數(shù)值分析講義

1、第1章數(shù)值分析中的誤差一、重點內(nèi)容誤差 設精確值X*的近似值X,差e= xx*稱為近似值 x的誤差(絕對誤差)。誤差限 近似值x的誤差限是誤差e的一個上界，即|e|=|x-x*|< £ o相對誤差er是誤差e與精確值x*的比值，與=二=冥"。常用 小二上計算。工 工X相對誤差限 耳是相對誤差的最大限度，/4g",常用 畝計算相對誤差限。絕對誤差的運算：e xi ix2)= &乂1)+ &M)exix2)=|xi| ；x2)十|x2| 以0自國=周£區(qū))+同£(有效數(shù)字如果近似值x的誤差限e是它某一個數(shù)位的半個單位，我們就說

2、x準確到該位。從 這一位起到前面第一個非0數(shù)字為止的所有數(shù)字稱為x的有效數(shù)字。關(guān)于有效數(shù)字：(1)設精確值x*的近似值x,x= 10.aia2an M0 mai, a2,，an是09之中的自然數(shù)，且 aiw0,|x-x*|< £ = 0.5X i0m l , iwiwn則x有l(wèi)位有效數(shù)字.(2)設近似值x=±0.aia2anxiom有n位有效數(shù)字，則其相對誤差限|鳥區(qū)公西(3)設近似值 x=± 0.aia2anx iom的相對誤差限不大于- xlO-B+12 防 +1)則它至少有 n位有效數(shù)字。（4）要求精確到10 3,取該數(shù)的近似值應保留4位小數(shù)。一個近似

3、值的相對誤差是與準確數(shù)字有關(guān)系的，準確數(shù)字是從一個數(shù)的第一位有效數(shù)字一直數(shù)到它 的絕對誤差的第一位有效數(shù)字的前一位，例如具有絕對誤差e= 0.0926的數(shù)x= 20.7426只有三位準確數(shù)字2, 0, 7。一般粗略地說，具有一位準確數(shù)字，相對于其相對誤差為10%的量級；有二位準確數(shù)字，相對于其相對誤差為1%的量級；有三位準確數(shù)字，相對于其相對誤差為0.1%的量級。二、實例 * _ . 例 1 設 x= =3.1415926近似值x= 3.14=0.314X101,即m=1,它的誤差是 0.001526，有|x-x*|= 0.001526 < 0.5X 101 3即1=3,故x= 3.14

4、有3位有效數(shù)字。x= 3.14準確到小數(shù)點后第2位。又近似值 x= 3.1416,它的誤差是 0.0000074 ,有x-x*|= 0.0000074< 0.5 X 101 5即m=1, 1 = 5, x= 3.1416有5位有效數(shù)字。而近似值 x= 3.1415,它的誤差是 0.0000926有x-x*|= 0.0000926< 0.5 X 101 4即m=1, 1 = 4, x= 3.1415有4位有效數(shù)字。這就是說某數(shù)有s位數(shù)，若末位數(shù)字是四舍五入得到的，那么該數(shù)有s位有效數(shù)字；若末位數(shù)字不是四舍五入得到的，那么該數(shù)有s位或s- 1位有效數(shù)字。例2指出下列各數(shù)具有幾位有效數(shù)字

5、，及其絕對誤差限和相對誤差限：2.000 4- 0.002 009 0009 000.00解 因為 xi= 2.000 4 = 0.200 04 X 101,它的誤差限 0.000 05 = 0.5X 10 1 5,即 m=1, 1=5,故 刈 =2.000 4有5位有效數(shù)字。相對誤差限弓=；器;=0.。蒐$/。x2=- 0.002 00,誤差限 0.000 005,因為 m=- 2, 1=3, x2=- 0.002 00 有 3 位有效數(shù)字。相對誤差限 = 0.000 005/0.002 00 = 0.25%。X3= 9 000,絕對誤差限為 0.5,因為 m=4, l=4, x3= 9 0

6、00有4位有效數(shù)字，相對誤差限r(nóng)= 0.5/9 000 = 0.005 6%。X4=9 000.00 ,絕對誤差限 0.005,因為 m= 4, l = 6, X4= 9 000.00有6位有效數(shù)字，相對誤差限 為 r = 0.005/9 000.00 = 0.000 056%。由X3與X4可以看到小數(shù)點之后的0,不是可有可無的，它是有實際意義的。例3 ln2= 0.69314718，精確到10一3的近似值是多少？解 精確到10-3=0.001 ,即絕對誤差限是=0.05%,故至少要保留小數(shù)點后三位才可以。ln2 =0.693。三、練習題1 .設某數(shù)X*,它的保留三位有效數(shù)字的近似值的絕對誤差

