畢業(yè)設計基于規(guī)劃與多目標規(guī)劃問題的DVD在線租賃問題論文

1、基于0-1規(guī)劃與多目標規(guī)劃問題的DVD在線租賃問題摘要本文是在DVD在線租賃背景下，根據會員的偏愛指數，對DVD的租賃與歸還，對DVD的采購與分配問題進行分析。同時要考慮會員的最大滿意度以與使商家達到最大的收益額，本文主要利用線性規(guī)劃思想對問題做了模型研究。對問題一是在預知會員需求量的情況下，確定5種DVD購買量的問題。本文依據不同租賃周期進行建模分析，并建立了基于DVD實際可租用次數的通用模型，并利用LINGO進行求解。求出保證至少50%會員一個月看到5種DVD的所需購買量分別為：DVD1為6250，DVD2為3125，DVD3為1563，DVD4為782，DVD5為313。保證至少95%會

2、員一個月看到5種DVD的所需購買量分別為：DVD1為3959，DVD2為1980，DVD3為990，DVD4為495，DVD5為594。對問題二是在預知DVD總量的情況下，進行的一次分配問題。本文在建立模型之前，首先對會員偏愛指數進行了處理，排出了0對模型的干擾，然后通過建立0-1整數線性規(guī)劃的模型，利用LINGO進行最大滿意度求解以與對應的最優(yōu)分配。求出最大滿意度為，以與前三十名會員的DVD分配情況。對于問題三,運用多目標規(guī)劃，求解每種DVD的購買量與對DVD的分配，使之達到滿意度最大。由于有60%的會員每月租賃DVD兩次，而另外40%的會員每月租賃一次，所以進行分段求解。第一次租賃時，建立

3、多目標規(guī)劃模型，由賦權得，滿意度最大為2895，購買量為2850；第二次租賃時，考慮到第一次歸還的情況，得出100種DVD購買總數為3111。對于問題四，基于現實生活中會出現會員拖延歸還時間，損壞DVD，以與每月租賃次數較少的情況，本文給出了兩條營銷建議：1、建議DVD租賃公司建立會員誠信制，以減少DVD損壞情況與規(guī)歸還秩序。2、增加每月租賃次數，增加的次數由會員自行承擔郵費，為增加部分收益。關鍵字：DVD在線租賃 0-1規(guī)劃 多目標規(guī)劃 期望值 最優(yōu)分配一、 問題重述隨著信息時代的到來，網絡成為人們生活中越來越不可或缺的元素之一。音像制品的在線租賃就是一種可行的服務。如在線DVD租賃問題。顧

4、客繳納一定數量的月費成為會員，訂購DVD租賃服務。會員對哪些DVD有興趣，只要在線提交訂單，就會通過快遞的方式盡可能滿足要求。會員提交的訂單包括多DVD，這些DVD是基于其偏愛程度排序的。會根據手頭現有的DVD數量和會員的訂單進行分發(fā)。每個會員每個月租賃次數不得超過2次，每次獲得3DVD。會員看完3DVD之后，只需要將DVD放進提供的信封里寄回（郵費由承擔），就可以繼續(xù)下次租賃。請考慮以下問題：1. 正準備購買一些新的DVD，通過問卷調查1000個會員，得到了表1數據。此外，歷史數據顯示，60%的會員每月租賃DVD兩次，而另外的40%只租一次。現假設有10萬個會員，對表1中的每種DVD來說，為

5、保證希望看到該DVD的會員中至少50%在一個月能夠看到該DVD所需準備的數；以與為保證在三個月至少95%的會員能夠看到該DVD所需準備的數。2. 表2中列出了上100種DVD的現有數和當前需要處理的1000位會員的在線訂單對這些DVD進行一次分配，使會員獲得最大的滿意度。并具體列出前30位會員（即C0001C0030）分別獲得了哪些DVD。3. 繼續(xù)考慮表2，并假設表2中DVD的現有數量全部為0。從經營管理人員的角度出發(fā)，考慮如何購置DVD數量以與如何對這些DVD進行分配，從而使一個月95%的會員得到他想看的DVD并且滿意度最大。4. 從經營管理人員的角度出發(fā)，對DVD的需求預測、購買和分配中

