2017浙江省高中數(shù)學(xué)競賽試卷Word版含答案

1、2017年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽、填空題：本大題共10個小題，每小題8分，共80分.1 .在多項式(x 1)3(x+2)10的展開式中x6的系數(shù)為 .2 .已知 log 7(5a -3) =log-5,則實數(shù) a =.ai/a 13 .設(shè)f (x) = x2+ax+b在10,1中有兩個實數(shù)根，則a2 -2b的取值范圍為 .2222.2.2sin x-cos x cos xcos y-sin xsin y nrt4 .設(shè) x, y w R,且=1,則sin(x y)x-y =.5 .已知兩個命題，命題p:函數(shù)f(x) =loga x( x>0)單調(diào)遞增；命題 q：函數(shù),、2g(x)=x+ax+

2、1 ( xw R).右p vq為真命題，pq為假命題，則實數(shù) a的取值氾圍為.6 .設(shè)S是(0,5)中所有有理數(shù)的集合，對簡分數(shù)9wS, (p,q)=1,定義函數(shù)f(9)=9二， 8pp p則f (x) = 2在S中根的個數(shù)為. 37 .已知動點 P, M , N 分別在 x 軸上，圓(x1)2+(y 2)2=1 和圓(x3)2+(y 4)2=3上，則|PM |+| PN |的最小值為.8 .已知棱長為1的正四面體P-ABC , PC的中點為D ,動點E在線段AD上，則直線BE 與平面ABC所成的角的取值范圍為.9 .已知平面向量 a, b, c,滿足 |a|=1, |b|=2, |c|=3,

3、 0<九 <1,若 b c = 0,則|a Kb(1-九)c|所有取不到的值的集合為 .廣-2x, x <0,2/210 .已知 f(x) = J 2方程 f (x)+2J1x +| f(x)2。1x |2a*4=0有三個x -1,x -0,根 x1 < x2 < x3.若 x3 -x2 = 2(x2 - x1),則實數(shù) a =、解答題：本大題共5個小題，滿分120分，將答案填在答題紙上)11 .設(shè) f(x) = Jx2 +32 , fn + (x) ='x2 + 晟 fn(x) , n =1 , 2,.對每個 n ,求 fn(x) =3x的實數(shù)解.22x

4、 y12 .已知橢圓 + L=1的右焦點為F ,過F的直線y=k(x 2)交橢圓于P, Q兩點 62(k #0).若PQ的中點為原點，直線 ON交直線x=3于M .(1)求/MFQ的大小;PQ (2)求_PQ的最大值.MF13 .設(shè)數(shù)列4滿足：|an+ -2an |=2,m口怪2, n =1,2,3 , 證明：如果a1為有理數(shù)，則從某項后 1為周期數(shù)列.14 .設(shè)a1，a2, a3；匕，b2, 4 w z +,證明：存在不全為零的數(shù)%, %, %乞0,1,2, 使得31al +K2a2 +%23和九1bl +%b2 +%b3同時被3整除.,n15 .設(shè)。=a1, a2,，an 為1,2，n的一

5、個排列，記 F(cr)=工 aiai 由，an=a1，求i 1min F (。).2017年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽答案、填空題1. -4128 2.23. 0,2 14. 2kn + ( kw Z ) 5. (2,1U2, y)5. 57.2.而31 8.0,arctan10.17-329.( ", 6 .13 -1)U(4, .二)13解答題 11.證明：利用數(shù)學(xué)歸納法.(1) x =2是 fn(x) =3x 的解.當 n=1 時，x=2是 f1(x)= Jx2 +32 =3x 的解.當 n=k時，設(shè) fk(2) =6,則 fk*(2)=j4+16fk(2) =6.由此可得x=2是fn

6、(x)=3x的解(對于所有的n).3 2(2)當 x>2時，fn(x) <3x<|x2.-7 3 o當 n=1 時，f1(x) =Jx2 +32 <3x<-x2(x>2).當 n = k時，設(shè) fk(x) <3x <3x2,貝U fk#(x) = Jx2 + fk(x) c Jx2 +8x2 = 3x . 2:3由此可得x>2都不是fn(x) =3x的解(對于所有的n).(3)當 0<x<2時，fn(x)>3x.當 n =1 時，f1(x) =1x2 +321Jx2 +8x2 =3x (0<x<2).當 n =

7、 k時，設(shè) fk(x) >3x ,則 fk(x) =，x2 +16 fk(x) > Jx2 +1 >3x .由此可得0<x<2都不是fn（x）=3x的解（對于所有的n）.因此，對每個n , fn（x） = 3x的實數(shù)解為x = 2 ., 22土上112.解：（1）聯(lián)立62,可得（3k2+1）x212k2x + 12k26 = 0.y =k（x-2）,設(shè)P點的坐標為（xp,yp）, Q點的坐標為（,yq）,則xp pxq12k23k2 1xpxq_ 2_12k -623k 14k于是有 yp + yq =k(xp+xq)-4k=2.3K I因為PQ的中點為N ,26

