群論課后答案

1、群論課后答案【篇一：群論習(xí)題】概念*1.1 下列定義了乘法運(yùn)算的集合，哪些構(gòu)成了群，哪些不構(gòu)成群，并說明理由。（ 1 ）在復(fù)數(shù)加法下全體復(fù)數(shù)的集合（ 2）在矩陣乘法下所有幺正矩陣的集合（ 3）在數(shù)的減法下所有整數(shù)的集合（ 4）在數(shù)的乘法下所有正實(shí)數(shù)的集合提示：任二群元a 和 b： a?b?a?e?b?a?a?b?2?b?b?a。1.3 驗(yàn)證矩陣集合：?10?0?2?,?2?01?0?0?0?01?0?2?0?,?,?2?,?10?0? 其中 ?， 0?ei2?3 在矩陣乘法下構(gòu)成群，并且與d3 群同構(gòu)。提示：先寫出該集合的乘法表，便可證得其自封閉性，并能找每個(gè)元素的逆元和單位元。再和d3 群的

2、乘法表對(duì)比就可發(fā)現(xiàn)同構(gòu)關(guān)系。1.4 驗(yàn)證集合?1?1?21?i?,?c?c,c為光速在乘法l?l?l?,?12332?112?2?2?c1?c?c2 之下構(gòu)成abel 群（注：改群成為lorentz 群）提示：只需證明?c?3?c 條件成立，則l?3? 也必屬于該集合，得到?0 時(shí) l（0） 對(duì)應(yīng)單位元，的集合的封閉性。?3 中的 ?2 和 ?1 的地位對(duì)稱，所以 l?1?l?2?l?2?l?1?。*1.5 證明群的任何兩個(gè)左陪集或者完全相等，或者沒有任何公共元素。1.6證明有限群g的非空子集h為子群的充要條件是：若 a,bGh, 則ab G h。提示：易證必要條件成立，證充分條件時(shí)，要用到：

3、 c=a,c=b貝U cc G h,進(jìn)而 cm h （m 為正整數(shù)）。*1.7 證明指數(shù)為2 的子群必是正規(guī)子群。提示：先要理解子群指數(shù)這一概念*1.8 證明群階為質(zhì)數(shù)的有限群必為abel 群，并且必為循環(huán)群。提示：證明中須用到子群的階是該群的階的因子，每一類中元素的數(shù)目也必為該群階的因子，以及單位元自成一類等定理和推論。1.9 如果 h 是群 g 的正規(guī)子群，而n 又是 h 的正規(guī)子群，那么是否n 也一定是g 的正規(guī)子群？提示：不一定是，例如，考慮c4v ， c2v 和 e mx 三群的關(guān)系。*1.10 設(shè) h 是 g 的子群，證明a 和 b 同屬于 h 的同一個(gè)左陪集的充要條件是a?1b?

4、h 。1.11 證明 h 是 g 的正規(guī)子群的充要條件是：h 整類地包含g 的元素。提示：見課堂筆記或見徐、喀書p26 之證明。1.12 若群g和g'同態(tài)，則階較大的群g中與階較小的群g'的單位元 e'對(duì)應(yīng)的那些元素，稱為這一同態(tài)關(guān)系的同態(tài)核，記作 p。證明：p 是 g 的正規(guī)子群。提示：見徐、喀書p29 證明。*1.13 設(shè) h 是 g 的子群，對(duì)于任一元素g?g ，證明集合ghg-1=ghg-1, h?h 也是 g 的子群。（該群稱為h 的共軛子群）1.14 證明四階群只有兩種，一種是循環(huán)群，另一種是非循環(huán)的abel群。提示：寫出四階群所有可能的乘法表，見筆記。1.

