范文高三數(shù)學(xué)不等式推理與證明習(xí)題及答案解析

1、2013屆高三數(shù)學(xué)章末綜合測(cè)試題（12）不等式、推理與證明、選擇題：本大題共12小題，每小題 5分，共60分.1 .下列符合三段論推理形式的為（）A.如果p?q, p真，則q真B.如果 b?c, a?b,則 a?cC.如果 a / b, b II c,則 a / cD.如果 a>b, c>0,貝I ac>bc解析：由三段論的推理規(guī)則可以得到B為三段論.答案：B2 .類比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，可推出正四面體的下列性質(zhì)，你認(rèn) 為比較恰當(dāng)?shù)氖牵ǎ└骼忾L(zhǎng)相等，同一頂點(diǎn)上的任意兩條棱的夾角都相等；各個(gè)面都是全等的正三角形，相鄰兩個(gè)面所成的二面角都相等；各面都是

2、面積相等的三角形， 同一頂點(diǎn)上的任意.兩條棱的夾角都相等.A.B.C.D.解析：由類比原理和思想，都是合理、恰當(dāng)?shù)?答案：C3 .用反證法證明命題“出+如是無理數(shù)”時(shí)，假設(shè)正確的是 （）A .假設(shè)也是有理數(shù) B.假設(shè)。3是有理數(shù)C .假設(shè) 色或#是有理數(shù) D .假設(shè) 也+也是有理數(shù)解析：假設(shè)結(jié)論的反面成立，J3不是無理數(shù)，則 5十43是有理數(shù)答案：D4 .已知 ai, bi 6 R(i = 1,2,3,，n), a12 + a22+ an2= 1, b2+電2+ bn2= 1,則 ab1+a2b2+ + anbn的最大值為（）B. 2A. 1解析：此結(jié)論為“a, b,0 ca2+c2 b2+d

3、2d6R, a2+b2=1, c3+d2= 1 ,則 ac+bd<+ = 1"的推廣，類比可得a1b+a2b2+ anbn<2a/ + b12a22+b2Pan2+bn2一+ +2= 1.答案：A5 .在下列函數(shù)中，最小值是 2的是（x 2A- y=2+xB. y=干工>0) x+ 1C. y=sinx + -x6 (0, A 1sinx2，D. y = 7x+ 7 x解析：A中x的取值未限制，故無最小值.D中，y= 7x+7-x=7x+/2,等號(hào)成立的條件是x= 0.B、C選項(xiàng)均找不到等號(hào)成立的條件.答案：D6. 一元二次不等式 ax2+bx+1>0的解集為

4、x|1<x< 1,則ab的值為()A. 6B. 6C. 5D. 51斛析： ax2+ bx+ 1 >0 的解集是x| 1<x<q,3- 1, 1 是方程ax2+bx+1 = 0的兩根， 3-1X3b = 2,ab=- 3 x (-2) = 6.a = - 3,答案：B7,已知a>0, b>0,則：+1+2/ab的最小值是()a bA. 2解析:B. 2mC. 4D. 5因?yàn)?2"2也+ 2yb=2 忠+強(qiáng)>4,當(dāng)且僅當(dāng)；=b,且即a= b = 1時(shí)，取答案：Cy>0,8.在直角坐標(biāo)系中，若不等式組 y<2x,表示一個(gè)三角形區(qū)

5、域，則實(shí)數(shù)y< k(x 1) 1 ,()A.(，1)B. (-1,2)C.(，1)U(2, +°D. (2, +“y>0,解析：先作出的平面區(qū)域如圖：y< 2x,k的取值范圍是若k=0時(shí)，顯然不能與陰影部分構(gòu)成三角形.若k>0,將陰影部分的點(diǎn)如(0,0)代入y< k(x 1) 1,有0< k 1,顯然不能與陰影部分構(gòu)成三角形，所以k< 0；又y= k(x 1) 1是過定點(diǎn)(1 ,1)的直線，由圖知，若與陰影部分構(gòu)成三角形，則有一k- 1 >0,故k< 1時(shí)，原不等式組能構(gòu)成三角形區(qū)域.答案：A9.如果a>b,給出下列不等式，

6、其中成立的是()a<(；(2)a3>b3；a2+1>b2+1； (4)2a >2b.A. (2)(3) B. (1)(3) C. (3)(4) D. (2)(4)解析：a、b符號(hào)不定，故(1)不正確，(3)不正確.,y=x3是增函數(shù),.a>b時(shí)，a3> b3,故(2)正確.y=2x是增函數(shù)，.a>b時(shí)，2a>2b,故(4)正確.答案：D若f(-4) = f(0), f(-2) = 0,則關(guān)于x的不等式f(x)<1的解B. -3, - 1D. 3, +8 )-3(x>0),10.設(shè)函數(shù) f(x)= 2/ _ cx2+ bx+ c (x&