6、的重要問題進行研究，并提出問題與建立相應的數學模型。二、 問題分析2.1問題一的分析商家根據問卷調查1000個會員對這些DVD的偏愛指數對DVD進行采購，類似于采購最優(yōu)化問題?；舅悸肪褪歉鶕阎獥l件，分別計算出DVD在一個月和三個月的流轉次數，然后結合會員對各種DVD的滿意度求出商家應采購的最小DVD總數。2.2問題二的分析根據DVD已知的存儲量，進行一次分配，是分配最優(yōu)化問題?；舅悸肪褪峭ㄟ^建立0-1整數線性規(guī)劃進行分析，在建立模型之前，首先對表2所給的偏愛指數進行處理，排除掉0對建模的干擾，然后利用偏愛指數（偏愛指數越小偏愛度越大）進行分配，使分配達到會員滿意度最大。2.3問題三的分析

7、分析題目所給條件，商家不僅要使DVD購買量最少，又要滿足會員的滿意度最大，很明顯是一個多目標規(guī)劃問題。由于一個月有租賃一次和兩次的會員，所以進行分階段求解。第一階段，利用表二隨機抽取950人，得出購買方案；第二次租賃在月中進行，此時根據第一階段的DVD被60%會員歸還數量，考慮是否繼續(xù)購買DVD。2.4問題四的分析以經營管理者的角度，分析DVD的需求預測、購買和分配中對有哪些地方值得研究，主要立足于哪些方面對有益，可以增加的利潤，從這個角度出發(fā)考慮問題?？梢詮脑黾幼赓U次數以增加利潤額，與減少DVD損壞，降低成本等方面考慮。三、 模型假設1. 問卷調查中反映的會員情況，與現實生活中的會員情況大致

8、相符；2. 每個會員每次租賃的3DVD種類都不一樣；3. 會員一個月不會重復租賃同一種DVD；4. 設一個月30天，每月租賃DVD兩次的會員在一號租借十五號歸還，歸還后再租借其他DVD直到月底歸還；每月租賃DVD一次的會員在一號租借月底歸還；5. 郵寄時間可以忽略不計；6. 租賃過程中DVD不會出現損壞情況；7. 由于題目中缺乏DVD的相關信息，所以本文假設不同的DVD采購價格一樣。四、 符號說明調查的1000位會員中愿意觀看5種DVD的人數；5種DVD愿意觀看的人數與調查的總人數之間的比；的10萬個會員中愿意觀看5種DVD的人數；每DVD在一個月中實際被租賃的平均次數；每月租賃兩次的會員所占

9、總人數的比例；第種DVD的數量；能看到5種DVD的會員占總人數的比例；需要準備的5種DVD總數；第位會員是否租賃第種DVD；第位會員對第種DVD碟片的偏好指數；總體滿意度；表示第位會員是否租賃到自己想看的DVD；多目標規(guī)劃模型中的權重，本文取值；第二次DVD租賃中第位會員對第種DVD的相應滿意度；表示根據第二次租賃時第個人的需求采購DVD的數量。五、 模型的建立與求解5.1問題一 5.1.1模型的建立 根據題目中給出的調查1000位會員中愿意觀看5種不同DVD的人數，計算出每種DVD愿意觀看的人數與調查的總人數之間的比例關系：計算結果如表一：表一 對1000個會員調查的結果DVD名稱DVD1D

10、VD2DVD3DVD4DVD5愿意觀看的人數200100502510比例關系0.20.10.050.0250.01根據表一的比例關系，可計算出現有10萬個會員中，對這5種DVD愿意觀看的人數：得出數據為表二：表二 對10萬會員的推斷DVD名稱DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5比例關系0.20.10.050.0250.01愿意觀看的人數2000010000500025001000又考慮到，60%的會員每月租賃DVD兩次，而另外的40%會員每月租賃DVD一次,而每DVD被租賃的機率是均等的。所以對每DVD碟片來說，它在一個月中實際可被租賃的次數為：其中表示每月租賃兩次的會員所占比例，本題為；

