對稱軸為x軸，內(nèi)接AOB為等腰直角三角形，所以由拋物線的對稱性知，直線AB與拋物線的對稱軸垂直，從而直線OA與x軸的夾角為45.所以易得A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2p,2p)和(2p，2p).反思與感悟反思與感悟把握三個(gè)要點(diǎn)確定拋物線的幾何性質(zhì)(1)開口：由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程看圖象開口，關(guān)鍵是看準(zhǔn)二次項(xiàng)是x 還是y，一次項(xiàng)的系數(shù)是正還是負(fù).(2)關(guān)系：頂點(diǎn)位于焦點(diǎn)與準(zhǔn)線中間，準(zhǔn)線垂直于對稱軸.(3)定值：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p；過焦點(diǎn)垂直于對稱軸的弦(又稱為通徑)長為2p；離心率恒等于1.解答跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練1拋物

5、線關(guān)于拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，其上一點(diǎn)軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，其上一點(diǎn)P到到準(zhǔn)線及對稱軸的距離分別為準(zhǔn)線及對稱軸的距離分別為10和和6，求拋物線的方程，求拋物線的方程.解解設(shè)拋物線的方程為y22ax(a0)，點(diǎn)P(x0，y0).因?yàn)辄c(diǎn)P到對稱軸距離為6，所以y06.因?yàn)辄c(diǎn)P到準(zhǔn)線距離為10，因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線上，所以362ax0， 所以所求拋物線的方程為y24x或y236x.類型二拋物線的焦點(diǎn)弦問題例例2直線直線l經(jīng)過拋物線經(jīng)過拋物線y26x的焦點(diǎn)的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)兩點(diǎn).(1)假設(shè)直線假設(shè)直線l的傾斜角為的傾斜角為60，求，求AB的值；的值

6、；解答解解因?yàn)橹本€l的傾斜角為60，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1x25.(2)假設(shè)AB9，求線段AB的中點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離.解答解解設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2).所以x1x26，所以線段AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是3.反思與感悟反思與感悟(1)拋物線的焦半徑定義拋物線的焦半徑是指以拋物線上任意一點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)為端點(diǎn)的線段焦半徑公式P(x0，y0)為拋物線上一點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn).若拋物線y22px(p0)，則PFx0 ；若拋物線y22px(p0)，則PF x0；若拋物線x22py(p0)，則PFy0 ；若拋物線x22py(p0)，則PF y0(2)過焦點(diǎn)的弦長的求解方法設(shè)過拋物線y2

7、2px(p0)焦點(diǎn)的弦的端點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么ABx1x2p.然后利用弦所在直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消元，由根與系數(shù)的關(guān)系求出x1x2即可.解答設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B到準(zhǔn)線的距離分別為dA，dB.類型三與弦長、中點(diǎn)弦有關(guān)的問題解答例例3A，B為拋物線為拋物線E上不同的兩點(diǎn)，假設(shè)拋物線上不同的兩點(diǎn)，假設(shè)拋物線E的焦點(diǎn)坐標(biāo)為的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，線段線段AB恰被恰被M(2,1)所平分所平分.(1)求拋物線求拋物線E的方程；的方程；解由于拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為解由于拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，所以所以 1，p2，所以拋物線所以拋物線E的方程為的方程為y

8、24x.解答(2)求直線AB的方程.且x1x24，y1y22.由，得(y1y2)(y2y1)4(x2x1)，所以直線AB的方程為y12(x2)，即2xy30.反思與感悟反思與感悟中點(diǎn)弦問題解題策略方法跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練3拋物線拋物線y26x，過點(diǎn)，過點(diǎn)P(4,1)引一條弦引一條弦P1P2使它恰好被點(diǎn)使它恰好被點(diǎn)P平平分，求這條弦所在的直線方程及分，求這條弦所在的直線方程及P1P2.解答解解方法一方法一由題意易知直線方程的斜率存在，設(shè)所求方程為y1k(x4).當(dāng)k0時(shí)，y1，顯然不成立.當(dāng)k0時(shí)，624k(24k6)0.設(shè)弦的兩端點(diǎn)為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P1P2的中點(diǎn)為(4,1

9、)，所求直線方程為y13(x4)，即3xy110，y1y22，y1y222，所求直線的斜率為k3，所求直線方程為y13(x4)，即3xy110.y1y22，y1y222，類型四拋物線在實(shí)際生活中的應(yīng)用解答解解如圖，以拱橋的拱頂為原點(diǎn)，以過拱頂且平行于水面的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)拋物線方程為x22py(p0).由題意可知，點(diǎn)B(4，5)在拋物線上，當(dāng)船面兩側(cè)和拋物線接觸時(shí)，船不能通航，設(shè)此時(shí)船面寬為AA，那么A(2，yA)，所以水面上漲到與拋物線形拱橋拱頂相距2 m時(shí)，小船開場不能通航.反思與感悟涉及拱橋、隧道的問題，通常需建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲此寂c感悟涉及拱橋、隧道的問題，通常需建

10、立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)展求解標(biāo)系，利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)展求解.解答跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練4如圖，有一座拋物線型拱橋，橋下面在正常水位如圖，有一座拋物線型拱橋，橋下面在正常水位AB時(shí)寬時(shí)寬20米，米，水位上升水位上升3米就到達(dá)戒備線米就到達(dá)戒備線CD，這時(shí)水面寬度為，這時(shí)水面寬度為10米米.假設(shè)洪水到來時(shí)，水假設(shè)洪水到來時(shí)，水位從戒備線開場以每小時(shí)位從戒備線開場以每小時(shí)0.2米的速度上升，再持續(xù)多少小時(shí)才能到拱橋頂？米的速度上升，再持續(xù)多少小時(shí)才能到拱橋頂？(平面直角坐標(biāo)系是以橋頂點(diǎn)為原點(diǎn)平面直角坐標(biāo)系是以橋頂點(diǎn)為原點(diǎn)O)解設(shè)所求拋物線的方程為解設(shè)所求拋物線的方程為yax2.

11、設(shè)設(shè)D(5，b)，那么，那么B(10，b3).即再持續(xù)5小時(shí)到達(dá)拱橋頂.達(dá)標(biāo)檢測答案12345解析y24x又拋物線開口方向?yàn)閤軸負(fù)方向，拋物線方程為y24x.12345答案解析2.頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為y軸，頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是_.解析解析頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為y軸的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個(gè)：x22py(p0)，x22py(p0).由頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，得p8，故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x216y或x216y.x216y3.拋物線y2x上到其準(zhǔn)線和頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)為_.12345答案解析12345答案解析4.過拋物線y24x的焦點(diǎn)作直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，假設(shè)線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，那么AB_.解析易知拋物線的準(zhǔn)線方程為x1，那么線段AB的中點(diǎn)