7、lt; 0),集為()A.(，一3U1, +8 )C. 3, - 1 U (0, +8 )解析：當(dāng) x<0 時(shí)，f(x)=x2+bx+c 且 f(4) = f(0),故對(duì)稱軸為 x=- b=- 2, b = 4.又 f( 2)=48 + c=0, .1. c=4,令 x2+ 4x + 4< 1 有3<x< 1;當(dāng)x>0時(shí)，f(x) = 2< 1顯然成立.故不等式的解集為 3, - 1U (0, +8).答案：C11 .若直線 2ax + by 2=0(a>0, b>0)平分圓 x2+y22x4y6 = 0,則；+：的最小值是()A. 2-/-1C

8、. 3 + 22D. 3-272解析：由 x2+y2-2x-4y-6 = 0 得(x-1)2+(y-2)2=11,若2ax+by2=0平”分圓,.2a+2b-2 = 0,a+b=1,2 1 2(a+b)a+ b2b a丁+-b-=3+T+b>3+2b aar 3+2 02b a-當(dāng)且僅當(dāng)-=，且a+b= 1,即a=2 W，b = 421時(shí)取等號(hào) a b答案：Cy212.某公司租地建倉(cāng)庫(kù)，每月土地占用費(fèi)y1與倉(cāng)庫(kù)到車站的距離成反比，而每月庫(kù)存貨物的運(yùn)費(fèi)與倉(cāng)庫(kù)到車站的距離成正比，如果在距離車站10 km處建倉(cāng)庫(kù),這兩項(xiàng)費(fèi)用y1和y2分別為2萬(wàn)元和元，那么，要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉(cāng)庫(kù)應(yīng)建在離

9、車站C. 3 km 處解析：由題意可設(shè)B.D.、，k1y = x，丫2= k2x, . . k1 = xy14 km處2 km處k2，把x=10, y1 = 2與x=10, y2=8分別代入上式得 k1 = 20,k2=,.20- -y1=7,y2= （x為倉(cāng)庫(kù)到車站的距離）, x費(fèi)用之和y= y1 + y2= + > 2錯(cuò)誤！ = 8, x20當(dāng)且僅當(dāng)=,即x= 5時(shí)等號(hào)成立，故選 A. x答案：A第n卷（非選擇共90分）二、填空題：本大題共 4個(gè)小題，每小題 5分，共20分.3.如下圖，對(duì)大于或等于 2的自然數(shù)m的n次募進(jìn)行如下方式的“分裂”：仿此，52的“分裂”中最大的數(shù)是53的“

10、分裂”中最小的數(shù)是解析：由已知中“分裂”可得故“ 52”的“分裂”中最大的數(shù)是9,53的“分裂”中最小的數(shù)是21.答案：9 2114 .由圖有面積關(guān)系:SaPA' B'Sa PABPA PB，則由圖有體積關(guān)系:VP A B' C'VP-ABC解析：設(shè)三棱錐C' -PA'B'的高為h',15 .已知等比數(shù)列an中,a2> a3= 1,則使不等式1a1 a11+ a2-a2a3- +- +a31 anan>0成立的最大自然數(shù)n是a11 an an解析：-a2>a3=1,0<q= < 1a1+ a1一 +

11、a3+ +a1a2a1=(ai + a2+ an) 1+上+工 ai a2an11ai(1qn) al 1qn ai(1 q4) q(1 -qn)=-=> 0，i-q i 1 i-qa1(i -q)qnqai(i - qn)q(i - qn)>.i-qai(i-q)qn因?yàn)?q<i,所以，化簡(jiǎn)得：ai2> ,即q4<qnT, qn 14> n- i , n<5,所以n的最大值為5.答案：5x y 20 0 ,16. 設(shè)實(shí)數(shù)x, y滿足x+ 2y 5 > 0,則u='-的取值范圍是 .x yy- 2< 0,解析：作出x, y滿足的可行

12、域如圖中陰影部分所示，可得可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率的取值i范圍是3-, 2 ,即"c 2 ,故令 t=y,x 3x則u = t根據(jù)函數(shù)u=t：在tc 7, 2上單調(diào)遞增，得u -8, 3 . tt 33 2答案：* 3 3 2三、解答題：本大題共 6小題，共70分.17. (i0分)在三角形中有下面的性質(zhì)：(i)三角形的兩邊之和大于第三邊；(2)三角形的中位線等于第三邊的一半；(3)三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，且這個(gè)點(diǎn)是三角形的內(nèi)心； i，-一 ，一，一(4)三角形的面積為 S= 2(a+b+c)r(r為三角形內(nèi)切圓半徑，a、b、c為三邊長(zhǎng)).請(qǐng)類比出四面體的有關(guān)相似性質(zhì).解