5、15 證明直積群的兩個(gè)直積因子群必為直積群的正規(guī)子群。1.16 證明直積群g?ga?gb 的類的數(shù)目等于直因子群ga 和 gb 的類的個(gè)數(shù)的乘積。提示：見徐、喀書p31 或課堂筆記。1.17 證明：（1 ）群的單位元核逆元都是唯一的。（ 2）設(shè) f 和 g 是群的任二元素，則?f?g?1?g?1?f?11.18 證明：二階循環(huán)群與四階循環(huán)群同態(tài)。1.19 設(shè)直積群g=h?n 證明：（a） g 共軛類數(shù)等于h 和 n 的共軛類數(shù)的乘積。（ b） n?g hg s h g s n第二章 群的表示理論2.1 為什么對(duì)于任一群都有單位表示做為其一種不可約表示。提示：一維的單位表示對(duì)應(yīng)平庸群1 。該群和

6、任一群有同態(tài)表示。*2.2 證明有限群任何一維表示的表示矩陣的模必為1 。*2.3 證明除恒等表示外，有限群的任一不可約表示的特征標(biāo)對(duì)群元素求和為零。提示：利用不可約表示特征標(biāo)的正交性關(guān)系，并令其中一個(gè)表示為單位表示。2.4 對(duì)有限群的某一表示的所有表示矩陣都乘以同一常數(shù)后組成的矩陣集合是否還能構(gòu)成該群的一個(gè)表示。2.5 dj 是有限群g 的一個(gè)不可約表示，證明：g 中同一類元素在dj上的表示矩陣之和必為單位矩陣的常數(shù)倍。提示：直接利用舒爾引理可證。*2.6 求 d 3 群在三維實(shí)空間上的矩陣表示，三維實(shí)空間的基矢為(e1,e2,e3) 并判斷該表示是否是不可約表示。提示：利用gei?ejdj

7、i ， g 是 d 3 群的群元，它可以變換3 個(gè)基矢。j?22u(r)u(r2.7 某線性空間的基函數(shù)為1=x?y,2)=2xy ，該空間是否構(gòu)成 c3v 群的封閉性空間？提示：見教材群及其表示p49 之相關(guān)論述。?u(r)u(r*2.8 某線性空間的兩基函數(shù)為1=sinx,2)=siny 。該空間是否構(gòu)成 c2v 的封閉性空間，如果是，給出c2v 的相應(yīng)表示矩陣，并判斷該表示是否可約。(設(shè)c2v 的主軸沿z 方向)。*2.9 求 c4v 群在線性空間u1=x2, u2=y2, u3=2xy 上的表示，并判斷該表示是否可約，如果可約，寫出其約化形式。(c4v 的主軸沿z軸方向)。提示：利用可

8、約表示的約化式aj=不可約表示。2.10群g的兩個(gè)表示為da和db ,對(duì)于g中任一元素a,取它在da 和 db 表示中的表示矩陣的直積，即d(a)=da(a)?db(a) 。則對(duì)于每一群元d 組成一個(gè)新的矩陣集合，證明：d 也是 g 的一個(gè)表示。(提示：見徐、喀書p107 之證明)2*2.11 c3h 群是 c3 群 e， 和 c1h=e ，即 c3h=c3?c1hc3 ， ?n 的直積群，c31?(r)?j(r)? 求出該表示含有哪些?gr求 c3h 的所有不可約表示的特征標(biāo)系。(提示：見筆記)?*2.12 求 c3h 群在三維空間（基矢為e 上的表示，判斷該表示1e2 e3 ）是否可約，如

9、果可約，寫出該表示的約化形式，利用投影算符法找出該表示對(duì)應(yīng)的對(duì)稱化基矢。（設(shè)c3h 的主軸方向沿z 軸方向）提示：見筆記。2.13 證明直積群的所有不等價(jià)不可約表示都可表示為兩直因子群的不等價(jià)不可約表示的直乘。提示：見筆記關(guān)于直積群的表示部分，分三步證明：直因子群表示的直積構(gòu)成直積群的表示直因子群的兩個(gè)不可約表示的直積必為直積群的一個(gè)不可約表示由直因子群不可約表示的直積得到的不可約表示是直積群的全部不可約表示。2.14 求出 c3v 群的所有不可約表示的特征標(biāo)系及所有不可約表示的【篇二：群論.期末考試及參考答案】>s?c? ?h n?2 s2?c2?h?hc2?i222s2?c2?hc2

