導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用——單調(diào)性

1、第 16 講 導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用單調(diào)性1 .函數(shù) f(x)= (x 3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是(D)A.(汽 2) B . (0,3)C. (1,4) D . (2,+ )S3 f，(x)= (x 3) ex+ (x-3)(eY = (x 2)ex,令 f，(x)0，解得 x2.2. 若函數(shù) f(x) = x ax 在區(qū)間1 ,+ )內(nèi)單調(diào)遞增，則 a 的最大值是(B)A . 4 B. 3C. 2 D. 1CI3 依題意，f， (x) = 3x2 a0 對(duì) x 1,+ g)恒成立， 即 a w 3x2對(duì) x1 , + g)恒成立，所以 aw 3.3.已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有 f( x)= f(x),

2、 g( x)= g(x),且 x0 時(shí)，f，(x)0 , g， (x)0 , 則 x0, g，(x)0 B. f，(x)0, g，(x)0C. f，(x)0 D . f，(x)0, g，(x)0 33 f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，由圖象的對(duì)稱性知，當(dāng) x0,g，(x)0 時(shí)，f(x) = 2x2 ex, f， (x) = 4x ex. 又 f，(0) = 10, 所以由零點(diǎn)存在定理知f，(x) = 0 在(0,2)至少存在一個(gè)實(shí)根 x0，所以 f(x)= 2x2 e|x|在(0,2)內(nèi)至少存在一個(gè)極值點(diǎn)X。，排除 C.故選 D.1 15.函數(shù) y= xln x 的單調(diào)遞減區(qū)間為 (0,

3、：)，單調(diào)遞增區(qū)間為Q，+g)因?yàn)?y = ln x + x = In x+1,x1當(dāng) In x+ 10，即 0 x0，即 x時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.6.若函數(shù)f(x) = 2(x 2)2+ bln x 在(1，+m)上是減函數(shù)，則 b 的取值范圍為(8 ,1.由題意可知 fz(x)= (x 2) + x 0 在 xqi,+8)恒成立.即 bwx(x 2)在 x(1 , x+8)上恒成立，由于$(x)= x(x 2) = x2 2x 在(1, +8)上的值域是(一 1, +8)，所以只要 b 1 即可.7.設(shè)函數(shù)f(x) = x3+ ax2 9x 1(a0).若曲線 y = f(x)的斜率最小的切線

4、與直線12x+ y=6 平行，求：(1) a 的值；(2) 函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間.CD (1)因?yàn)?f(x) = x3+ ax2 9x 1,22a2a所以ff(x)= 3x + 2ax 9 = 3(x+ 3) 9 .2即當(dāng) x=a 時(shí)，(X)取得最小值一 9牛2a因?yàn)樾甭首钚〉那芯€與12x + y= 6 平行，即該切線的斜率為一 12,所以一 9 = 12,即 a2= 9,解得 a = 3,由題設(shè) ao,故 f(x)在(8, 1)上為增函數(shù)；當(dāng) xq 1,3)時(shí)，f (x)0,故 f(x)在(3,+8)上為增函數(shù).由此可見，函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一8, 1)和(3, +8)；單調(diào)

5、遞減區(qū)間為(一 1,3).& (2017 撫州七校聯(lián)考)已知函數(shù) f(x)與 f (x)的圖象如圖所示，貝 U 函數(shù) g(x) = 的遞減 e區(qū)間為(D)xq0,1)和 x(4, +8)時(shí)，f (x) f(x)0 , x f xex0,則函數(shù) g(x) = xf(x) + 1(x0)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0 .(S3 因?yàn)?g (x) = f(x) + xf (x)0,所以 g(x)在(0,+8)為增函數(shù)，又 g(0) = 10,所以 g(x)在(0,+)恒大于 0,所以 g(x)在(0,+)上沒有零點(diǎn).10.已知函數(shù) f(x)= ex- ax(a R, e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).(1) 討論函數(shù) f(x

6、)的單調(diào)性；若 a = 1,函數(shù) g(x)= (x- m)f(x)- ex+ x2+ x 在(2,+ )上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù) m 的取 值范圍.C39 (1)函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?R, f (x) = ex- a.當(dāng) aw0 時(shí)，f (x)0，所以 f(x)在 R 上為增函數(shù)，當(dāng) a0 時(shí)，由 f (x) = 0,得 x= In a,則當(dāng) xg,In a)時(shí)，f (x)0,所以函數(shù) f(x)在(In a, +g)上為增函數(shù).(2) 當(dāng) a = 1 時(shí)，g(x) = (x- m)(e - x) e + x + x,因?yàn)?g(x)在(2, +g)上為增函數(shù)，所以 g (x) = xex mex+ m+ 1 0 在(2, +g)上恒成立，xex+1即 mw -在(2, +g)上恒成立，e 1xex+ 1令h(x)=亍,x2,+g),xL(x)= e - x-2,L (x) = ex 10 在(2, +g)上恒成立， 即 L(x)= ex- x- 2 在(2, +g)上為增函數(shù), 即 L(x)L(2)= e2-40 , h (x)0.xex+ 1即 h(x) =