11、表示每月租賃一次的會員所占比例，本題為。設第種DVD至少準備的數為，則第種DVD在一個月實際可被租賃的次數為：又根據一位會員對應一DVD碟片，所以要保證至少50%的會員在一個月能夠看到該DVD，只需滿足在一個月第種DVD的實際可租賃次數比租賃第種DVD的人數多或者正好相等即可，即：其中表示能夠看到該DVD的會員所占比例。所以為求5種DVD準備數最少，可以建立模型如下1：模型的求解一個月至少50%的會員看到DVD的情況下：又由題意可知數據為表二，以上數據代入模型中的約束條件，得：使用LINGO軟件求解模型（程序代碼見附錄一（1）。所得結果為。考慮到DVD數應為整數，所以實際購買量如表三：表三 保

12、證至少50%會員一個月看到該DVD的所需購買量DVD名稱購買量DVD16250DVD23125DVD31563DVD4782DVD53135.1.2模型的建立三個月至少95%的會員能夠看到該DVD與一個月至少50%的會員能夠看到該DVD分析情況類似?；谏衔牡募僭O，所有被租賃的DVD在月末都會被歸還回來，相當于每月的租賃情況都是獨立且等價的。所以三個月第種DVD實際可租賃次數為：故要使5種DVD準備數最少，在三個月至少95%的會員看到DVD的情況下，模型應為：模型的求解三個月至少95%的會員看到DVD的情況下：其他數據與5.1.1中數據一樣。將數據帶入模型，使用LINGO軟件求解（程序見附錄一

13、（2）。所得結果為?？紤]到DVD數應為整數，所以實際購買量如表四：表四 保證至少95%會員三個月看到該DVD的所需購買量DVD名稱購買量DVD13959DVD21980DVD3990DVD4495DVD55945.2問題二模型的建立已知，上100種DVD的現有數，合理地分配給1000位在線訂單地會員，并使會員的滿意度獲得最大。對現有碟的分配是一個線性規(guī)劃問題，本文通過分析與假設建立0-1整數線性規(guī)劃模型。在0-1整數規(guī)劃模型中：由題可知，第位會員對第種碟片的偏好指數為0-10；其中數字越小表示會員的偏愛程度越高，而數字0表示對應的DVD當前不在會員的在線訂單中。所以為了在計算中排除掉0的干擾，

14、本文首先對表2中的數據進行修正，修正后偏好指數為：偏好指數不為0時：偏好指數為0時：故第位會員對第種碟片的滿意度為：本次規(guī)劃的目的是獲得總體滿意度最大，所以目標函數為：會員租賃的第種DVD總數不可能超過第種DVD現有數：又根據租賃規(guī)則，會員每次租賃不得超過3：綜上所述，可建立0-1整數規(guī)劃模型如下2：模型的求解使用LINGO軟件讀取題目中表2給出的偏好指數數據，并進行0-1整數規(guī)劃模型的求解（程序見附錄二）。求得所有會員的最大滿意度之和為 。前30位會員獲得具體DVD如下表：表五 最大滿意度下前30名會員獲得的DVD情況表會員編號獲得的DVD編號會員編號獲得的DVD編號C0001D008 D0

15、82 D098C0016D006 D084 D097C0002D006 D042 D044C0017D047 D051 D067C0003D004 D050 D080C0018D041 D060 D078C0004D007 D018 D041C0019D067 D084 D086C0005D011 D066 D068C0020D045 D061 D089C0006D016 D019 D053C0021D045 D053 D065C0007D008 D026 D081C0022D038 D055 D057C0008D015 D071 D099C0023D029 D081 D095C0009D05

16、3 D078 D100C0024D041 D076 D079C0010D055 D060 D085C0025D009 D069 D094C0011D019 D059 D063C0026D022 D068 D095C0012D002 D007 D031C0027D022 D042 D058C0013D021 D078 D096C0028D008 D034 D082C0014D023 D043 D052C0029D030 D044 D055C0015D013 D085 D088C0030D001 D037 D0625.3問題三作為一名經營管理人員，除要考慮會員的最大滿意度之外，還要追求收益最大化，

17、因此，這是一個多目標規(guī)劃問題。由題目1可知，60%的會員每月租賃DVD兩次，而另外的40%只租一次，所以進行分階段求解，假設一個月有兩次訂單，分別在月初和月中，進行兩次購買：5.3.1第一階段購買模型的建立的管理人員根據1000個會員訂單要求，使95%的會員看到他們想看的DVD，且光盤的購買量最少，隨機抽取950個會員，并使之滿意度最大，會員是否分配到DVD用0-1整數表示，假設表示第個會員是否租賃到DVD：將第種DVD的購買量記為，仍為修正后的滿意度。通過賦權，將最少購買量轉化，使之成為求最大值，然后加上最大滿意度，即求最大值，結合問題立目標函數為：其中表示權重，在此取30%。約束條件：1.

