量子力學(xué)考試題

1、量子力學(xué)考試題（共五題，每題20分）1、扼要說明：（a）束縛定態(tài)的主要性質(zhì)。（b）單價(jià)原子自發(fā)能級(jí)躍遷過程的選擇定則及其理論根據(jù)。2、設(shè)力學(xué)量算符（厄米算符），不對(duì)易，令i（-），試證明：（a）的本征值是實(shí)數(shù)。（b）對(duì)于的任何本征態(tài)，的平均值為0。（c）在任何態(tài)中+3、自旋/2的定域電子（不考慮“軌道”運(yùn)動(dòng)）受到磁場作用，已知其能量算符為+ （，>0，»）（a）求能級(jí)的精確值。（b）視項(xiàng)為微擾，用微擾論公式求能級(jí)。4、質(zhì)量為m的粒子在無限深勢阱（0<x<a）中運(yùn)動(dòng)，處于基態(tài)。寫出能級(jí)和波函數(shù)，并計(jì)算平均值，5、某物理體系由兩個(gè)粒子組成，粒子間相互作用微弱，可以忽略。

2、已知單粒子“軌道”態(tài)只有3種：()，()，()，試分別就以下兩種情況，求體系的可能（獨(dú)立）狀態(tài)數(shù)目。（i）無自旋全同粒子。（ii）自旋/2的全同粒子（例如電子）。量子力學(xué)考試評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)1、（a），（b）各10分（a）能量有確定值。力學(xué)量（不顯含t）的可能測值及概率不隨時(shí)間改變。（b）（n l m ms）（n l m ms） 選擇定則：，0,，0 根據(jù)：電矩m矩陣元-enlmms，n l m ms02、（a）6分（b）7分（c）7分（a）是厄米算符，所以其本征值必為實(shí)數(shù)。（b）， i- i-G0（c）(+i)(-i)=2+2- (+i)(-i)=(-i)20 <2+2->0，即+3、(

3、a)，(b)各10分(a) + E，令E，則0， -0，E1-，E2當(dāng)»，（1+）1/2（1+）+E1-+，E2 +（b）+0+，0，0本征值為，取E1（0）-，E2（0）相當(dāng)本征函數(shù)（Sz表象）為1(0)，2(0)則之矩陣元（Sz表象）為=0，=0，E1E1（0）+-+0-E2E2（0）+4、E1， -i-i-i - 0+四項(xiàng)各5分5、（i），（ii）各10分（i）s0，為玻色子，體系波函數(shù)應(yīng)交換對(duì)稱。有：， a c c a b c c b共6種。（ii）s，單粒子態(tài)共6種：，。任取兩個(gè)，可構(gòu)成體系（交換）反對(duì)稱態(tài)，如-體系態(tài)共有種或：，三種軌道態(tài)任取兩個(gè)，可構(gòu)成一種軌道對(duì)稱態(tài)+及

4、一種反對(duì)稱態(tài)-，前者應(yīng)與自旋單態(tài)x00相乘，而構(gòu)成體系反對(duì)稱態(tài)，共3種。后者應(yīng)與自旋三重態(tài)x11， x10 ，x1-1相乘而構(gòu)成體系反對(duì)稱態(tài)，共339種。但軌道對(duì)稱態(tài)還有型，共3種型，各與自旋單態(tài)配合，共3種體系態(tài)，故體系態(tài)共3+3+915種。 量 子 力 學(xué) 習(xí) 題第一章 緒論 1.1 由黑體輻射公式導(dǎo)出維恩位移定律：能量密度極大值所對(duì)應(yīng)的波長lm與溫度T成反比，即lmT=b(常量）；并近似計(jì)算b的數(shù)值，準(zhǔn)確到二位有效數(shù)字。 1.2 在0K附近，鈉的價(jià)電子能量約為3eV，求其德布羅意波長。 1.3 氦原子的動(dòng)能是E=3kT/2（k為玻耳茲曼常數(shù)），求T=1K時(shí)，氦原子的德布羅意波長。 1.4

