直接證明與間接證明練習(xí)題

1、2、直接證明與間接證明三種證明方法的定義與步驟：1 .綜合法 是由原因推導(dǎo)到結(jié)果的證明方法,它是利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定 義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立的 證明方法。2 .分析法 是從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求推證過程中，使每一步結(jié)論成立的 充分條件，直到最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件 (已知條 件、定義、公理、定理等)為止的證明方法。3 .反證法 假設(shè)原命題的結(jié)論不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，由此說明 假設(shè)錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的方法叫反證法;它是一種間接的證明方 法.反證法法證明一個命題的一般步驟： 假設(shè)命題的結(jié)論不

2、成立；(2)根據(jù)假設(shè)進行推理，直到推理中導(dǎo)出矛盾為止(3)斷言假設(shè)不成立(4)肯定原命題的結(jié)論成立題型一：用綜合法證明數(shù)學(xué)命題例1 :對于定義域為0,1的函數(shù)f(x),如果同時滿足以下三條：對任意的 x 0,1 ,總有 f(x) 0 ; f(1) 1 ;若 X1 0,X2 0,X1 X2 1 ,都有f (X1 X2) f(X1)f(X2)成立，則稱函數(shù)f(x)為理想函數(shù).(1)若函數(shù)f(x)為理想函數(shù)，求f(0)的值；(2)判斷函數(shù)g(x) 2X 1 (x 0,1)是否為理想函數(shù)，并予以證明；解析：(1)取 X1 X2 0 可得 f(0) f (0) f(0)f(0) 0.又由條件f(0) 0

3、,故f(0) 0.(2)顯然g(x) 2X 1在0 , 1滿足條件g(x) 0;也滿足條件g(1) 1 .若X1 0 , X2 0 , X1 X2 1,則g(X1X2)g(X1)g(X2)2X1X21(2X11)(2X21)2X1 X2 2X1 2X2 1 (2X2 1)(2X1 1) 0 ,即滿足條件， 故g(x)理想函數(shù).注：緊扣定義，證明函數(shù)g(x) 2X 1(X 0,1)滿足三個條件題型二：用分析法證明數(shù)學(xué)命題14例2:已知：0 a 1 ,求證：1 9.a 1 a一、一 14證明：: 0 a 1.要證1 9,a 1 a去分母后需要證：(1a) +4a9a (1a),移項合并同類項，即需

4、要證：9a26a+10,2即要證；3a 10 (1)而(1)式顯然成立，原不等式成立。題型三：用反證法證明數(shù)學(xué)命題或判斷命題的真假例3 :已知f(x) ax 2(a 1),證明方程f(x) 0沒有負數(shù)根x 1X0x02解析：假設(shè)x。是f(x) 0的負數(shù)根，則 0且x。1且a 二 7x0Ix0x0 20 a 107 1 ,斛得一 x0 2這與x0 0矛盾，x 12故方程f(x) 0沒有負數(shù)根注：(1)凡是“至少”、“唯一”或含有否定詞的命題從正面突破往往比較困難, 適宜用反證法0即 “正難則反；(2)反證法步驟：假設(shè)結(jié)論不成立一推出矛 盾一假設(shè)不成立，。選擇題1.用反證法證明命題：若整系數(shù)方程a

5、x2 bx c 0(a 0)有有理根，那么a,b,c中至少有一個是偶數(shù)，下列假設(shè)中正確的是().A、假設(shè)a,b,c都是偶數(shù)B、假設(shè)a,b,c都不是偶數(shù)C、假設(shè)a,b,c中至多有一個偶數(shù)D、假設(shè)a,b,c中至多有兩個偶數(shù)答案；B2 .若三角形能剖分為兩個與自己相似的三角形，那么這個三角形一定是()A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定答案：B3 .已知a,a2a3 0, 則使得(1 dx)2 1 (i 1,2,3)都成立的x取值范圍是 (B )A. (0, -)B (0, -)C.aiai(0, -)D. (0,-)a3a32,2.提??；(1aix)1 g (0, 一)，由x a