7、是 。2 .設某數(shù)X*,它的精確到104的近似值應取小數(shù)點后 位。3 .()的3位有效數(shù)字是 0.236X 102。(A) 235.54 X 10 1(B) 235.418(C) 2354.82 X 10 2(D) 0.0023549 X 1034.設a* = 2.718181828，取 a= 2.718,則有()，稱a有四位有效數(shù)字。(A) |a-a*|< 0.5X 10 4(B) |a-a*|<0.5X 101 4(C) |a a*|w 10 4(D) |a a*|< 0.00035.設某數(shù)x*,對其進行四舍五入的近似值是()，則它有3位有效數(shù)字，絕對誤差限是0.5X 1

8、0 4O(A) 0.315(B) 0.03150(C) 0.0315(D) 0.003156 .以下近似值中，保留四位有效數(shù)字，相對誤差限為0.25X10-3。(A) 0.01234(B) T2.34(C) 220(D) 0.22007 .將下列各數(shù)舍入成三位有效數(shù)字，并確定近似值的絕對誤差和相對誤差。(1) 2.1514(2) - 392.85(3) 0.0039228 .已知各近似值的相對誤差，試確定其絕對誤差：(1) 13267 er = 0.1%(2) 0.896 e r= 10%9 .已知各近似值及其絕對誤差，試確定各數(shù)的有效位數(shù)。(1) 0.3941e= 0.25X 10 2(2)

9、293.481e= 0.1一4(3) 0.00381 e = 0.1x 10 410.已知各近似值及其相對誤差，試確定各數(shù)的有效位數(shù)。(1) 1.8921 e r= 0.1 X 10 2(2) 22.351 e r=0.15(3) 48361 e r= 1%四、練習題答案1 .該數(shù)有效數(shù)字第四位的一半。2 .五 3. (A)4. (B)5. (C) 6. (D)7 . (1)2.15, e= - 0.14 10 2, e r= 0.65 10 3； (2) 393,e= 0.15, e r=0.38 10 3； (3)0.00392, e=0.2X0 5, er=0.51 10 38 . (1

10、) e=0.13 102； (2) 0.9 10 19 . (1) 2; (2)3; (3)210 .(1) 3; (2)1; (3)2第15章線性方程組的數(shù)值解法一、重點內(nèi)容1 .高斯順序消去法解線性方程組 AX=b,對增廣矩陣月他1順序作初等行變換，使矩陣A化為上三角形矩陣，再回代，從而得到線性方程組的解。要求作初等行變換消元過程中，仁注意：本章討論線性方程組的解的方法，不討論解的存在性。2 .高斯列主元消去法在高斯順序消去法中，每次消元之前，要確定主元上，=胃警卜片”(k=1, 2, 3,n1)把第r行作為主方程，做第 k次消元。把系數(shù)矩陣化為上三角形矩陣，從而得到線性方程組的解。3.雅

11、可比迭代法(簡單迭代法)解線性方程組AX = b的雅可比迭代法公式為(k= 0, 1, 2,)4.高斯一一賽德爾迭代法解線性方程組 AX=b的高斯一一賽德爾迭代法公式為1 J-11網(wǎng)鬲博/產(chǎn)+白)(i=1, 2,，n； k= 0, 1, 2,)aii>1j-J+15.解的收斂性定理【定理1】高斯消去法消元過程能進行到底的充分必要條件是系數(shù)矩陣A的各階順序主子式不為0; AX=b能用高斯消去法求解的充分必要條件是A的各階順序主子式不為 0?！径ɡ?】(迭代法基本定理)設線性方程組X=BX+f對于任意初始向量 X及任意f,對應此方程組白迭代公式 X(k+D=B (k)X + f收斂的充分必要

12、條件是 小鬻RJmI ,其中Q ( i=1, 2,，n)為迭代矩陣B的特征根。當 入i為 復數(shù)時，|入i|表示 尢的模。【定理6】(迭代法收斂的充分條件)設線性方程組 AX=b,(1)若A是嚴格對角占優(yōu)矩陣，則雅可比迭代法和高斯一一賽德爾迭代法收斂;(2)若A為對稱正定矩陣，則高斯一一賽德爾迭代法收斂。注：設矩陣A=aj n,若-i/hj則稱矩陣A是嚴格對角占優(yōu)矩陣。二、實例例1用順序消去法解線性方程組2xl + 4工至二-143哥4+啊=4% + 2x3 +4/=-1解順序消元D 14-L1辿刃 g U 0.5 -5 5.50017-17于是有同解方程組2兩十了口十4工己=-1i 4-5工彳