5、 利用玻爾索末菲的量子化條件，求：（1）一維諧振子的能量；（2）在均勻磁場中作圓周運(yùn)動(dòng)的電子軌道的可能半徑。 已知外磁場H=10特斯拉，玻爾磁子MB=9×10-24焦耳/特斯拉，試計(jì)算動(dòng)能的量子化間隔DE，并與T=4K及T=100K的熱運(yùn)動(dòng)能量相比較。 1.5 兩個(gè)光子在一定條件下可以轉(zhuǎn)化為正負(fù)電子對(duì)。如果兩光子的能量相等，問要實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化，光子的波長最大是多少？第二章 波函數(shù)和薛定諤方程 2.1 由下列兩定態(tài)波函數(shù)計(jì)算幾率流密度： (1) y1=eikr/r, (2) y2=e-ikr/r.從所得結(jié)果說明y1表示向外傳播的球面波，y2表示向內(nèi)（即向原點(diǎn)）傳播的球面波。 2.2 一粒

6、子在一維勢場中運(yùn)動(dòng)，求粒子的能級(jí)和對(duì)應(yīng)的波函數(shù)。 2.3 求一維諧振子處在第一激發(fā)態(tài)時(shí)幾率最大的位置。 2.4 一粒子在一維勢阱中運(yùn)動(dòng)，求束縛態(tài)(0<E<U0)的能級(jí)所滿足的方程。 2.5 對(duì)于一維無限深勢阱(0<x<a)中的定態(tài)yn(x)，求、和Dx，并與經(jīng)典力學(xué)結(jié)果比較。 2.6 粒子在勢場中運(yùn)動(dòng)，求存在束縛態(tài)(E<0)的條件(，m，a，V0關(guān)系)以及能級(jí)方程。 2.7 求二維各向同性諧振子V=k(x2+y2)的能級(jí)，并討論各能級(jí)的簡并度。 2.8 粒子束以動(dòng)能E=從左方入射，遇勢壘求反射系數(shù)、透射系數(shù)。E<V0及E>V0情形分別討論。 2.9 質(zhì)

7、量為m的粒子只能沿圓環(huán)（半徑R）運(yùn)動(dòng)，能量算符，j為旋轉(zhuǎn)角。求能級(jí)(En)及歸一化本征波函數(shù)yn(j)，討論各能級(jí)的簡并度。第三章 基本原理 3.1 一維諧振子處在基態(tài)，求： (1) 勢能的平均值； (2) 動(dòng)能的平均值； (3) 動(dòng)量的幾率分布函數(shù)。 3.2 設(shè)t=0時(shí)，粒子的狀態(tài)為y(x)=Asin2kx+coskx，求此時(shí)粒子的平均動(dòng)量和平均動(dòng)能。 3.3 在一維無限深勢阱中運(yùn)動(dòng)的粒子，勢阱的寬度為a，如果粒子的狀態(tài)由波函數(shù)y(x)=Ax(a-x)描寫，A為歸一化常數(shù)，求粒子能量的幾率分布和能量的平均值。 3.4 證明：如歸一化的波函數(shù)y(x)是實(shí)函數(shù)，則<x px>=i/2

8、；如y=y(r)（與q，j無關(guān)），則<r>= -3/2。 3.5 計(jì)算對(duì)易式x, Ly，pz, Lx，并寫出類似的下標(biāo)輪換式(x®y, y®z, z®x)。 3.6 證明算符關(guān)系 3.7 設(shè)F為非厄米算符(F+¹F)，證明F可以表示成A+iB的形式，A、B為厄米算符。求A、B與F、F+之關(guān)系。 3.8 一維諧振子(V1=kx2)處于基態(tài)。設(shè)勢場突然變成V2=kx2，即彈性力增大一倍。求粒子在V2場中的能級(jí)以及此粒子在新勢場的基態(tài)中出現(xiàn)的幾率。 3.9 有線性算符L、M、K，L, M=1，K=LM。K的本征函數(shù)、本征值記為yn、ln (n=1,