18、 為了滿足95%的會員的滿意度，本文忽略5%的會員，每個會員只會分到0或3DVD；2. 為了使資源利用最大化，所以會員的訂購量為種DVD的總數量；3. 要使總成本最小，該保證950個會員分配3DVD。綜上建立模型：模型的求解把相關數據帶入，利用LINGO求解（程序見附錄三（1）。求得會員的最大滿意度為2895（5745-2850），該最少購買量為2850，100種DVD的購買量見表六：表六 100種DVD的購買量DVD種類DVD購買數量1-2020 33 23 35 20 28 29 29 32 23 29 30 28 31 26 36 28 24 30 3821-4030 28 33 22

19、27 28 22 17 24 39 27 35 27 29 37 34 19 30 28 2541-6053 34 26 34 33 23 28 23 32 31 39 24 32 25 30 30 29 28 32 3461-8026 29 32 3432 27 27 34 32 26 35 33 24 2728 22 19 29 30 2880-10027 18 20 18 31 21 33 23 23 25 37 28 23 21 38 23 35 30 15 34對會員的滿意度進行分配DVD，前30位會員分配結果見附錄三（2）5.3.2第二階段購買在月中將有60%的會員歸還DVD并進行

20、第二次租賃，利用題目表2隨機抽取600位會員作為第二次租賃的會員，為了便于求解，可取前600位會員作為第二次租賃的會員。因為自第一次租賃后，不會重復租賃，所以偏愛程度編號最低的三位數要化為0，這時，60%的會員最大滿意度由兩部分組成：部分會員在第一次租賃要求滿足的基礎上，再次分配到偏愛度較低的DVD和之前第一次未租賃DVD的會員在第二次獲得滿意度最低的DVD，設第二次DVD租賃中會員的相應滿意度為：表示第一次個會員是否租賃第種DVD，為避免會員重復租賃，所以在第一次租賃后，滿意度將化為0，表示根據第二次租賃時第個人的需求采購DVD的數量，建立目標函數：約束條件：1. 每個會員只能租賃到0或3D

21、VD；2. 為使?jié)M意度最大，要保證DVD的購買總量大于需求總量。綜上可得模型如下：賦權為0.3，帶人，利用LINGO編寫程序。因為第一次租賃的DVD有60%在月中歸還，然后再次出租，所以當第二次租賃的DVD總數大于第一次租賃出去的總數時，只需要在原來購買的基礎上增加第二次分配的DVD總數與月中會員歸還的數量差值；當第二階段租賃DVD總數小于會員歸還DVD的數量時第二階段就不用購買，綜上可得各類DVD總數為：利用LINGO求解，可得最少購買量和最大滿意度。5.4問題四本文之前假設租賃周期一定且DVD不會出現損壞問題，但現實生活中會有部分會員拖延歸還時間或者對DVD造成一定損害。基于這種現象本文提

22、出以下營銷方法：1. 建議DVD租賃公司建立會員誠信制。即經營管理人員要對租賃DVD的會員進行租賃記錄：對于對所租賃的DVD保護較好，沒有使DVD出現損傷情況的會員，以與可以按時歸還DVD的會員，給予較高的誠信度；對于對所租DVD造成損傷，以與不按時歸還DVD的會員，給予其較低的誠信度。由于誠信度低的會員會對運營與利潤造成不利影響，所以可以對誠信度高的會員給予一定優(yōu)惠措施，如減少會費或增加租賃次數；對誠信度極度差的會員給予一定懲罰措施，如增加會費或減少租賃次數等。2. 增加每月租賃次數，增加的次數由會員自行承擔郵費。由題意可知，該每月允許租賃次數不超過2次，其中郵費由承擔。但現實生活中總會有會