13、=5.5JiJ17x2 = -17回代得解X3= 1, X2= 1 , X1=1,原線性方程組的解為X= (1 , 1, 1)T。例2取初始向量X=(0, 0, 0)T,用雅可比迭代法求解線性方程組解建立迭代格式，產(chǎn) 1)=(2 靖)+ 2工r)+ 12, 3,)/產(chǎn)=-(/)+申)+ 3 (k=1工產(chǎn)=-2(舉十摩)十5第1次迭代，k=0X=0,得到 X=(1, 3, 5)T第2次迭代，k= 1= (-2x3 + 2x5)-hl = 5«= (l+5)+3 = 3婢 :2(l 十 3)+ 5 = -3X=(5, 3, - 3)T第3次迭代，k=2工丁二(-2x(-3)+ 2x(-3

14、)-bl = 1；= -(5 + (-3)+3 = 1率二一2(5-3) + 5 =1X(3)=(1, 1, 1)T第4次迭代，k=3Lf° = (-2xl + 2xl) + l= 1* 總4' = -(1 + 1) + 3 = 1一一二 - 2(1 + 1)+5 二 1 JX(4)=(1, 1, 1)T例3填空選擇題:1.用高斯列主元消去法解線性方程組/+ 2穴之十I土 0- 2<1 + 2 + 3x3 = 3一七- 3/= 2作第1次消元后的第2, 3個方程分別為。解 選a2i = 2為主元，作行互換，第 1個方程變?yōu)椋?xi + 2X2+3x3= 3,消元得到x2

15、 -。-5工3 = -1.5-2/ +1 3恐 3 5是應填寫的內(nèi)容。2 .用選主元的方法解線性方程組AX=b,是為了()(A)提高計算速度(B)減少舍入誤差(C)減少相對誤差 (D)方便計算答案：選擇(B)3 .用高斯一一賽德爾迭代法解線性方程組五 1 + 2k± 2Km 1( %+礴+工” 32叫 + 2 勺 +x3 = 5的迭代格式中 公3"=(k=0, 1, 2,)答案：3-鏟】)-工？解答：高斯一一賽德爾迭代法就是充分利用已經(jīng)得到的結(jié)果，求X2的值時應該用X1的新值。10再一式a - 3%=7.24 .當a ()時，線性方程組'一勺+7心+ 3也=3 3的

16、迭代解一定收斂。2zj - 4勺 + 口/= 9.2(A) >6(B) =6(C) <6(D) >6 或 V 6答案：(D)解答：當ai>6時，線性方程組的系數(shù)矩陣是嚴格對角占優(yōu)矩陣，由教材第 io章定理6,迭代解一 定收斂。三、練習題1 .用高斯列主元消去法解線性方程組2 HL+3工工+ 5工孑=5* 3西+ 4電+71=611-H 3七+ 3工3二32 .用高斯一一賽德爾迭代法求解線性方程組6工1-修一三二11 3?“一再 + 6電-2l3 = 32一 一 / 十 雙-42取初始值(4.67, 7.62, 9.05)T,求二次迭代值。3 .證明線性方程組-9工一池+

17、 2碼=20；4% +11工？ 一三二 334x1 - 3x2 +12/弓-35的迭代解收斂。4 .用高斯順序消去法解線性方程組，消元能進行到底的充分必要條件是 _? Aj 一五力+ 4五三=15 .用列主元消去法解線性方程組，-a-9附=0 ,第1次消元，選擇主元為()T-泡+巧=-1(A) 3(B) 4(C) -4(D) 9四、練習題答案1. X = (-4, 1, 2)T2. (4.666 19, 7.618 98, 9.047 53)T3. 提示：系數(shù)矩陣是嚴格對角占優(yōu)矩陣。4. 線性方程組的系數(shù)矩陣的各階順序主子式均不為0。5. (C)第2章函數(shù)插值與最小二乘擬合一、重點內(nèi)容1 .函

18、數(shù)插值已知函數(shù)f(x)的n個函數(shù)值yk=f(xk), k=0, 1, 2,，n。構(gòu)造一個多項式 P(x),使得P(xk)=yk。 P(x)就是插值多項式，f(x)就是被插函數(shù)，xk就是插值節(jié)點。誤差R(x) = f(x)P(x)。2 .拉格朗日多項式稱n次多項式Pn (x)= yolo+yili+ ynln =為拉格朗日插值多項式，其中基函數(shù)1(超)=(下一見)0一再>一(五一號_1)6一為+1)一(芫一七)(均一殉)(芍-11)f 1”(均一。)(i=0, 1, 2,，n)當 n=1 時，線性插值Pi(x)= yklk(x)+yk+ilk+i(x)其中基函數(shù)'： 1/一%+1當