13、析：(i)四面體任意三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積；(2)四面體的中位面(過三條棱的中點(diǎn)的面)的面積等于第四個(gè)面的面積的四分之一；(3)四面體的六個(gè)二面角的平分面交于一點(diǎn)，且這個(gè)點(diǎn)是四面體內(nèi)切球的球心；i(4)四面體的體積為 V = (Si + S2+S3+S4)r(r為四面體內(nèi)切球的半徑，Si、S2、S3、S4為四面體的四3個(gè)面的面積).“ _,一 b2 a2、.18. (12 分)已知 a>0, b>0,求證 a+6>a+b.,2222解析：了 + -(a+b)= I-a + ?-b(b + a)(b a) (a + b)(a b)1 1= (a-b)(a+b) b-

14、)ab(ab)2(a+ b),a>0, b>0,ba+ar>a+b.19. （12分）為響應(yīng)國(guó)家擴(kuò)大內(nèi)需的政策，某廠家擬在2009年舉行促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷量（即該廠的年產(chǎn)量）x萬(wàn)件與年促銷費(fèi)用t（t>0）萬(wàn)元?足x= 4-2t+ 1（k為常數(shù)）.如果不搞促銷活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬(wàn)件.已知2009年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為6萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件該產(chǎn)品需要再投入12萬(wàn)元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品平均成本的倍（產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分）.將該廠家2009年該產(chǎn)品的利潤(rùn) y萬(wàn)元表示為年促銷費(fèi)用t萬(wàn)元的函數(shù);該廠家2009年的年促銷費(fèi)用

15、投入多少萬(wàn)元時(shí)廠家利潤(rùn)最大?k解析：（1）由題總有1 = 41，得k=3,故x=4 2t+ 16+ 12x.y = X X x (6 + 12x) t x33+6x-t=3+6 4) /t 11827- t(t > 0).2t+ 1（2）由（1）知:18 y=27-2t+ 19"I1 t+2由基本不等式當(dāng)且僅當(dāng)即t =時(shí),故 y=27六 +1+2t+291 t+21 t+2等號(hào)成立,18-t2t+ 1% t+2 <-6 t+2當(dāng)t=時(shí)，y有最大值.所以2009年的年促銷費(fèi)用投入萬(wàn)元時(shí)，該廠家利潤(rùn)最大.20. （12分）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且方程x2- anx-an

16、= 0有一根為Sn1, n = 1,2,3, 求ai, a2；猜想數(shù)列&的通項(xiàng)公式.解析：（1）當(dāng)n=1時(shí)，x2aixai= 0 有一根為 S11 = a1一 1,于是（a一 1）2一胡一1） a1= 0,解得 a1=g.當(dāng) n = 2 時(shí)，x2 a2x a2= 0 有一根為 S2 1 = a2 口1 21于th a2 2 a2 a2 2 a2=0,-11解得白2=.6（2）由題設(shè)（91）2 an（Sn- 1） -an=0, _ 2Sn 2Sn+ 1 anSn= 0.當(dāng)n 4 2時(shí)，an = & Sn -1，代.入上式得Si-1Si-2Sn+ 1 = 0由(1)得 S1 = a

17、=幾 S2 = a1+ a2 = ;+ -= 22 6 33 n由可d導(dǎo)S3= 7,由此猜想 Sn =, n= 1,2,3 , .4 n+1°x2+1一21 . (12分)設(shè)二次函數(shù)f(x) = ax2 + bx + c的一個(gè)零點(diǎn)是一1,且滿足f(x) x葉一2一 < 0怛成 立.(1)求f(1)的值；(2)求f(x)的解析式；，一一，x2+ 1 2x解析：(1)由均值不等式得 2->2x=x,x2+ 1_ ,一，、若f(x) x -f(x) - - & 0 怛成立,x2+ 1即x< f(x)< 2恒成立,12+ 1令 x= 1 得 1<f(1)

18、<2= 1,故 f(1) = 1.(2)由函數(shù)零點(diǎn)為一1得f(1)=0,即a-b + c=0,一,，一，1又由(1)知a+b+c= 1,所以解得 a+c=b=.又 f(x) - x= ax2+ 1x+ c x= ax2- 2x+ c,一1因?yàn)閒(x) - x> 0恒成立，所以A= 44ac<0,1因此ac>16口一，1于是 a>0, c>0.再由 a+c=,c+ a 21 _得ac亍=6 11故 ac=,且 a=c = 4，一 1 C 1 C 11故 f(x)的解析式是 f(x) = 4x2 + 2x2 + / + 4.22. (12分)某少數(shù)民族的刺繡有著4g久的歷史，下圖 (1)、(2)、(3)、(4)為她們刺繡最簡(jiǎn)單的四個(gè)圖 案，這些圖案都由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡f越漂亮，現(xiàn)按同I¥的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第n個(gè)圖形包含f(n)個(gè)小正方形.(1)求出 f(5);(2)利用合情推理的“歸納推理思想”歸納出 f(n+1)與f(n)的關(guān)系，并根據(jù)你得到的關(guān)系式求