10、?h?c2?h?hc2?c2?hc2?c2ec2?c2?en?344 s34?c3?h?c3 5525s3?c3?h?c3?h 66s36?c3?h?en?43333s4?c4?h?c4?h444 s4?c4?h?e一、指出下列分子的對(duì)稱元素及基于這些對(duì)稱元素的所有對(duì)稱操作oncl, h2o, nh3, cfclbri4. 具有畸變的四面體結(jié)構(gòu)e二、任何一個(gè)集合，如果按照某一個(gè)乘法的定義，滿足如下的四個(gè)性質(zhì)，就是一個(gè)群。1 。封閉性2 。結(jié)合律3 。單位元素4 。逆元素三、用對(duì)稱元素和他們的某種組合的符號(hào)，熊里夫符號(hào)1 、只有一個(gè)n 次對(duì)稱軸的分子為cn, 如 c1, c2, c3, 如果是直

11、線型異核分子，有n 為無窮大，而且有任意多的通過主軸的對(duì)稱面，所以叫做2 、有一個(gè)最高n 次軸，而且有n 個(gè)經(jīng)過主軸的對(duì)稱面，這樣的cnv, 如果是沒有2 次以上的轉(zhuǎn)動(dòng)軸，只有一個(gè)對(duì)稱面的，如oncl ，則是c1v, c1h 或 cs3 、一個(gè)分子除了有cn 以外，還有n 個(gè)垂直于主軸的c2 軸，是 dn5 、同核雙原子分子或具有對(duì)稱中心的直線形多原子分子，為8 、構(gòu)型 ab6 的分子 oh,四、判斷下列分子有沒有偶極距h2o, co2, so3 和 ph3有 沒有 沒有 有五、從分子的角度看，有旋光活性的充分必要條件是看分子不能與他的鏡像重合如果這個(gè)條滿足，那么分子以兩種形式存在，并且具有相

12、等而方向相反的旋光活性這兩種分子叫做對(duì)映異構(gòu)體。具有 sn 軸的分子就是能與其鏡像相疊合的。所以都是沒有旋光活性的。具有對(duì)稱面或者對(duì)稱中心的分子也是沒有旋光活性的。如果分子缺乏sn 軸，那么這個(gè)分子就不能與其鏡像相疊合，所以具有旋光活性。六、判斷下列分子是否具有旋光性oncl, cfclbri, h2o2 pcl5沒有 有 有 沒有乙烷： d3,e,c3, c32, c2, c2 , c2 ,重疊式甲烷：構(gòu)型 ab6 的分子 oh ：八、c3h4f2:在構(gòu)型 1 中，形成1 組假等同原子組和2 組等同原子組，出一個(gè)峰。在構(gòu)型 2 中，形成3 個(gè)假等同原子組，出3 個(gè)核磁共振峰在構(gòu)型 3 中，形成2 個(gè)等同原子組，出2 個(gè)核磁共振峰九、分別確定甲苯、對(duì)二甲苯、1 ， 3， 5 三甲基苯的對(duì)稱數(shù)甲苯骨架屬于c2v 所以對(duì)稱數(shù)為2=6對(duì)二甲苯的骨架也是屬于d2h, 所以對(duì)稱數(shù)為4x3x3=36三甲基苯的骨架屬于d3h ，所以對(duì)稱數(shù)為6x3x3x3=126【篇三：群論習(xí)題精解馬中騏著,-北京：科學(xué)出版社 ,2002 年】?jī)?nèi)容簡(jiǎn)介：本書是物理學(xué)中的群論配套的習(xí)題集，主要包括群的基本概念、群的線性表示理論、三維轉(zhuǎn)動(dòng)群、晶體的對(duì)稱性、置換群、su(n) 群、so(n) 群和洛倫茲群、李群和李代數(shù)，后者是中國科學(xué)院研究生數(shù)學(xué)叢書之一，