19、n=2時，得到二次多項式，就是二次插值。拉格朗日插值多項式的余項為喂，其中E C (a, b)注意：過n+1個互異點，所得的多項式應該是次數(shù)不超過n的多項式。3 .均差與牛頓插值多項式函數(shù)值與自變量的差商就是均差,一階均差n "加一"勺)(或記作fxo, XI)；一工,)一二階均差 ，(Xg/,K；2)= (或記作 fxo, X1, X2)均差有兩條常用性質(zhì)：(1)均差用函數(shù)值的線性組合表示；(2)均差與插值節(jié)點順序無關(guān)。用均差為系數(shù)構(gòu)造多項式，就是牛頓插值多項式Nn(x) = f(X0)+ fX0, xi(x X0) + fX0, X1 , X2(X X0)(X Xi)

20、十+ fX0, Xi, X2, ， Xn(xX0)(xxi)(xX2) (X Xn-l)牛頓插值多項式的余項為：R n(X) =f(X) Nn(X)=fx, X0, Xi , X2, ，Xn(xX0)(xxi)(x X2) (X Xn l)(X Xn)4 .分段線性插值已知n+i個互異節(jié)點xo, xi,，xn構(gòu)造一個分段一次的多項式P(x),且滿足：(i)P(x)在a, b上連續(xù)；(2) P(Xk) = yk(k=0, i, 2,，n); (3)P(x)在Xk, Xk+i上是線性函數(shù)。分段線性插值函數(shù)F：二"二;：二1- .1其中l(wèi)k(x)(k=0, i, 2,，n)是分段線性插值基

21、函數(shù)。工一工1o工一 < x <玉。二k£芍7,工訃1工工工外(i = i, 2,，n-i)5 .三次樣條插值函數(shù)皿、 (工-0工) . 片 _勺+1. 展S(2 -叫 + -A+i-(yt -修Q： + Cyjt5期此54,6h k6(k=0, 1, 2,，n 1) (xYxWxk+i)mn滿足的方其中 S(Xk)=mk (k=0, 1,2,，n),hk = xk+i xk(k= 0, 1, 2,，n1), mo,mi,程組是1史上冽41+2那工+ /鹿肚二二,(*)-1 - 4 -6 （加一._九一%）% 十%1 限為I(k= 1, 2,，n-1)2 -2班1 + H

22、z啊='工修 /MVi+2咨=%其中:(1)當已知 S(xo) = yo, S(xn)=yn 時，(*)式中 0 = 1, n=1,(2)當已知 S(xo)=yo=mo, S (xn) = y n= mn 時，(*)式化為%陽q+2e十"% = ci 4尸：幾用.+2叫+4網(wǎng)桿二。 4 3- 4 »« + a » » * a-il-2 + 2 網(wǎng)X-l 十 "端力二*L Ma-lMfl6 .最小二乘法 K用(x)擬合數(shù)據(jù)(xk, yk) (k=1, 2,，n),使得誤差的平方和£必-甲f為最小，求(x)的方法，稱為最

23、小二乘法。(1)直線擬合 若1y =默。)=4+口/，a0, ai滿足法方程組”.N叫+(Z “泗=2總 A-1：-14 RRN(2口詢十熠的=2從九.E-LQlJU1(2)二次多項式擬合若 y -伊(工)二也Q + 1工+4口工口，a。，ai, a2滿足法方程組叫= ZaA-"itX"iKK花荔辰 1卜 1&7nm才奇4z就十明工V十與ZX二二m點£ 1x»iJiLt二、實例例1已知函數(shù)y=f(x)的觀察數(shù)據(jù)為xk2045yk51-31試構(gòu)造拉格朗日多項式Pn(x),并計算P(-1)o只給4對數(shù)據(jù)，求得的多項式不超過 3次解先構(gòu)造基函數(shù)犬O-

24、4)(工- 5)841=式久-4乂了-5)° (-2-0)(-2-4)(-2-5)%® =0 + 2)年4乂工一5)4)(。-5)心+ 2心-秋犬-5)405-5)(4+2)(-0X4-5)K(K +2)(x- 5)24(x + 2)j(z-4)35(京 + 2Rx-4) + 2)(3 - 0(5 - 4)所求三次多項式為雪P3(X尸 Z/區(qū)=-5vr(x-4Xx-5) CxXr-D(x-5844024(# + 2)kQl 4)55x +14215I55, 24P3(-1) =-14- I 4214217例2已知函數(shù)y=f(x)的數(shù)據(jù)如表中第1, 2歹U。計算它的各階均差。

25、解 依據(jù)均差計算公式，結(jié)果列表中。kXkf(Xk)一階均差二階均差三階均差四階均差00.400.410 7510.550.578 151.116 0020.650.696 751.168 000.280 0030.800.888 111.275 730.358 930.197 3340.901.201 521.384 100.433 480.213 000.031 34計算公式為一階均差 -JG)二小叫k* 1, 2, 3)Xj' r Xjl I 工屏1 n Xjt+Q 二階均差八限，了心二g=八輯 Q 八z e (k=0, 1, 2)i十,工&+a 一 _/【工年七l，1四七

