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1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計公式(全)2011-1-1第1章隨機事件及其概率(1)排列 組合公式Cn - m!m n!(m n)!(2)事件 的關(guān)系與 運算關(guān)系：1 . Au B , Bn A ,則 A=B2 .A、B中至少有一個發(fā)生的事件：AUB,或者A+B。3 .A-B,也可表示為 A-AB或者AB ,表示A發(fā)生而B不發(fā)生的事件。4 . A B同時發(fā)生：A B,或者AR A B=?,則表示A與B不可能同時發(fā)生，稱事件A與事件B互小相容或者互斥?；臼录腔バ∠嗳莸?。運算：a3b=aCb, a1b = aUb(3)古典 概型1c = %142輻,_12P仰 1)=P(6 2)=P(M)=一。n設(shè)任T件A

2、,它是由61聲26m組成的，則有P(A) = %)i)U(82)UU(sm) = P(6i)+ P(S2) + +P(sm)_ m _A所包含的基本事件數(shù)一 n 一基本事件總數(shù)(4)幾何 概型若隨機試驗的結(jié)果為無限不可數(shù)并且每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性均勻，同時樣本空間中的每一個基本事件可以使用一個有界區(qū)域來描述，則稱此隨機試驗為幾何概型。對任一事件 A,P(A) = "L空。其中L為幾何度量(長度、面積、體積)。L(C)(5)加法 公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)當(dāng) P(AB)=0 時，P(A+B)=P(A)+P(B)(6)減法 公式P(A-B)=P(A)-P(AB)當(dāng) B

3、二 A時，P(A-B)=P(A)-P(B)當(dāng)人=時，P( B )=1- P(B)(7)條件 概率事件A發(fā)生條件下，事件 B發(fā)生的條件概率，記為P(B/A)=目也。_P(A)p( Q /B)=1 = p( b /A)=1-P(B/A)(8)乘法 公式P(AB) =P(A)P(B/A)P(AiA2 An) =P(Ai)P(A2| Ai)P(A3| A1A2)P(An| AiA2 . An -1)o(9)獨立兩個事件的獨立性性設(shè)事件A、B滿足P(AB) = P(A)P(B)，則稱事件A、B是相互獨立的。P(AB) P(A)P(B)P(B | A). =P(B)若事件A、B相互獨立，則P(A)P(A)

4、若事件A、B相互獨立，則 其與B、A與B、3與B也都相互獨立。多個事件的獨立性設(shè) ABC是三個事件，如果滿足兩兩獨立的條件，并且同時滿足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C),那么 A B C 相互獨立。(10)全概 公式P(A) = P(B1)P(A| B1)+ P(B2)P(A| B2) + +P(Bn)P(A| Bn)。(11)貝葉 斯公式P(Bi)P(A/Bi)P(Bi / A) = n ' 八,i=1 , 2,no工 P(Bj)P(A/Bj) j(12)貝努 禾概型每次試驗只有兩種可能結(jié)果，A發(fā)生或A不發(fā)生；n次試驗是重復(fù)進行的，即A發(fā)生的概率每次均一樣；每次試驗是獨立的，

5、即每次試驗A發(fā)生與否與其他次試驗A發(fā)生與否是互/、影響的。八、- k k n-k_Pn(k) =CnP q , k =0,1,2,，n。第二章隨機變量及其分布(1)離散 型隨機變 量的分布 律設(shè)離散型隨機變量 X的可能取值為 X(k=1,2,)且取各個值的概率，即事 件(X=Xk)的概率為P(X=Xk尸pk, k=1,2,，則稱上式為離散型隨機變量X的概率分布或分布律。有時也用分布列的形式給出：X. X1,X2, ,xk,kid|£ pk=1P(X =xk) p1, p2,，pk,。其中 kT(2)連續(xù) 型隨機變 量的分布 密度X設(shè)F(x)是隨機變量X的分布函數(shù)，F(xiàn)(X) = Uf(

6、x)dx, 上 八. f f(x)dx = 1f (x)稱為X的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，簡稱概率密度。占 ' 。(3)分布 函數(shù)F(x) = P(XWx), P(a <X Mb) = F(b) - F(a)分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：1 °0 < F (x) <1,g<x<+2;2 F(由)= lim F(x) = 0,F(+oc)= lim F(x)=1;xWx-bCx離散型隨機變量，F(xiàn)(x) = 2 pk ;對于連續(xù)型隨機變量，F(xiàn)(x)=f(x)dx 。xk <-Od二項分布在n重貝努里試驗中，設(shè)事件 A發(fā)生的概率為p。P(X =k)= Pn