8、k- 2k所以 N(,)，3k 1 3k 1因此ON的斜率kON =13k1_1因為直線ON交直線乂=3于乂 ,所以M (3,),故MF的斜率為kMF =-一， kk即得 Kmf Kpq=1,因此 MF 與 PQ 垂直，/MFQ=. 222PQ 2 (xp - xq )k (xp - xq )2222(2)I =(而)=1=k (xp -xq) =k (xp+xq) -4xpxq I1 k2=k2144k4(3k2 1)2-242k2-113k2 +1二 24k2k2 1(3k2 1)2= 3k2 +1,則 I =8(u -1)(U +2) 3u216/111 (2 - T -二3 u 2u

9、216 J 129由于2 1.u =3k +1 >1 ,故 0 w <1 . u因此1max=3 （當u =4時取到最大值，也即 k = ±1）.綜上所述，-PQ的最大值為也.MF13 .證明：（1）若a1為有理數(shù)，則an為一個有理數(shù)數(shù)列.(2)對于任意的n ,設(shè)an =- , (y,x) =1,由已知條件，有且僅有下述一個等式成立: xc c 2y 2x2y-2xan+=2an +2 =或 an+=2an 2 =.(*)an與an串有相同的分母(不進行約分)(3)設(shè) a1 =9 ,( p,q)=1,則 an =bl, bn 為整數(shù)，由于 | an 區(qū) 2 , n = 1

10、, 2,3 ,，因 PP此<p <bn <2p .(4)若存在兩個自然數(shù) k <1 ,使得ak =q ,則由(2)中得到的(*)遞推公式以及|an怪2,n =1,2,3 ,，可得a 從第k項開始是一個周期數(shù)列，周期為 1-k.(5)由(3)可知對于任意的n , bn的值只有4 p +1 (有限個)，故總能找到k < 1 ,使得bk = bl ,從而有ak =al .綜上所述，如果a1為有理數(shù)，則從某項后 an為周期數(shù)列.14 .證明：不妨設(shè) ai 三 kk(mod3) , bi 三 1i(mod3), ki , li w S,1,2, i =1,2,3 .則要證明

11、結(jié)論正確，只要證明存在不全為零的數(shù)%, %, % w 0,1,2,使得兀k1+A2k2+%k3 三村1+%12+%13(mod3)三0(mod3) . (*)記 k112k211 =c(mod 3),這里 c 0,1,2).情形(1)當c=0時，則k1 =11 =0,或者k1,11不全為零.若k1 =11 =0 ,則取匕=1, % = % = 0 ,有(*)式成立.若k1, 11不全為零，不妨設(shè) k1 = 0 ,則取 = k2,九2 = -k1 , % = 0 ,且AK +%k2 +%k3 =k2k k«2 三 0(mod3),即(*)式111212313 =k211 -k112 =

12、0(mod3),'情形(2)當c=1或2時，即c2三1(mod3).記 c(k213k312) c1(mod3) , c(k311k113)三 c2(mod3),這里 c1, c2 0,1,2).令1 =G , %=a,兒3=1,則%, %, %亡10,1,2 且不全為零，且1kl2k23k3= gKc2k2k3 三 c(k2131k312)k1c(k311- k113)k2k3(mod 3)2三ck3(k211 k112)+k3(mod 3) =(1c )k3(mod 3) =0(mod 3),類似可以證明 裕1十%l2+%l3三0(mod3).綜上所述，可以取到不全為零的數(shù)兀，兒2

13、 ,%三0,1,2,使得(*)式成立.15.解：問題等價于圓周上放置 n個數(shù)，使得相鄰數(shù)的乘積之和為最小，最小值記為Tn.不妨設(shè)闞=n,則數(shù)字1必與它相鄰，否則設(shè)aj =1 ( j =2, n ),則可將a2, a3,，aj的數(shù)字改變?yōu)閍j, aj/，a2上的數(shù)字，則相鄰數(shù)的乘積和的該變量為a1aj +a2aj 4a1a2 _ajaj 41 - (a1 - aj )(aj - a2 ) < 0 .于是可確定a2=1.再說明數(shù)字 2也必與數(shù)字n相鄰，即an =2.事實上，若aj =2( j =n),則交換an, an,，aj為aj, aj書，an ,此時的目標改變值為a1aj +anaj J. a1an ajajj.=(a1 aj)(aj an) <0 .因此目標取到最小值時，a1=n, a2=1, an=2.由此出發(fā)，依次可得 a3 = n 1,ani=n-2.在已安排好的兩端數(shù)字，若剩下的數(shù)比兩端數(shù)字都小，則在剩下的數(shù)中找兩個最小的數(shù)字，按小對大，大對小放置；若剩下的數(shù)比兩端數(shù)字大，則在剩下的數(shù)字中找兩個最大的數(shù)，按大對小，小對大放置.由此規(guī)律即得a4 = 3 , an4 = 4 , a5 = n -3 ,an2 =n -4 ,.下面用遞推法計算Tn .考慮n+2個數(shù)字，我們在Tn的數(shù)字排序中，將每個數(shù)字加1,再放置1