26、3, Xfct31二階均差，1>£,工“1，維門，4+= (k=0, 1)幾-"四階均差打y y y y . 1力電的，電一九題,瓜與，山J L人0，1L 勺，工生 餐.例3設xo, xi, X2,，xn是n+1個互異的插值節(jié)點，lk(x) (k=0, 1, 2,，n)是拉格朗日插值基 函數(shù)，證明：n#Z人1； (2) £白琉,/(m=0, 1, 2,，n) Jt-oI證明(1) Pn(x)= yolo+y1l1+ + ynln = £y&, L-C(建 + 1)1明川(川*工)=月(工”再(工)當f(x)三1時,1= 1, 二.三：,JU

27、Jm+D!由于=。，故有 .】(2)對于 f(x) = xm, m=0, 1, 2, Jt-0n,對固定xm (0<m<n),作拉格朗日插值多項式，有當 n>m 1 時，f(n+1) (x)=0, Rn(x)=0,所以 £琥1/式工)科注意：對于次數(shù)不超過n的多項式 ")/克"f+ 為工+ % ,利用上結(jié)果，有=.，二二；八一】二'；'-'"+,二-'二'：. L-0Jt-0JUOJb-0=匚: .，,-一-：七- -D - 工,：,一 h-0Jt-0可見，Qn(x)的拉格朗日插值多項式就是它自身

28、，即次數(shù)不超過n的多項式在n+1個互異節(jié)點處的拉格朗日插值多項式就是它自身。例4已知函數(shù)e x的下列數(shù)據(jù)，用分段線性插值法求x= 0.2的近似值。x0.100.150.250.30e x0.904 8370.860 7080.778 8010.740 818解 用分段線性插值，先求基函數(shù)。Z0= 3-20x 0.10 <<0,15?式犬-0.050015，工與0加x-0 10 (k05二 20x- 2a-0.25-0 io-= 2.5-1Q.t0 io<7 <0.15<0,250 25工工工U30lCH50.10-0.30二 0 050.W<j<C.1

29、50.15<<0,250 25 <x<0300.1u<x<0,25h n ?、= 20x-5 0.25 <x <0 30L 0 05所求分段線性插值函數(shù)為r-O.882 58jt+0,993095 0.10<<0.15F(x) = -0.819 07x+0.983 569 0 15< <0.25i-0.759旗工+0,968 716 0 25 <z <030所以，e 02= P(0.2) = 0.819 07X 0.2 + 0.983 569= 0.819 755例5已知數(shù)據(jù)如表的第 2, 3歹U,試用直線擬合

30、這組數(shù)據(jù)。解計算列入表中。kxkyk砰xkyk11414224.5493369184481632558.52542.5153155105.5n= 5。a。，ai滿足的法方程組是Sa0 +15% = 3115即斗 55 dti =105.5解得ao=2.45, ai= 1.25。所求擬合直線方程為y=2.45+ 1.25x例6選擇填空題1.設 y=f(x),只要 x0, x1,X2是互不相同的3個值，那么滿足P(xk)=yk (k=0, 1, 2)的f(x)的插值多項式P(x)是(就唯一性回答問題)答案：唯一的解答：因為過3個互異節(jié)點，插值多項式是不超過2次的。設P(x) = a2x2+aix+

31、ao,其中a2, ai,ao是待定數(shù)。P(xk)=yk,即/片+% =為%需十%七十即二居這是關(guān)于a2, ai, a0的線性方程組，它的解唯一，因為系數(shù)行列式君而1W / 1乂七一/)(% 工)工。K / 1所以，不超過2次的多項式是唯一的。2 .通過四個互異節(jié)點的插值多項式P(x),只要滿足()，則P(x)是不超過一次多項式。(A)初始值yo = 0(B) 一階均差為0(C)二階均差為0(D)三階均差為0答案：(C)解答：因為二階均差為 0,那么牛頓插值多項式為N(x) = f(xo)+ fxo, xi(x xo)它是不超過一次的多項式。3 .拉格朗日插值多項式的余項是()，牛頓插值多項式的

32、余項是()(A)(芥+1)!(B) fx, x0, xi , x2, ，xn(x- xi)(x x2) (x xn l)(x xn)(C) 1-： -(D) fx, x。，xi, x2 , ，xn(x x0)(x xi)(x x2)(x xn l)(xxn)答案：（A） , （D）。見教材有關(guān)公式。4.數(shù)據(jù)擬合的直線方程為y = ao+aix,如果記那么系數(shù)a。，ai滿足的方程組是（）青5口 +的l = y（A）."0 +白1左=?（C）-, 陽網(wǎng)%+Q%二%答案：（B）解答：因為法方程組為（京電）的+應用固=£皈”.JULJWU11 91-由第1個方程得到怎二一 

