空間向量在立體幾何中的應(yīng)用(重點(diǎn)知識+高考真題+模擬精選)

1、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用【重要知識】一、求平面法向量的方法與步驟：1、選向量：求平面的法向量時(shí)，要選取兩個(gè)相交的向量，如 ab,aC2、設(shè)坐標(biāo)：設(shè)平面法向量的坐標(biāo)為n (x, y,z)n AB 03、解方程：聯(lián)立方程組，并解方程組n AC 04、定結(jié)論：求出的法向量中三個(gè)坐標(biāo)不是具體的數(shù)值，而是比例關(guān)系。設(shè)定某個(gè)坐標(biāo)為常 數(shù)得到其他坐標(biāo)二、利用向量求空間角：1、求異面直線所成的角：設(shè)a,b為異面直線，點(diǎn) A,C為a上任意兩點(diǎn)，點(diǎn) B, D為b上任意兩點(diǎn)，a,b所成的角AC BD為，貝U cos AC BD【注】由于異面直線所成的角的范圍是：090 ,因此cos 02、求直線與平面所成的角：設(shè)

2、直線l的方向向量為a,平面 的法向量為n,直線l與平面 所成的角為，a與na n所成的角為，則sin cosra n【注】由于直線與平面所成的角的范圍是：090 ,因此sin 03、求二面角：8kI. I設(shè)m分別為平面， 的法向量，二面角 l 為 ，則 5,% 或*n1,n2 ,其中 cos “，”r三、利用向量求空間距離：1、求點(diǎn)到平面的距離*一AB n設(shè)平面 的法向量為n , A , B ,則點(diǎn)A到平面 的距離為 n2、求兩條異面直線的距離設(shè)11,12是兩條異面直線，n是公垂線段 AB的方向向量，C,D分別為11,12上的任意兩點(diǎn),CD n則11與12的距離為AB【重要題型】1、( 201

3、2廣東，理)如圖所示，在四棱錐P ABCD中，底面ABCD為矩形，PA 平面ABCD，點(diǎn)E在線段PC上，PC 平面BDE(1)證明：BD平面PAC(2)若PA 1,AD 2,求二面角 B PC A的正切值2、(2013廣東，理)如圖，在等腰三角形ABC中， A 90BC 6, D,E分別是AC, AB上的點(diǎn)，所示的四棱錐A(1)證明：A O(2)求二面角ACD BE J2,O為BC的中點(diǎn)。將 ADE沿DE折起，得到如圖BCDE ,其中 AO J3。平面BCDECD B的平面角的余弦值牌超盅3、(2009廣東，理)如圖，已知正萬體 ABCD A1B1C1D1的棱長為2,點(diǎn)E是正方形BCC1B1的

4、中心，點(diǎn)F,G分別是棱CiDi、AAi的中點(diǎn)，設(shè)Ei,Gi分別是點(diǎn)E,G在平面DCCiDi內(nèi) 的正投影。(1)求以E為頂點(diǎn)，以四邊形 FGAE在平面DCC1D1內(nèi)的正投影為底面邊界的棱錐的體積；(2)證明：直線FG1 平面FEE1；(3)求異面直線E1G1與EA所成角的正弦值。4、(2013課標(biāo)，理)如圖，直三棱柱ABC A1B1cl中，D,E分別是AB, BB1的中點(diǎn),AAiACCB AB2(1)證明：BC1/平面 A1CD；(2)求二面角 D A1C E的正弦值.5、(2012遼寧，理)如圖，直三棱柱 ABC ABC , BAC 90 , AB AC AA ,點(diǎn)M , N分別為A B和B

5、C的中點(diǎn)(1)證明：MN 平面A ACC ；(2)若二面角 A MN C為直二面角，求 的值.6、（ 2010 遼寧,理）已知三棱錐P ABC中，PA1 PA AC AB 2(1)證明：CM(2)求SN與平面N為AB上一點(diǎn)，AB 4AN , M ,S分別為PB, BC的中點(diǎn)。SN;CMN所成角的大小(1)證明：EB FD ;7、(2010廣東，理)如圖， 6 是半徑為a的半圓，AC為直徑，點(diǎn)E為 7 的中點(diǎn), 點(diǎn)B和點(diǎn)C為線段AD的三等分點(diǎn)，平面AEC外一點(diǎn)F滿足FB FD J5a ,FE .6a(2 )已知點(diǎn)Q,R分別為線段FE ,FB上的點(diǎn)，使得一22FQ-FE ,FR-FB,求平面BED