9、 2, .)。證明：如函數(shù)Myn及 Lyn 存在，則它們也是K的本征函數(shù)，本征值為(ln±1)。 3.10 證明：如H=/2m+V()， 則對(duì)于任何束縛態(tài)<>=0。 3.11 粒子在均勻電場中運(yùn)動(dòng)，已知H=/2m-qex。設(shè)t=0時(shí)=0，=p0，求(t)，(t)。 3.12 粒子在均勻磁場=(0, 0, B)中運(yùn)動(dòng)，已知H=/2m -wLz，w=qB/2mc。設(shè)t=0時(shí)<>=(p0, 0, 0)，求t>0時(shí)<>。 3.13 粒子在勢場V()中運(yùn)動(dòng)，V與粒子質(zhì)量m無關(guān)。證明：如m增大，則束縛態(tài)能級(jí)下降。第四章 中心力場 4.1 證明氫原子中電子

10、運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的電流密度在球極坐標(biāo)中的分量是Jer=Jeq=0,Jej= -。 4.2 由上題可知，氫原子中的電流可以看作是由許多圓周電流組成的。 (1) 求一圓周電流的磁矩。 (2) 證明氫原子磁矩為 原子磁矩與角動(dòng)量之比為 這個(gè)比值，稱為回轉(zhuǎn)磁比率。 4.3 設(shè)氫原子處于狀態(tài)求氫原子能量、角動(dòng)量平方及角動(dòng)量z分量的可能值，這些可能值出現(xiàn)的幾率和這些力學(xué)量的平均值。 4.4 利用測不準(zhǔn)關(guān)系估計(jì)氫原子的基態(tài)能量。 4.5 對(duì)于類氫離子的基態(tài)y100，求概然半徑（最可幾半徑）及。 4.6 對(duì)于類氫離子的ynlm態(tài)，證明<T>= -<V>= -En。 4.7 對(duì)于類氫離子的基態(tài)

11、y100，計(jì)算Dx, Dpx，驗(yàn)證不確定關(guān)系。 4.8 單價(jià)原子中價(jià)電子（最外層電子）所受原子實(shí)（原子核及內(nèi)層電子）的庫侖作用勢可以近似表示成試求價(jià)電子能級(jí)。與氫原子能級(jí)比較，列出主量子數(shù)n的修正數(shù)公式。提示：將V(r)中第二項(xiàng)與離心勢合并，記成，計(jì)算()之值，.。第五章 表象理論 5.1 設(shè)|yn>，|yk>是厄米算符的本征態(tài)矢，相應(yīng)于不同的本征值。算符與對(duì)易。證明<yk|F|yn>=0。 5.2 質(zhì)量為m的粒子在勢場V(x)中作一維運(yùn)動(dòng)，設(shè)能級(jí)是離散的。證明能量表象中求和規(guī)則 (l為實(shí)數(shù))。 5.3 對(duì)于一維諧振子的能量本征態(tài)|n>，利用升、降算符計(jì)算<

12、T>、<V>、Dx、Dp。 5.4 設(shè)為角動(dòng)量，為常矢量，證明,·=i× 5.5 對(duì)于角動(dòng)量的態(tài)（, Jz共同本征態(tài)），計(jì)算Jx、Jy、Jx2、Jy2等平均值，以及DJx、DJy。 5.6 設(shè)（單位矢量）與z軸的夾角為q，對(duì)于角動(dòng)量的態(tài)，計(jì)算<Jn>（即·的平均值）。 5.7 以表示，Lz共同本征態(tài)矢。在l=1子空間中，取基矢為, 建立，Lz表象。試寫出Lx及Ly的矩陣表示（3階），并求其本征值及本征態(tài)矢（取=1）。 *5.8 對(duì)于諧振子相干態(tài)(a=a, a為實(shí)數(shù))，計(jì)算，。第六章 微擾理論 6.1 如果類氫原子的核不是點(diǎn)電荷，而是半