33、3;” -%一二， 二 >- % X，將其代入第2個方程得到題兄_1增JU1岸兀&-31元）十（二工;）值1 = z二%丁k-1整理得6三:;二,二三,丁,二二A«i.故（B）正確。三、練習題1 .已知函數(shù)y = f(x),過點(2, 5), (5, 9),那么f(x)的線性插值多項式的基函數(shù)為 。2 .過6個插值節(jié)點的拉格朗日插值多項式的基函數(shù)l4(x) =。3 .已知多項式 P(x),過點(0, 0), (2, 8), (4, 64), (11, 1331), (15, 3375),它的 3 階均差為常數(shù) 1, 一階，二階均差均不為0,那么P(x)>()(A)

34、二次多項式(B)不超過二次的多項式(C)三次多項式(D)四次多項式4 .已知y=f(x)的均差/與，/(/"*馬=另。那么 fx4, x2, x0=()(A) 5(B) 9(C)14(D) 85 .求數(shù)據(jù)擬合的直線方程 y = ao+ax的系數(shù)ao, a1是使 最小。6 .求過這三個點(0, 1), (1, 2), (2, 3)的拉格朗日插值多項式。7 .構(gòu)造例2的函數(shù)f(x)的牛頓插值多項式，并求f(0.596)的近似值。8 .設l0(x)是以n+ 1個互異點x0, x1, x2,，xn為節(jié)點的格朗日插值基函數(shù)0一通)(1一飛)Q-q)% -7q77r(飛-同)(女-孫)(勒-試證

35、明:W+5 汽口)I 0 劭)5-馬)(勺-瓦)(/一_)(/ 一町)5 -勺)(珀-石)(4-9.已知插值條件如表所示，試求三次樣條插值函數(shù)。x123y2412y1-110.已知數(shù)據(jù)對(7, 3.1), (8, 4.9), (9, 5.3), (10, 5.8), (11, 6.1), (12, 6.4), (13, 5.9)。試用 二次多項式擬合這組數(shù)據(jù)。四、練習題答案21.一3 3一/)(凝一工,(。-%)3 . C 4. B 5. 2。廠/-%/y6. x+1fc-i7 .給定五對點，牛頓多項式是不超過4次的多項式。N4(x) = 0.41075+ 1.11600(x 0.40) +

36、0.28000(x 0.40)(x- 0.55)+ 0.19733(x-0.40)(x- 0.55)(x- 0.65)+ 0.03134(x-0.40)(x- 0.55)(x- 0.65)(x- 0.80)將 x= 0.596 代入牛頓多項式 N4(x)中，得到：f(0.596)N(0.596) = 0.631 928 .提示：求l0(x)的牛頓插值多項式。9 43x3 +x-7 大五口口1Q997-x5 + 67x2-x+W5 x e23L 2210. y= 0.145x2+ 3.324x-12.794第4章數(shù)值積分與微分一、重點內(nèi)容m+ 1次代數(shù)多項式不成立。1 . m次代數(shù)精度 求積公式

37、 dJUO對于任意不超過m次的代數(shù)多項式都準確成立，而對某一個2 .牛頓一一科茨求積公式f/取冏3 -+喇a(chǎn)JU)截斷誤差1, - n支£)/x (a < <h). 5+1)! Io(1)科茨系數(shù)： 微三依"| J；t° /山(k=0, 1, 2,，n),有兩條性質(zhì)。 g戈(2)牛頓一一科茨求積公式的求積系數(shù)：Ak = (i)Ct)(k= 0, 1, 2,，n)(3)常見牛頓一一科茨求積公式梯形公式, ,，】.一：'截斷誤差：對f 一色就1mg"物復化梯形公式廣加河注g【f(而)十2(丁內(nèi))十/區(qū))十十f(J)十八勺)截斷誤差：取三與

38、，"% , M2= rnirl拋物線公式I二心 ' _ '：，. 一 ;，)1Ja62復化拋物線公式f /立k冊成+知1 +另+十力武仆+/* +Kl)+/» 上由J截斷誤差：%。仁寡血回*詞Z oU科茨公式。以叱恁- glQ 8） +*（勺）3 .高斯一一勒讓德求積公式 J j（x）依粗£aj（m）, 口U0、1 d"（公-節(jié)點為 23二1 .'的零點（高斯點）2 k! dx2其余項：，,- 一 -：，-（2理+ 2）!八4.微分公式等距節(jié)點兩點求導公式：L 1（k=0, 1, 2,，n1）回力刀:叼一/吊） I口（2）等距節(jié)點