6、aiaa2a302a122a2a3得出結(jié)論填空題f(x)4x4x 21“1001)答案：5002f(1001)1000f ()=10015 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，設(shè)二角形ABC的頂點分別為A(0,a),B(b,0),C(c,0),點P(0, p)在線段AO上的一點(異于端點)，這里a,b,c, p均為非零實數(shù)，設(shè)直線BP,CP分別與邊AC,AB交于點E,F ,某同學(xué)已正確求得直線OE的方程為1 1 b c方程：_()x - - y 0oP a答案：1 1 c b口1 y 0 ,請你完成直線OF的P a12 34 5 67 8 9 106 .將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣：按照以上排

7、列的規(guī)律，第n行(n 3)從左向右的第3個數(shù)為答案：n2 n 202解答題7 .若a b c d 0且a d b c,求證：d a Jb 品解析要證而 解析假設(shè)a b(1 )a (1 )b 0,(a b),則a,b不平行,0,因方程組無解，故假設(shè)不成立，即原命題成立10 .已知a、b、c成等差數(shù)列且公差d 0,求證：1、1、1不可能成等差數(shù) a b c列解析a、b、c成等差數(shù)列， 2b a c假設(shè) l、1、1成等差數(shù)列，則2 1 1 (a c)2 4ac (a c)2 0, a c a b cb a c從而d 0與d 0矛盾， 工、1、1不可能成等差數(shù)列a b c11 .已知 f(x) In

8、x 證明：f (1 x) x (x 1)解析即證：ln(x 1) x 01x設(shè) k(x) ln( x 1) x,則 k(x) 1 .x 1 x 1當(dāng)xC (-1, 0)時，k (x)0,，k(x)為單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)xC (0, oo)時，k (x)0,k(x)為單調(diào)遞減函數(shù)；x=0為k(x)的極大值點，.k(x)k(0)=0.即 ln(x 1) x 0f(1 x) x (x 1)12.已知函數(shù) y |x| 1, y Jx2 2x 2 t , y 1(x 1-t) (x 0)的最小值恰 2 x好是方程x3 ax2 bx c 0的三個根，其中0 t 1.求證：a2 2b 3;解析三個函數(shù)的最小值依

9、次為1 , Gt , VT-t ,由 f (1) 0 ,得c a b 1,一、 32,32,f (x) x ax bx c x ax bx (a b 1)(x 1)x2 (a 1)x (a b 1),故方程 x2 (a 1)x (a b 1) 0 的兩根是 71t , St .故 GT 7T7 (a 1) , VT7 a b 1. (VT7 VT7)2 (a 1)2,即 2 2(a b 1) (a 1)2a2 2b 3 .改變后直接證明與間接證明1 .用反證法證明命題：若整系數(shù)方程ax2 bx c 0（a 0）有有理根，那么a,b,c中 至少有一個是偶數(shù)，下列假設(shè)中正確的是（）.A、假設(shè)a,b

10、,c都是偶數(shù)B、假設(shè)a,b,c都不是偶數(shù)C、假設(shè)a,b,c中至多有一個偶數(shù)D、假設(shè)a,b,c中至多有兩個偶數(shù)2 .若三角形能剖分為兩個與自己相似的三角形，那么這個三角形一定是（）A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.不能確定4x3.右 f (x)4x2f (1001)1000f ()=10010且 a d b c,求證：聲 Ja Jb Vc5 .在銳角三角形 ABC中，求證：sin A sinB sinC cosA cosB cosC6 .設(shè)a,b為非零向量，且a,b不平行，求證a b, a b不平行7 .已知a、b、c成等差數(shù)列且公差d 0,求證：1、1、1不可能成等差數(shù)列 a b c8 .對于定義域為0,1的函數(shù)f (x),如果同時滿足以下三