23、員想要多次租賃，所以該可以增加租賃次數，并規(guī)定若租賃超過2次，就由會員自行承擔郵費，2次以仍由承擔。這樣，在租賃次數較多的情況下，既無須出郵費，又能賺到租賃費用，能為DVD租賃公司增加不小的收益。六、 模型的檢驗從誤差的角度來看，問題一中從所建兩個模型的計算結果，我們可以發(fā)現問題一中所建兩個模型的計算結果是存在差別的，此差別便是精簡模型的誤差之所在，即交集問題；從兩者的數據比較我們發(fā)現此誤差相對來說是比較微小的，因此我們認為簡單模型可靠性還是比較高的。因為題目中說到有60的人一個月會租賃2次DVD，其他40的會員只租賃一次，然而這60是一個統(tǒng)計量，因此是隨機變量，具有相當的不確定性。然而，作為

24、管理者必須要提前購買好DVD數目，這就會因為隨機不確定性而產生誤差，不能達到最大的滿意度。然而，在當今這個信息時代，效率往往更加重要，因此在快速算法的高效率的條件下，這種因為隨機現象而產生的誤差是可以不予考慮的。七、 模型的評價與推廣7.1模型的優(yōu)點1. 問題一模型建立簡單而且精確，用數據說明了模型建立的準確性。2. 問題立的規(guī)劃模型有成熟的理論基礎，運用0-1規(guī)劃，有相應的專業(yè)軟件 lingo支持，可信度較高，獲得的全局最優(yōu)解具有說服力。 3. 問題三用圖論方法，直觀易理解。4. 問題四較為全面地考慮了實際問題中包含的其他因素，建立的模型適合一般情況。5. 所建模型都可用相應軟件工具來實現并

25、解決問題，用LINGO進行優(yōu)化處理，模型簡單易懂，易于操作，具有可適應性，可推廣性。7.2模型的缺點1. 因為生活中租賃DVD具有隨機性，所以會出現分配和數量上的偏差。2.會員人數過多，滿意度僅由滿意度系數決定，分配存在偶然性。7.3模型的推廣本模型解決了DVD的購買與分配問題，采用了01整數規(guī)劃以與圖論的方法。因此，本模型還可應用于其他類似的由兩個因素，甚至多個因素決定變量的確定最優(yōu)化與多目標規(guī)劃問題。如：公交車發(fā)車班數與安排、保險公司收費標準制定、食品采購等。八、 參考文獻1 啟源，金，葉俊.數學建模M.第3版.：高等教育。2 靜，但琦.數學建模與數學實驗M.第3版.：高等教育。九、 附錄

26、附錄一：（1）問題一第1小問程序代碼：model:min=D1+D2+D3+D4+D5;1.6*D1>20000*0.5;1.6*D2>10000*0.5;1.6*D3>5000*0.5;1.6*D4>2500*0.5;1.6*D5>1000*0.5;End運行結果：Global optimal solution found. Objective value: 12031.25 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost D1 6250.000 0

27、.000000 D2 3125.000 0.000000 D3 1562.500 0.000000 D4 781.2500 0.000000 D5 312.5000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 12031.25 -1.000000 2 0.000000 -0.6250000 3 0.000000 -0.6250000 4 0.000000 -0.6250000 5 0.000000 -0.6250000 6 0.000000 -0.6250000（2）問題一第2小問程序代碼：model:min=D1+D2+D3+D4+D5;1.6*D1

28、*3>20000*0.95;1.6*D2*3>10000*0.95;1.6*D3*3>5000*0.95;1.6*D4*3>2500*0.95;1.6*D5>1000*0.95;End運行結果： Global optimal solution found. Objective value: 8015.625 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost D1 3958.333 0.000000 D2 1979.167 0.000000 D3 989.

29、5833 0.000000 D4 494.7917 0.000000 D5 593.7500 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 8015.625 -1.000000 2 0.000000 -0.2083333 3 0.000000 -0.2083333 4 0.000000 -0.2083333 5 0.000000 -0.2083333 6 0.000000 -0.6250000附錄二：（2）問題二程序代碼：model:sets:n/1.1000/:h;m/1.100/:D;link(n,m):c,x;endsetsdata:D=ole(&

30、#39; F:數學建模新建文件夾1B2005Table2.xls','c2:cx2');c=ole(' F:數學建模新建文件夾1B2005Table2.xls','c3:cx1002');enddatamax=sum(link(i,j):(11-c(i,j)*x(i,j);for(link:bin(x);for(m(j):sum(n(i):x(i,j)<=D(j);for(n(i):sum(m(j):x(i,j)<=3);End部分運行結果： Global optimal solution found. Objective v

