高分突破微專(zhuān)項(xiàng)3

1、路徑長(zhǎng)最值問(wèn)題常見(jiàn)模型結(jié)構(gòu)示例應(yīng)用的原理處理方法基本思路轉(zhuǎn)化原則軸對(duì)稱(chēng)最值模型如圖,定點(diǎn)A,B在定直線l的同側(cè),在定直線l上找一動(dòng)點(diǎn)P,使PA+PB的值最小.兩點(diǎn)之間,線段最短.作任意一定點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),然后連接對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與另一定點(diǎn),與直線l交于點(diǎn)P.根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,得出PA+PB的最小值.盡量減少變量,向定點(diǎn)、定線段、定圖形“靠攏”.如圖,定點(diǎn)A,B在定直線l的異側(cè),在定直線l上找一點(diǎn)P,使|PA-PB|的值最大.三角形的三邊關(guān)系作任意一定點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),然后作過(guò)該對(duì)稱(chēng)點(diǎn)和另一定點(diǎn)的直線,交直線l于點(diǎn)P,根據(jù)三角形中兩邊之差小于第三邊,可得|PA-PB|的最大值.折疊求最值模型

2、如圖,在ABC中,點(diǎn)N為AC上的定點(diǎn),點(diǎn)M為AB上的動(dòng)點(diǎn),連接MN,沿直線MN折疊該圖形,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A',連接A'B.求A'B的最小值;求點(diǎn)A'到BC距離的最小值.平面內(nèi)的點(diǎn)到圓上距離最大和最小的點(diǎn)均在該點(diǎn)與圓心連線所在的直線上;垂線段最短.以點(diǎn)N為圓心、AN的長(zhǎng)為半徑作圓.連接BN交N于一點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)A'與該交點(diǎn)重合時(shí),A'B取最小值;過(guò)點(diǎn)N作BC的垂線,交N于一點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)A'與該交點(diǎn)重合時(shí),點(diǎn)A'到BC的距離最小.突破點(diǎn)1軸對(duì)稱(chēng)最值模型 如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,AOB的邊OB與x軸正半軸重合,點(diǎn)P是OA上的一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)N(3,

3、0)在OB上,點(diǎn)M是ON的中點(diǎn),若AOB=30°,要使PM+PN的值最小,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為. 思路分析定點(diǎn)M,N在定直線OA同側(cè),求PM+PN的最小值時(shí),可作點(diǎn)N關(guān)于定直線OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N',再連接MN',根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,得到點(diǎn)P,M,N'共線時(shí),PM+PN的值最小,據(jù)此進(jìn)行求解.突破點(diǎn)2折疊求最值模型如圖,在RtABC中,C=90°,AC=6,BC=8,點(diǎn)F在邊AC上,且CF=2,點(diǎn)E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn),將CEF沿直線EF翻折,點(diǎn)C落在點(diǎn)P處,則點(diǎn)P到邊AB距離的最小值為.  思路分析在該問(wèn)題中,先找到定點(diǎn)F,再以點(diǎn)F為圓心、C

4、F的長(zhǎng)為半徑作圓,則點(diǎn)P在該圓上運(yùn)動(dòng),要求點(diǎn)P到AB距離的最小值,先求點(diǎn)F到AB距離的最小值.過(guò)點(diǎn)F作AB的垂線,交F于一點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P與該點(diǎn)重合時(shí),點(diǎn)P到AB的距離最小,據(jù)此求解即可.1.如圖,在ABC中,AB=AC,AD,CE是ABC的兩條中線,點(diǎn)P是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則下列線段的長(zhǎng)等于BP+EP最小值的是()A.BCB.CEC.AD D.AC2.矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,4),點(diǎn)D是OA的中點(diǎn),點(diǎn)E在AB上,當(dāng)CDE的周長(zhǎng)最小時(shí),點(diǎn)E的坐標(biāo)為. (第2題)(第3題)3.如圖,AOB=45°,點(diǎn)P是AOB內(nèi)一點(diǎn),PO=5,點(diǎn)Q,R分別是

5、OA,OB上的動(dòng)點(diǎn),則PQR周長(zhǎng)的最小值為. 4.如圖,菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2,DAB=60°,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn),則PBE周長(zhǎng)的最小值為. (第4題)(第5題)5.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(1,5),B(3,-1),點(diǎn)M在x軸上運(yùn)動(dòng),當(dāng)AM-BM的值最大時(shí),點(diǎn)M的坐標(biāo)為. 6.在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=x2-2x經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,-3),點(diǎn)D是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)|AD-CD|的值最大時(shí),點(diǎn)D的坐標(biāo)為. 7.如圖,在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中,A=60°,點(diǎn)M是AD邊的中點(diǎn),點(diǎn)