13、徑為r0，電荷均勻分布的小球，計(jì)算這種效應(yīng)對(duì)類氫原子基態(tài)能量的一級(jí)修正。 6.2 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I、電偶極矩為D的空間轉(zhuǎn)子在均勻電場e中，如果電場較小，用微擾法求轉(zhuǎn)子基態(tài)能量的二級(jí)修正。 6.3 設(shè)一體系未受微擾作用時(shí)只有兩個(gè)能級(jí)E01及E02，現(xiàn)在受到微擾的作用。微擾矩陣元為H12=H21=a, H11=H22=b; a, b都是實(shí)數(shù)。用微擾公式求能量至二級(jí)修正值。 6.4 一電荷為e的線性諧振子受恒定弱電場e作用，設(shè)電場沿正x方向： (1) 用微擾法求能量至二級(jí)修正； (2) 求能量的準(zhǔn)確值，并和(1)所得結(jié)果比較。 6.5 設(shè)在t=0時(shí)，氫原子處于基態(tài)，以后由于受到單色光的照射而電離。設(shè)單色

14、光的電場可以近似地表示為esinwt，e及w均為常量；電離后電子的波函數(shù)近似地以平面波表示。求這單色光的最小頻率和在時(shí)刻t躍遷到電離態(tài)的幾率。 6.6 基態(tài)氫原子處于平行板電場中，若電場是均勻的且隨時(shí)間按指數(shù)下降，即求經(jīng)過長時(shí)間后氫原子處在2p態(tài)的幾率。 6.7 計(jì)算氫原子由第一激發(fā)態(tài)到基態(tài)的自發(fā)發(fā)射幾率。 6.8 求線性諧振子偶極躍遷的選擇定則。 6.9 粒子（質(zhì)量m）在無限深勢阱0<x<a中運(yùn)動(dòng)，處于能量本征態(tài)yn(x)。后受到微擾作用，H=lx, (a) 求躍遷選擇定律(yn®yn，n-n=?)； (b) 利用定態(tài)微擾論，求能級(jí)En的一級(jí)修正。 6.10 用變分法求

15、氫原子(V=-e2/r) 或三維各向同性諧振子(V=mw2r2)的基態(tài)能量近似值（二者選一）。 (a) 取試探波函數(shù)為y(l, r)=Aexp(-lr); (b) 取試探波函數(shù)為y(l, r)=Bexp(-l2r2)。 6.11 質(zhì)量為m的粒子在勢場V(x)=kx4 (k>0)中作一維運(yùn)動(dòng)。試用變分法求基態(tài)能量近似值。建議取試探波函數(shù)y(l, r)=Aexp(-l2r2)。 6.12 某量子力學(xué)體系處于基態(tài)y1(x)。t>0后受到微擾作用，H(x,t)=F(x)e-t/t，試證明：長時(shí)間后(t>>t)該體系處于激發(fā)態(tài)yn(x)的幾率為第七章 自旋 7.1 證明。 7.2

16、 求在自旋態(tài)中，和的測不準(zhǔn)關(guān)系： 7.3 求及的本征值和所屬的本征函數(shù)。 7.4 求自旋角動(dòng)量在(cosa，cosb，cosg)方向的投影的本征值和所屬的本征函數(shù)。 在這些本征態(tài)中，測量有哪些可能值？這些可能值各以多大的幾率出現(xiàn)？的平均值是多少？ 7.5 設(shè)氫原子的狀態(tài)是 (1) 求軌道角動(dòng)量z分量和自旋角動(dòng)量z分量的平均值； (2) 求總磁矩 (SI)的z分量的平均值（用玻爾磁子表示）。 7.6 求電子的總角動(dòng)量算符，Jz的共同本征函數(shù)。 7.7 在Sz表象中，證明。 7.8 對(duì)于電子的, 證明（?。?7.9 電子的總磁矩算符是對(duì)于電子角動(dòng)量的l j j態(tài)(mj=j)計(jì)算mz的平均值(結(jié)果用量子數(shù)j表示出來)。第八章 多粒子體系 8.1 一體系由三個(gè)全同的玻色子組成，玻色子之間無相互作用。玻色子只有兩個(gè)可能的單粒子態(tài)。問體系可能的狀態(tài)有幾個(gè)？它們的