31、alue: 24746.00 Objective bound: 24746.00 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 10732 Variable Value Reduced Cost X( 1, 8) 1.000000 -10.00000 X( 1, 41) 1.000000 -4.000000 X( 1, 98) 1.000000 -8.000000 X( 2, 6) 1.000000 -10.00000 X( 2, 44) 1.000000 -9.000000 X( 2,

32、62) 1.000000 -7.000000 X( 3, 32) 1.000000 -7.000000 X( 3, 50) 1.000000 -9.000000 X( 3, 80) 1.000000 -10.00000 X( 4, 7) 1.000000 -10.00000 X( 4, 18) 1.000000 -9.000000 X( 4, 41) 1.000000 -8.000000 X( 5, 11) 1.000000 -8.000000 X( 5, 66) 1.000000 -10.00000 X( 5, 68) 1.000000 -9.000000 X( 6, 19) 1.00000

33、0 -10.00000 X( 6, 53) 1.000000 -9.000000 X( 6, 66) 1.000000 -7.000000 X( 7, 26) 1.000000 -8.000000 X( 7, 66) 1.000000 -5.000000 X( 7, 81) 1.000000 -10.00000 X( 8, 31) 1.000000 -7.000000 X( 8, 35) 1.000000 -6.000000 X( 8, 71) 1.000000 -10.00000 X( 9, 53) 1.000000 -10.00000 X( 9, 78) 1.000000 -8.00000

34、0 X( 9, 100) 1.000000 -9.000000 X( 10, 41) 1.000000 -5.000000 X( 10, 55) 1.000000 -9.000000 X( 10, 85) 1.000000 -8.000000 X( 11, 59) 1.000000 -10.00000 X( 11, 63) 1.000000 -9.000000 X( 11, 66) 1.000000 -7.000000 X( 12, 2) 1.000000 -9.000000 X( 12, 31) 1.000000 -10.00000 X( 12, 41) 1.000000 -4.000000

35、 X( 13, 21) 1.000000 -8.000000 X( 13, 78) 1.000000 -9.000000 X( 13, 96) 1.000000 -10.00000 X( 14, 23) 1.000000 -9.000000 X( 14, 52) 1.000000 -10.00000 X( 14, 89) 1.000000 -5.000000 X( 15, 13) 1.000000 -10.00000 X( 15, 52) 1.000000 -7.000000 X( 15, 85) 1.000000 -8.000000 X( 16, 10) 1.000000 -7.000000

36、 X( 16, 84) 1.000000 -10.00000 X( 16, 97) 1.000000 -9.000000 X( 17, 47) 1.000000 -9.000000 X( 17, 51) 1.000000 -8.000000 X( 17, 67) 1.000000 -10.00000 X( 18, 41) 1.000000 -10.00000 X( 18, 60) 1.000000 -9.000000 X( 18, 78) 1.000000 -8.000000 X( 19, 66) 1.000000 -7.000000 X( 19, 84) 1.000000 -10.00000

37、 X( 19, 86) 1.000000 -9.000000 X( 20, 45) 1.000000 -10.00000 X( 20, 61) 1.000000 -8.000000 X( 20, 89) 1.000000 -9.000000 X( 21, 45) 1.000000 -9.000000 X( 21, 50) 1.000000 -6.000000 X( 21, 53) 1.000000 -10.00000 X( 22, 55) 1.000000 -9.000000 X( 22, 57) 1.000000 -10.00000 X( 22, 86) 1.000000 -7.000000

38、 X( 23, 29) 1.000000 -9.000000 X( 23, 81) 1.000000 -8.000000 X( 23, 95) 1.000000 -10.00000 X( 24, 37) 1.000000 -7.000000 X( 24, 41) 1.000000 -9.000000 X( 24, 76) 1.000000 -10.00000 X( 25, 9) 1.000000 -10.00000 X( 25, 69) 1.000000 -9.000000 X( 25, 81) 1.000000 -7.000000 X( 26, 22) 1.000000 -10.00000 X( 26, 68) 1.000000 -9.000000 X( 26, 95) 1.000000 -8.000000 X( 27, 50) 1.000000 -7.000000 X( 27, 58) 1.000000 -10.00000 X( 27, 78) 1.000000 -4.000000 X( 28, 8) 1.000000 -10.00000 X( 28, 34) 1.000000 -9.000