39、三點求導公式：*工h）*上%L +%-%）1）丁廉卜上（-% + %）（k= 1，2，n"%，"羨Si -"工+力）、實例例1試確定求積公式./（幻祗陽/（一-）+/（W）的代數(shù)精度。依定義，對xk （k=0, 1, 2, 3,），找公式精確成立的 k數(shù)彳1解 當f(x)取1, x, x2,計算求積公式何時精確成立。(1)取 f(x)=1,有右邊=點金(2)取 f(x)=x,有左邊= -小- -1 -1右邊=，下(3)取 f(x)=x2,有左邊= .右邊一, , 一 1一73 V3(4)取 f(x)=x3,有左邊= 一 、.一卜一| 右邊=,-4(5)取 f(x)

40、=x4,有左邊= .1，右邊=>+ +二下=)=1 +1 = 2也=0 , 產(chǎn)*+方，dx = | , )-Y* 由T= 0 , =(-#+即=。-4dx = -,5當kw 3時求積公式精確成立，而 x4公式不成立，可見該求積公式具有3次代數(shù)精度。左邊=f1/(行改 = I改=2 ,例2試用梯形公式、拋物線公式和科茨公式計算定積分后立 (計算結(jié)果取5位有效數(shù)字)(1)用梯形公式計算"LAP J)+FQ) = 口 xU.7O711 41 = o 居 2(2)用拋物線公式后版0757 + 4 mJ(15 +1)/2 +血m 6x 0.7071 l + 4x 0.866034 1 =

41、 0.43C4732 12327(3)用科茨公式系數(shù)為-> 工> TTr -TV90 90 9090 90f i 癡匕=2Px 而+32 父+ 12 * 773 + 32 *+7工.90x 4,34375 + 25.2 兆 22 - 1.139 23口 +2943326 + 7 = 143096 130如果要求精確到10 5,用復化拋物線公式，截斷誤差為晶區(qū)寢亦峪,ZooU% =啜獷4，(即,七0 11615 -7/2 max -z 過 43 16b- a2S80,N>2只需把。5, 1 4 等分,分點為 0.5, 0.625, 0.75, 0.875, 1，內(nèi)兀/ 2/方)

42、+ 4cA口位5) + /(口.為+ /(1)=24口,加不!.十口父口56?？?5 -i-4x(0.73057+ 0,9341)+1 =043(例3用三點高斯一一勒讓德求積公式計算積分高斯型求積公式只能計算1, 1上的定積分解做變量替換 '二;y+D，查表得節(jié)點 ± 0.774 596 669 和 0;系數(shù)分別為 0.555 555 5556 和 0.888 888 88891 sin 2;.dx0 Hsin -(-0.774 596 (569+ 1)0 555555 55海 x2-0.774 5P6 66P + 1sin-(0+1)sin 1(0 774 5%品 944)

43、tO S68S8638?十口 55555555WJ+1U.774 596569=口那萬.弼涓蒜磊包搬第第第9逑M'S.如雙然黑=口.即皿4注：該積分準確到小數(shù)點后七位是 12章12.2節(jié)，用多種方法計算過該積分,例4用三點公式計算0.9460831,可見高斯型求積公式的精度是很高的。教材的第 它們的精度請讀者自行比較。二7在x=1.0, 1.1, 1.2處的導數(shù)值。已知函數(shù)值 f(1.0) = 0.250000, f(1.1) = 0226757, f(1.2) = 0.206612解三點導數(shù)公式為k=1, 2, 3,，n-1飛中。3尸j十4打一尸癡) ju»r?/a皿)亳以

44、以4K + 3y際) Zjm>本例取 xo=i.0,xi=1.1,X2=1.2,yo= 0.250000,yi= 0.226757,y2= 0.206612,h=0.1。于是有計算/v C) - Y -250000 +4/0.22幻57 -0.206613> = -0.24792/7l.l) -(-0.250000+ 0.206612) =-0,21694/口 W)寸知00。-4xCi.22d7J7 + 3 萬口.20$6121= -0 ,1EJ96例5選擇填空題1 .牛頓一一科茨求積公式與高斯型求積公式的關(guān)鍵不同點是 。解答：牛頓一一科茨求積公式的節(jié)點和求積系數(shù)確定后，再估計其精

45、度；高斯型求積公式是由精度 確定其節(jié)點和求積系數(shù)。n>2 .如果用復化梯形公式計算定積分：小安了，要求截斷誤差的絕對值不超過0.5X10-4,試問()(A) 41(B) 42(C) 43(D) 40答案：(A)解答；復化的梯形公式的截斷誤差中犯 三叫察怎一£) = 1 ,故112,n = 40.8,取 n>41o 故選擇(A)。3.已知n=3時，科茨系數(shù)以、=OI，端幻弓那么等=<5o答案：1/8解答：由科茨系數(shù)的歸一性質(zhì),三、練習題1 .試確定求積公式的待定參數(shù)，使求積公式0/'0)改"人0*0)+4隼)+人2出2)的代數(shù)精度盡可能的高。2 .用

46、復化拋物線公式計算定積分聿，。取n= 4,保留4位有效數(shù)字。J。- - 4l 43 .試用四點(n=3)高斯一一勒讓德求積公式計算積分一一女J。/ +14 .已知條件見例4。用兩點求導公式計算 f(1.0), f(1.1)。5 .若用復化拋物線公式計算積分廣空了，要求截斷誤差的絕對值不超過0.5X104,試問n>Jo()(A) 1(B) 2(C) 4(D) 36 .當 n=6 時，bf)= ()27216S407.用三點高斯一一勒讓德求積公式計算積分代數(shù)精度的。第13章方程求根四、練習題答案1. Ao= A2= 1/3, Ai = 4/32. 0.11093. 3.1416244. 0.