6、與平面RQD所成33面角的正弦值.8、(2013汕頭高二統(tǒng)考，理)在四棱錐P ABCD中，PA 平面ABCD , ABC是正三角形，AC與BD的交點(diǎn)M恰好是AC中點(diǎn)，又PA AB 4 , CDA 120：,點(diǎn)N在線段PB上，且PN ,2 .(1)求證：BD PC;(2)求證：MN/平面PDC;(3)求二面角 A PC B的余弦值.1、(1)證明：PA 平面 ABCD, BD 平面 ABCD, PA BD又 PC 平面 BDE , BD 平面 BDE , PC BDPA PC P, BD 平面 PAC(2)解：BD 平面 PAC , AC 平面 PAC , BD AC矩形ABCD是正方形建立如圖

7、所示的坐標(biāo)系 A xyz,則A(0,0,0), P(0,0,1), C(2,2,0), B(2,0,0)AP (0,0,1) , AC (2,2,0)BP ( 2,0,1), BC (0,2,0)設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為n1(x1, y1 ,z1)AP niAC n1乙 0即1111 111 111 2 22x1 2 yl令 X11,則 y11,乙 0,即 n1(1, 1,0)設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為n2 (x2,y2,z2),則 BCn2 0,即 y20BP n2 02x2 z2 0令 x2 1 ,則 y20,z22,即 電 (1,0,2)-' ! n1n2110cos n1 ,

8、 n2-, .3.1010n1n22510設(shè)二面角B PC A的大小為 ，則cos上10 , sin10tan 32、(1)證明：連接OD,OE由圖得，OC 3, AC 3.2, AD 2 2在 OCD中，由余弦定理可得,222OD2 OC2 CD2 2OC CD cos45由翻折的不變性可知， AD AD 2 2AO1 22 OD2 AD2, AO OD同理可證，AO OE又 OD OE O, AO 平面 BCDE5 ,即 ODJ5(2)解：以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系O xyz如圖所示則 A(0,0, ,3),C(0, 3,0),D(1, 2,0)設(shè)平面A CD的一個(gè)法向量為n(x,

9、y, z),則CA nDA n3y .3z 0即)x 2y . 3z 01,z 加，即n (i, 1,畫由(1)知，OA(0,0, J3)為平面CDB的一個(gè)法向量cosn,OAn OA.15OA3.55即求二面角ACD B的平面角的余弦值為,1553、(1)解：依題意得,EEi 平面DCC1D1,且四邊形FGAE在平面DCCiDi內(nèi)的正投影為四邊形FG1DE1點(diǎn)E是正方形BCCiBi的中心， EEi 1SFG1 DE1SDCC1D1S FD1GlS E1clFS DCE1所以 CA (0,3, V3), DA ( 1,2j3)22 112故所求的四棱錐的體積為 VE FCDE SFEDG EE

10、1 -21-i i 3 iL>j33(2)證明：由(1)知，E1C1F與 GiDiF都是等腰直角三角形G1FE190 ,即 FG1 FE1又 EE1 平面 DCC1D1, FG1 平面 DCC1D1, EE1 FG1EE1 FE1 E1 , FG1 平面 FEE1(3)解：以D為原點(diǎn)，DD1，DC,DA分別為z軸，y軸，x軸的正向，:DD，為1個(gè)單位長度，EAcossin4、(1)，則 E(1,2,1),F(0,1,2),Gi(0,0,1), Ei(0,2,1) ,A(2,0,0)(1, 2, 1)EA, E1GlEA, E1G1證明：連接EG(0, 2,0)EA E1GleA E1G1