7、(k) =C：pkqn* , k=1,n, X B(n, p)一，一，k 1 k_ .當(dāng) n =1 時，P(X = k) = p q , k = 0.1 ,為(0-1 )分布泊松分布-kP(X =k) =±e4，九0, k = 0,1,2，則稱隨機變量 X服 k!從參數(shù)為人的泊松分布，記為 X n (九)或者P(AJ ,泊松分布為二項分布的極限分布(np=X , n8)。超幾何分布D/Y 八 CM C此 k=0,1,2lP(X =k) =n,CNl = min(M ,n)均勻分布密度函數(shù) XU(a, b) o1a< x< bf(X)=<b-a'其他a分布函數(shù)

8、為0,x<a,x -axb b-a,a“bF(x) = J (x)dx =1,x>b。當(dāng)awxsxzWb時，X落在區(qū)間(x1,x2)內(nèi)的概率為 _x2 -x1P(Xi <X <x2) - 21 ob - a指數(shù)分布e、良*,x > 0f (x) =J1 0,x<°其中九a0,則稱隨機變量 X服從參數(shù)為九的指數(shù)分布。X的分布函數(shù)為1-eix>0F(x)=j o,L,x<0。記住積分公式：bo xnedx = n!02|_k_2正態(tài)分布1 Jxz密度函數(shù)為 f (x) = -=- e 2。，8<x<+9,2 J 2gX N(k

9、)o標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 X N(0,1),其密度函數(shù)記為分布函數(shù) (-x) = 1-(x)且(0) =1/2 cX如果 XN (巴。2),則二一N(0,1)。P(x1 <X <x2) =G 2小 |。(6)函數(shù) 分布離散型I CT J l 仃 J已知X的分布列為Xx1, x2,，xn,P(X = Y=g(X) Yxi) p1, P2,，pn,，的分布列(5=g(xi)互分相等)如下：g(x1), g(x2)，g(xn),P(Y = yJ 若有某些g(xipL等，喻應(yīng)將對應(yīng)讓n, pi相加作為g(xi)的概率。連續(xù)型先利用X的概率密度fX(x)寫出Y的分布函數(shù)FY(y) =P(g(X) &

10、lt;y),再利用變上下限積分的求導(dǎo)公式求出fy(y)。第三章二維隨機變量及其分布1(1)聯(lián)合 分布離散型P(X,Y) =(Xi,yj) =pj(i, j =1,2,)為亡=(X, Y)的分布律或稱為 X和Y的聯(lián)合分布律。聯(lián)合分工y1y2yjxipnp12p1jx2p21p22p2j-Basxipi1pij布有時也用下面的概率分布表來表示:(1) pj >0 (i,j=1,2,)(2) '、p Pj =1.(3)聯(lián)合 分布函數(shù)設(shè)(X, Y)為二維隨機變量，對于任意實數(shù)x,y,二元函數(shù)F(x,y) =PX <x,Y< y稱為二維隨機向量(X, Y)的分布函數(shù)，或稱為隨機

11、變量 X和Y的聯(lián)合分布函(1) 0 <F(x, y) <1;(2) F (x,y )分別對x和y是非減的，即當(dāng) x2” 時,有 F (x2,y) > F(x 1,y);當(dāng) y2>y1 時,有 F(x,y 2) > F(x,y 1);(3) F (x,y )分別對x和y是右連續(xù)的，即F(x, y)=F(x 0, y), F(x,y) = F(x,y 0);(4)F - = F (/ y) = F (x, 的)=0, F (+嗎 +叼=1.(5)邊緣 分布離散型X的邊緣分布為P尸P(X =k)=£pj(i, j=1,2,);Y的邊緣分布為P. =P(Y =

12、yj)=£pj(i,j=1,2,)。(6)條件 分布離散型在已知X=x的條件下，Y取值的條件分布為PijP(Y = yj |X=x)=_L;Pi.在已知Y=y的條件下，X取值的條件分布為PjP(X =為 |Y = yj)=,，Pd(7)獨立 性一般型F(X,Y)=F x(x)F Y(y)離散型Pij =PiJ.后零不獨立(10)函數(shù) 分布Z=X+Y根據(jù)定義計算：FZ(z) = P(Z <z) = P(X + Y<z)-bo對于連續(xù)型，f z(z) = J f (x, z x)dx兩個獨立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布(口1 + N2,仃；+仃2)。n個相互獨立的正態(tài)分布的線性