47、23243; 0.201455. (B)6. (D)7. 5次、重點內(nèi)容1.二分法：設方程f(x)=0在區(qū)間a,b內(nèi)有根，用二分有根區(qū)間的方法，得到有根區(qū)間序列:名 句ng>瓦二%二二.紇二。X*°Xn=/也)(ao=a,bo= b), n=0, 1, 2, ,有誤差估計式:n=0, 1, 2, 二分區(qū)間次數(shù):+1 > Inf A - a) - In sIn：2.簡單迭代法：若方程f(x)=0表成x= (x),于是有迭代格式:Xn= (Xn-1)(n= 1, 2,)Hm = x* =葉(lim /沖_) #(')*X Xn若存在0V <1,|(x)|,在區(qū)間

48、a, b內(nèi)任一點為初始值進行迭代，迭代數(shù)列收斂。3.牛頓法：用切線與X軸的交點，逼近曲線 f(x)與X軸的交點。迭代公式為選初始值4.八%)(n=1, 2,)X0滿足f(xo)f (xo) >0,迭代解數(shù)列一定收斂。弦截法：用兩點連線與X軸交點逼近曲線f(x)與X軸的交點。迭代公式為k) (n=1, 2,)、實例例1 證明方程1 x sinx=0在區(qū)間0, 1內(nèi)有一個根，使用二分法求誤差不超過 0.5X10 要迭代多少次？4的根證明 令 f(x)= 1 X sinx,f(0) =1>0, f(1) =-sin1<0f(x)=1x sinx= 0在0 , 1內(nèi)有根。又f (x)

49、 = 1 cosxv 0 (x 0, 1),故 f(x)=0 在區(qū)間0 , 1內(nèi)有唯一實根。給定誤差限 =0.5X10-4,有比(8一厘)一也£ - InO.S + kilO In 2In 2只要取n = 14。例2用迭代法求方程x5-4x- 2 = 0的最小正根。計算過程保留4位小數(shù)。分析容易判斷1, 2是方程的有根區(qū)間。若建立迭代格式X5 -27s - 2工=一,即前期二一， 445工*同卜->1 (xC (1,2),此時迭代發(fā)散。建立迭代格式：戈=加” 2n卯(»= V4X+ 2 ,44=,<- (xC (1 , 2),此時迭代收斂。可”一獷 5解建立迭代

50、格式x = !，4x+ 2,伊(行: V4x+ 244木初一-i=T匚=(xC (1, 2),取初始值x0=1漱4*2)* 5勺中一 一2 -浙t 1 4310"承 與 + 2 =羽 了9 1.5151=V4ri + 411 791 =.0204 s 1,51(554 =/4r3 +2 =1.5132j +2 = y8.0728 sl.51851 = 04rs 工 2 = .0740 停 1 5185取"J"二二】：1二510 6。例3試建立計算 她 的牛頓迭代格式，并求知411 ,791的近似值，要求迭代誤差不超過106。分析首先建立迭代格式。確定取幾位小數(shù)，求

51、到兩個近似解之差的絕對值不超過牛頓迭代格式為解 令 *=肪，f(x)=x2 -x7.47S07S +一甯7439956|次刈=0.038122 3 x7478078 sa=0,求x的值。(k=0, 1,)迭代誤差不超過106,計算結(jié)果應保留小數(shù)點后6位。x, = x, + -t-= y 7.43? ?56 +3 切弓1,7913x7435956儲 74 3576 0|x2-x3|= 0.000196當x= 7或8時，x3= 343或512, /1r，而/口，取x0=8,4" m 將 7.47S07S3x8克=2籃+二=2 義工43976口 +411791 7.4397603 罰 35 K 74?97方心計算中保留 4位小數(shù)點。所以1, 2為f(x)=0的有根區(qū)間。迭代格式:于是, 取 r* 7.439760例4 用弦截法求方程 x3-x2-1 = 0在x= 1.5附近的根。分析先確定有根區(qū)間。再代公式。解 設 f(x)= x3x21,因為 f(1)=- 1<0, f(2) = 3>0,取 xo= 1 , xi = 2。列表計算如下:nxnxn-1f(xn)f(xn 1)xn+1f