6、N是AB邊上一動(dòng)點(diǎn),將AMN沿MN所在的直線翻折得到A'MN,連接A'C,則A'C的最小值為. (第7題)(第8題)8.如圖,CD是O的直徑,CD=4,ACD=20°,點(diǎn)B為弧AD 的中點(diǎn),點(diǎn)P是直徑CD 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則PA+PB的最小值為.  9.如圖,拋物線y=-x2+x-2與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,拋物線的頂點(diǎn)為D,在y軸上是否存在一點(diǎn)S,使得SD-SB的值最大?若存在,求出點(diǎn)S的坐標(biāo),并求出SD-SB的最大值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.例1(,)【解析】如圖,作點(diǎn)N關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N',連接N'M交OA于點(diǎn)

7、P,此時(shí)PM+PN的值最小.OA垂直平分NN',AOB=30°,ON=ON',N'ON=2AON=60°,NON'是等邊三角形.點(diǎn)M是ON的中點(diǎn),點(diǎn)N(3,0),N'MON,ON=3,OM=ON=,PM=OM·tanAON=×=,P(,).即要使PM+PN的值最小,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,).例2【解析】當(dāng)點(diǎn)E在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),PF的長(zhǎng)固定不變,即PF=CF=2.故點(diǎn)P在以點(diǎn)F為圓心、以2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng).如圖,過(guò)點(diǎn)F作FHAB交F于點(diǎn)P,垂足為點(diǎn)H,此時(shí)PH最短,則AFHABC,=.由已知得AF=4,AB=10,=,即FH

8、=,PH=FH-FP=-2=.故點(diǎn)P到AB距離的最小值為.強(qiáng)化訓(xùn)練1.B【解析】AB=AC,AD是中線,ADBC,點(diǎn)B,C關(guān)于直線AD對(duì)稱(chēng).連接CE交AD于點(diǎn)F,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)F重合時(shí),BP+EP的值最小,最小值為CE的長(zhǎng).故選B.2.(3,)【解析】點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,4),OA=3,OC=4,C(0,4).點(diǎn)D是OA的中點(diǎn),OD=AD=.如圖,作點(diǎn)D關(guān)于直線AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F,則AF=AD=,故點(diǎn)F的坐標(biāo)為(,0).根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì),可知直線FC與AB的交點(diǎn)就是使得CDE的周長(zhǎng)最小的點(diǎn)E.利用待定系數(shù)法可得直線CF的解析式為y=-x+4,當(dāng)x=3時(shí),y=,故點(diǎn)E的坐標(biāo)為(3,).3.5【解析】如圖,

9、分別作點(diǎn)P關(guān)于OA,OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M,N,連接OM,ON,MN,MN交OA,OB于點(diǎn)Q,R,此時(shí)PQR周長(zhǎng)最小,為MN的長(zhǎng).由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得,OM=ON=OP=5,MOA=POA,NOB=POB,則MON=2AOB=2×45°=90°.在RtMON中,MN=5,即PQR周長(zhǎng)的最小值等于5.4.+1【解析】如圖,連接DE,交AC于點(diǎn)F,連接PD,易得PB=PD,PD+PEDE,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)F重合時(shí),PD+PE的值最小,且最小值為DE的長(zhǎng),易得DE=,故PB+PE的最小值為,易得BE=1,故PBE周長(zhǎng)的最小值為+1.5.(,0)【解析】如圖,作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B&#

10、39;,連接AB'并延長(zhǎng)與x軸交于點(diǎn)N,此時(shí)AN-BN=AN-B'N=AB',MA-MB=MA-MB'AB'.點(diǎn)B'和點(diǎn)B(3,-1)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),B'(3,1).設(shè)直線AB'的解析式為y=kx+b,將A(1,5),B'(3,1)分別代入,得解得故直線AB'的解析式為y=-2x+7,令y=0,解得x=,當(dāng)AM-BM的值最大時(shí),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(,0).6.(2,-6)【解析】易知拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2.如圖,作點(diǎn)C關(guān)于直線x=2的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C'(3,-3),作直線AC',與直線x=2交于點(diǎn)D.設(shè)直線AC

11、'的解析式為y=kx+b,將A(4,0),C'(3,-3)分別代入,得解得故直線AC'的解析式為y=3x-12,當(dāng)x=2時(shí),y=-6,故點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,-6).7.-1【解析】易知MA'是定值,且MA'=1,A'C的長(zhǎng)度取最小值時(shí),點(diǎn)A'在MC上.過(guò)點(diǎn)M作MFDC交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中,點(diǎn)M為AD的中點(diǎn),A=60°,CD=AD=2,DM=AD=1,FDM=60°,FD=DM·cos 60°=,FM=DM·sin 60°=,FC=FD+DC=,MC=,A'C=MC-MA'=-1.故A'C的最小值為-1.8.2【解析】如圖,作點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M,則點(diǎn)M在O上,連接MB交CD于點(diǎn)P,則此時(shí)PA+PB取最小值,為BM.連接OB,OM.ACD=20°,點(diǎn)B為弧AD 的中點(diǎn),BOD=20°,DOM=40°,BOM=60°.OB=OM,BOM是等邊三角形,BM=OB=CD=2,即PA+PB的最小值為2. 9.存在.作直線BD交y軸于點(diǎn)S,此時(shí)SD-SB有最大值,最大值等于BD的長(zhǎng).y=-x2+x-2=-(x-)2+,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(,).將y=0代入y=-x2+x-