13、組合，仍服從正態(tài)分布。N=£ Ci) ,。2=£ Ci2。：Z=max,min(X1,X2，Xn)若X1,X2Xn相互獨立，其分布函數(shù)分別為Fx1 (x), Fx2 (x)Fxn (x),則 Z=max,min(X 1,X2，Xn)的分布函數(shù)為：Fmax(x) = Fx1 (x) *Fx2(x)-" Fxn(x)Fmin (x) = 1 1 Fx1 (x)1 -Fx2 (x)1 -Fxn (x)72分布設(shè)n個隨機變量X1, X 2，X n相互獨立，且服從標(biāo)準(zhǔn)止態(tài)分布，可以證明它們的平方和2(n),其中72分布滿足可加k性：設(shè) Yi 22(ni),則2 =£

14、; Yi ，2(n1 + n2 +nk).iTt分布X N(0,1),Y 度為n的t分布，1-2(n), T -，人，稱隨機變量t服從自由 «Y / n,己為 Tt(n)。t1奇(n) =to(n)F分布設(shè) X ?2(n1), Y 7 2(n2) , F =' "Y/n2F服從自由度為(n1, n 2)的F分布，記為Ff(n 1, n 2).L ，、1F1 奇(n1，n2 ) 一Fa(n2,n1)第四章隨機變量的數(shù)字特征(1) 一維 隨機 變量 的數(shù) 字特 征離散型連續(xù)型期望期望就是平均值ne(x)=£ XkPk-boE(X)= Jxf(x)dx必函數(shù)的期

15、望Y=g(X)nE(Y)=£ g(Xk)PkY=g(X)-boE(Y)= fg(x)f(x)dx2方芯 D(X)=EX-E(X), 標(biāo)準(zhǔn)差仃(X) = JD(X),D(X)=£ Xk -E(X)2Pkk-be2D(X)= fx-E(X)2f(x)6切比雪夫不等式設(shè)隨機變量X具有數(shù)學(xué)期望 E (X)一,方差D (X) =b2,則對于2任意正數(shù)£ , P(|X N之町W工Z期望 的性 質(zhì)(1) E(C)=C(2) E(CX)=CE(X)nn(3) E(X+Y尸E(X)+E(Y) , E(£ CjXi)=£ G E(Xi )iTiT(4) E(XY)

16、=E(X) E(Y)，充分條件：X和 Y獨立；(3) 方差 的性 質(zhì)(1) D(C)=0; E(C)=C(2) D(aX)=a 2D(X); E(aX)=aE(X)(3) D(aX+b)= a 2D(X) ; E(aX+b)=aE(X)+b(4) D(X)=E(X2)-E 2(X)(5) D(X± Y)=D(X)+D(Y),充分條件：X和 Y 獨立；D(X± Y)=D(X)+D(Y) ± 2E(X-E(X)(Y-E(Y),無條件成立。(4) 常見 分布 的期 望和期望力差0-1 分布 B(1, p)Pp(1 - p)二項分布B(n, p)npnp(1 - p)力差

17、泊松分布P(九)九九均勻分布U (a,b)a +b2(b-a)212指數(shù)分布e(K)1T1TyA正態(tài)分布N (也仃2)r2 CJ二維 隨機 變量 的數(shù) 字特 征期望nE(X)=£ XiPi. i =1nE(Y)=£ yjPj jm-boE(X)= Jxfx (x)dx-boE(Y)= JyfY(y)dy6函數(shù)的期望EG(X,Y) = Z 2 G(Xi,yj)pj協(xié)力差 xy或 cov(X,Y),相關(guān)系數(shù)PXY= ,cXYr, | P|=1時，稱X與丫完全相關(guān)JD(X)JD(Y)X, y 不相關(guān)時, Pxy=°； cov(X,Y)=0; E(XY)=E(X)E(Y)

18、;D(X+Y)=D(X)+D(Y); D(X-Y)=D(X)+D(Y).(6) 協(xié)方 差的 性質(zhì)(i) cov (X, 丫尸cov (Y, X);(ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);(iii) cov(X 1+X2, Y)=cov(X 1,Y)+cov(X 2,Y);(iv)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).第五章大數(shù)定律和中心極限定理(1)大數(shù)定律XT N切比雪 夫大數(shù) 定律設(shè)隨機變量X1, X 相互獨立，均具有有限方差，且被同一常數(shù)C所界：D (X) <C(i=1,2,)，則對于任意的正數(shù) £ ,有111n 1n、lim P! -Z Xi E E(Xi) <® =1.Qn 曰n 11)特殊情形：若X1, X2,具有相同的數(shù)學(xué)期望E (X)二科，則上式成為|111 n、lim P! - Z Xi -卜君=1.f In y)(2)中心極限定 理2Xt N(,) n1獨立 同分布 中心極 限定理設(shè)隨機變量X1, X2,相互獨立，