11、1(；)2 3,33ACi交AiC于點(diǎn)F ,則F為ACi中點(diǎn)又D是AB中點(diǎn)，連接DF ,則BC1 / DFDF 平面 ACD , BC1 平面 ACD,BC1 /平面 A1CD(2)由 AC CB "AB 得，AC BC2以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 C xyz ,設(shè)CA 2 ,則D(1,1,0), E(0,2,1), Ai(2,0,2),CD (1,1,0), CE (0,2,1),鬲(2,0,2)1-設(shè)n1(x1, y1，乙)是平面A1CD的法向量，則n1 CDn1 CAXi2x1y102Zi 0可取n1(1, 1, 1)(x2, y2,z

12、2)是平面A1CE的法向量，則n2CE0 ,即2y2Z20&CA102x22Z20從而cosn1，n2n1&3同理，設(shè)n2可取 n2(2,1, 2)nin23,故 sinn1,n23,63即二面角DA1CE的正弦值為Y635、(1)證明：連接AB , ACn1 AMn1 MN0得,三棱柱ABC ABC為直三棱柱， M為A B的中點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)又 N為B C的中點(diǎn)MN/ACAC 平面 A ACC , MN 平面 A ACCMN /平面 A ACC(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線 AB,AC,AA為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ) xyz,如圖所示：設(shè) AA 1 ,則

13、 AB AC于是 A(0,0,0), B( ,0,0), C(0, ,0)A (0,0,1), B( ,0,1), C(0, ,1)1、因此，M (,0, ) , N( , ,1)222 2設(shè)n1 (x1, y1,4)是平面A MN的法向量,同理，設(shè)n2 (x2, y2,z2)是平面MNC的法向量,工& NC由n2 MN0得,-x2- y222Z20,可取n2(3, 1,)y2- Z2022A MN C為直二面角吊n20,即 3 120,解得J26、(1)證明：設(shè)PA 1,以A為原點(diǎn),AB,AC, AP分別為x, y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：- _11-則 P(0,0,

14、1),C(0,1,0),B(2,0,0),M(1Q2),N(5,0,0)c 1S(1,2,0)1 -CM (1, 1,2),SN (一一一 11由 CM SN11 c、,0)2 2(2)2 21NC ( -,1,0)20可知，CMSN(x, y, z)為平面CMN的一個(gè)法向量NC 0 /日. 得,CM可取(2,1, 2)設(shè)SN與平面CMN所成角為sincosn,SNSNn SN457、( 1)證明：EBFE2EBE為 ADFB2 FB的中點(diǎn),EB2又 FBADEBFD平面BDFEBAB BC , AC為直徑FD(2)如圖，以B為原點(diǎn)，BE,BD分別為x, y軸正方向，過 B作平面BEC的垂線，

15、建立空間直角坐標(biāo)系 B xyz,連接FC由此得,B(Q0,0),C(Q a,0),D(0,2a,0),E(a,Q0)FDFB, BC CDFCFCFQBD2a22-FE,FR -FB33i 2R(0，a,-a)3 3一 2 2RQ 2 be (2a,0,0)3352、RD (0, a, a)33設(shè)平面RQD的法向量為ni（Xi，yi，zi）n1 RDni RQ0得,05 ayi32 axi32一 aZi3可取 ni(0,2,5)同理，設(shè)平面BED的法向量為n2(X2, y2，Z2),可取 出 (0,0,1)cosni,n2ni n25 2929sinni,n22一2929平面BED與平面RQD

16、所成二面角的正弦值為2 一 29298、證明：（i）因?yàn)?ABC是正三角形， M是AC中點(diǎn),所以BM AC ,即BD AC又因?yàn)镻A 平面ABCD, BD 平面ABCD , PA BD 2分又PApAC A,所以BD 平面PAC 3分又PC 平面PAC ,所以BD PC 4分（2）在正三角形 ABC中，BM 273 5分在 ACD中，因?yàn)?M為AC中點(diǎn)，DM AC ,所以AD CDCDA 120：，所以 DM 哀3,所以 BM : MD 3:1 6分3在等腰直角三角形PAB中，PA AB 4, PB 4 J2，所以 BN : NP 3:1 , BN : NP BM : MD ,所以 MN /PD 8 分又MN 平面PDC , PD 平面PDC ,所以MN /平面PDC 9分(3)因?yàn)?BAD BAC CAD 90；,所以