簡(jiǎn)單微分方程的求解

1、一、一階微分方程1、線性齊次方程分離變量法求解兩邊同時(shí)乘以，積分因子法通解：2、線性非齊次方程常數(shù)變易法兩邊同時(shí)乘以，積分因子法通解：線性微分方程得解有一些很好得性質(zhì)，例如(1)齊次方程得解或者恒等于零，或者恒不等于零(2)齊次方程任何解得線性組合仍就是它得解(3)齊次方程得任一解與非齊次方程任一解之與仍就是非齊次方程得解(4)非齊次方程任意兩解之差必就是對(duì)應(yīng)齊次方程得解(5)非齊次方程得任一解與對(duì)應(yīng)齊次方程得通解之與就是非齊次方程得通解。3、Bernoulli方程(1)時(shí)，該方程為線性非齊次方程(2)時(shí)，該方程為線性齊次方程(3)時(shí)，作變量替換，該方程轉(zhuǎn)化為，這就是關(guān)于未知函數(shù)z得一階線性方

2、程4、Riccati方程Riccati方程在一般情況下無(wú)法用初等積分求出解，只就是對(duì)一些特殊情況或者事先知道了它得一個(gè)特解，才能求出其通解。(1)當(dāng)、都就是常數(shù)時(shí)，就是可分離變量方程，用分離變量法求解。(2)當(dāng)時(shí)，就是線性方程。(3)當(dāng)時(shí)，就是Bernoulli方程。當(dāng)，設(shè)已有一特解命代得這就是一個(gè)關(guān)于z得Bernoulli方程。(4)當(dāng)Riccati方程得形式為，可利用變量替換，將方程化為可分離變量方程dz d (x) dx dx當(dāng)Riccati方程得一個(gè)特解已知時(shí)，我們利用變換，代入方程后可得2一2一p(x)(z2z(x)(x)q(x)(z(x)f(x)由于就是方程得解，從上式消去相關(guān)得項(xiàng)

3、后得，這就是一個(gè)Bernoulli方程。(5)當(dāng)Riccati方程得形式為淇中、都就是常數(shù)，且設(shè),又設(shè)與，則當(dāng)時(shí)，方程可通過(guò)適當(dāng)?shù)米儞Q化為變量可分離方程。5 可分離變量方程,通解為6 齊次方程作變量替換,則,即通解為。7 全微分方程與積分因子設(shè)就是一個(gè)連續(xù)可微得二元函數(shù),則它得全微分為:若有函數(shù)使得:則稱為全微分方程,此時(shí),微分方程得解就就是微分方程得成立條件:設(shè)函數(shù)與在一個(gè)矩形區(qū)域R中連續(xù)且有連續(xù)得一階偏導(dǎo)數(shù),則就是全微分方程得充要條件就是微分方程得解為(線積分法)此時(shí)還可應(yīng)用偏積分法與湊微分法如:重新分組整理為如果有函數(shù),使得方程就是全微分方程(恰當(dāng)方程),則稱為方程得一個(gè)積分因子積分因子

4、一般很難求解,但有如下情況可求:(1)微分方程有一個(gè)依賴于得積分因子得充要條件就是僅于有關(guān),則積分因子可求:(2)微分方程有一個(gè)依賴于得積分因子得充要條件就是僅于有關(guān),則積分因子可求:積分因子就是求解微分方程得一個(gè)極為重要得辦法,絕大多數(shù)方程得求解都可以通過(guò)尋找到一個(gè)合適得積分因子來(lái)解決。但求一個(gè)微分方程得積分因子十分困難,需要靈活運(yùn)用各種微分法得技巧與經(jīng)驗(yàn)。例如,當(dāng)一個(gè)微分方程中出現(xiàn)得項(xiàng)時(shí),函數(shù)與都有可能成為其積分因子,可以根據(jù)方程中其她項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)眠x擇。下面得幾個(gè)方程與對(duì)應(yīng)得積分因子分別為:另外,若有微分方程:(M1(x,y)dxN1(x,y)dy)(M2(x,y)dxN2(x,y)dy)

5、0其中第一組與第二組各有積分因子與,使得由于對(duì)任意可微函數(shù)與，就是第一組得積分因子，就是第二組得積分因子。如果能選取得與使得：則就就是該微分方程得一個(gè)積分因子。8、變量替換法(1)形如得方程對(duì)于這種類型得方程，引入新變量則,于就是原方程就化為這就是一個(gè)變可分離方程，它得通解為此時(shí)注意：形如得微分方程，若上下二元一次方程組有解，則利用齊次解法依靠解得坐標(biāo)點(diǎn)化簡(jiǎn)此式，若無(wú)解則利用變量替換法求解。(2)形如得方程對(duì)于這類方程引入新變量，則，原方程可以化為，這就是一個(gè)可分離變量方程。(3)用變量替換法求解微分方程就是十分靈活得，依賴于方程得形式與求導(dǎo)得經(jīng)驗(yàn)，在學(xué)習(xí)過(guò)程中要多積累。9、一階隱式微分方程解

6、法10、近似解法(1)逐次迭代法逐次迭代法就是利用證明初始值問(wèn)題解得存在唯一性時(shí)所構(gòu)造得Picard迭代序列得前若干項(xiàng)來(lái)近似初始值問(wèn)題得解，其近似序列為：當(dāng)初始值問(wèn)題滿足解得存在唯一性定理得條件時(shí)，上面得迭代序列在一個(gè)區(qū)間一致收斂到它得解。故當(dāng)較大時(shí)，就就是初始值問(wèn)題解得一個(gè)較好得近似。(2)Taylor級(jí)數(shù)法設(shè)初始值問(wèn)題得解可以在得鄰域內(nèi)展開(kāi)為收斂哥級(jí)數(shù)：由Taylor級(jí)數(shù)理論知，就是由得階導(dǎo)數(shù)確定得，即：于就是，級(jí)數(shù)形式得解實(shí)際上就就是要求出在點(diǎn)得各階導(dǎo)數(shù)值。如果我們能計(jì)算出前面一些導(dǎo)數(shù)值時(shí)，就可以利用函數(shù)來(lái)近似初始值問(wèn)題得解。由復(fù)合鏈導(dǎo)法則與方程初始值得：/、d2yy(x0)dx2d-f(x,y(x)xx°dxy(3)(x0)dx(fx(x,y)fy(x,y)f(x,y)fx(x0,y(o)fy(x0,y(o)f(X0,y0)xx0fxx(x0，y0)2fxy(X0,y0)f(x0,y°)''2'''2fyy(x0,y0)f(x0,y0)fy(x0,y0)fx(x0,y0)(fy(x0,y0)f(x0,y0)根據(jù)需要,當(dāng)函數(shù)已知時(shí),我們可以計(jì)算出解在點(diǎn)直到階導(dǎo)數(shù)值從而得出得近似表達(dá)式。