實變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)第三版答案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上泛函分析習(xí)題解答1、設(shè)為一度量空間，令 ，問的閉包是否等于。解答：在一般度量空間中不成立，例如：取的度量子空間，則中的開球的的閉包是，而2、設(shè)是區(qū)間上無限次可微函數(shù)全體，定義，證明：按構(gòu)成度量空間。證明：（1）顯然且有，特別當(dāng)時有有。（2）由函數(shù)在上單調(diào)增加，從而對有即三角不等式成立。3、設(shè)是度量空間中的閉集，證明必有一列開集包含，而且。證明：設(shè)為度量空間中的閉集，作集： ，為開集，從而只要證；可實上，由于任意正整數(shù)，有，故：。另一方面，對任意的，有 ，令 有。所以（因為閉集）。這就是說， 綜上所證有：。4、設(shè)為度量空間上的距離，證明也是上的距離。證明：首先由為度量空

2、間上的距離且，因此顯然有且的充要條件是，而的充要條件是，因此的充要條件是。其次由函數(shù)在上單調(diào)增加有即三角不等式成立。所以也是上的距離。5、證明點列按題2中距離收斂于的充要條件為的各階導(dǎo)數(shù)在上一致收斂于的各階導(dǎo)數(shù)。證明：由題2距離的定義：則有：若上述距離收斂于，則。所以對任何非負(fù)整數(shù)有：。由此對任何非負(fù)實數(shù)有。從而對任何非負(fù)整數(shù)，的各階導(dǎo)數(shù)在上一致收斂于的各階導(dǎo)數(shù)。反之：若對每個，的各階導(dǎo)數(shù)在上一致收斂于的各階導(dǎo)數(shù)，則對每個有，則有：從而對任意的非負(fù)實數(shù)有：。又由于從而；，于是有：。從而取時 于是有。從而點列按題2中距離收斂于。7、設(shè)及是度量空間中兩個集，如果，證明必有不相交開集及分別包含及。證

3、明：記。，以為半徑作點的鄰域，令，則是開集且。同理可作開集，使得。余證，如若不然即，則存在，由及的作法可知，必有，使得，即，。從而有另一方面，從而有，由于，故得矛盾。因此。9、設(shè)是可分距離空間，為的一個開覆蓋，即是一族開集，使得對每個，有中的開集，使，證明必可從中選出可數(shù)個集組成的一個開覆蓋。證明：因是可分距離空間，所以在中存在可數(shù)稠密子集。因是的一個開覆蓋。因此，存在中的開集，使得且是的內(nèi)點。存在，使，因在中稠密，從而可在上取出中的點，再取有理數(shù)，使得（此處的有理數(shù)與均有關(guān)系）于是，由的任意性從而滿足該條件的開集的全體覆蓋。又由于的和均為可數(shù)故這種開集的全體至多可數(shù)。10、設(shè)是距離空間，為中的子集，令，證明是上的連續(xù)函數(shù)。證明：，則由可得同理可得：。因此當(dāng)即時有。所以在處連續(xù)，由在上的任意性得在上連續(xù)。14、Cauahy點列是有界點列。證明：設(shè)是度量空間中的中的Cauahy點列，則有。特別取，則對任意的有，則 ，即點列的直徑，從而點列是有界集。其次對于，取，則即是中的有界集。又集，所以有界。設(shè)是賦范空間，是中的Cauahy點列點列，則時有，今取，則，使得。，取，則，有。所以點列有界。18、設(shè)為完備度量空間，是到中的映射，記，若，則映射有唯一不動點。證明：因，由級數(shù)收斂之必