時(shí)間序列分析方法第06章譜分析

1、時(shí)間序列分析方法講義第6章譜分析1時(shí)間序列分析方法講義第6章譜分析第六章譜分析 Spectral Analysis到目前為止，t時(shí)刻變量斗的數(shù)值一般都表示成為一系列隨機(jī)擾動(dòng)的函數(shù)形式，一般的模型形式為：Yt -八-；=j =0我們研究的重點(diǎn)在于，這個(gè)結(jié)構(gòu)對(duì)不同時(shí)點(diǎn)t和.上的變量建和丫的協(xié)方差具有什么樣 的啟示。這種方法被稱為在時(shí)間域（time domai n）上分析時(shí)間序列Yt的性質(zhì)。在本章中，我們討論如何利用型如 cosC .t）和sin（ t）的周期函數(shù)的加權(quán)組合來描述時(shí)間 序列Yt數(shù)值的方法，這里-.表示特定的頻率，表示形式為：Yt =0（ J cos（ ,t）d , - o -.C .

2、） sin .t）d-.上述分析的目的在于判斷不同頻率的周期在解釋時(shí)間序列Yt丄:性質(zhì)時(shí)所發(fā)揮的重要程度如何。如此方 法被稱 為頻域 分析（frequency domain analysis）或者 譜分析（spectral an alysis）。我們將要看到，時(shí)域分析和頻域分析之間不是相互排斥的，任何協(xié)方差平穩(wěn)過程 既有時(shí)域表示，也有頻域表示，由一種表示可以描述的任何數(shù)據(jù)性質(zhì)，都可以利用另一種表示來加以體現(xiàn)。對(duì)某些性質(zhì)來說，時(shí)域表示可能簡(jiǎn)單一些；而對(duì)另外一些性質(zhì)，可能頻域表示更為簡(jiǎn)單。§ 6.1 母體譜我們首先介紹母體譜，然后討論它的性質(zhì)。6.1.1母體譜及性質(zhì)假設(shè)Ytr.是一個(gè)具有

3、均值的協(xié)方差平穩(wěn)過程，第j個(gè)自協(xié)方差為：j =cov（ Yt，Yt_j） =E【（Yt -二）（Yt一二）假設(shè)這些自協(xié)方差函數(shù)是絕對(duì)可加的，則自協(xié)方差生成函數(shù)為：gM 二 7 jZjj -這里z表示復(fù)變量。將上述函數(shù)除以2二，并將復(fù)數(shù)Z表示成為指數(shù)虛數(shù)形式 z =exp （-i），i ="匸1，則得到的結(jié)果（表達(dá)式）稱為變量Y的母體譜：“）=丄 gY（e）=丄je-'j2兀2兀了乂注意到譜是-的函數(shù)：給定任何特定的值和自協(xié)方差j的序列 j；，原則上都可以計(jì)算SyCJ的數(shù)值。禾U用De Moivre定理，我們可以將 e丄j表示成為：e 亠j =cos（j） -i sin（j）因

4、此，譜函數(shù)可以等價(jià)地表示成為：1 書s丫 C ）j cos（ j） - i sin（ ，j）2 兀 j =PO注意到對(duì)于協(xié)方差平穩(wěn)過程而言，有：j =，因此上述譜函數(shù)化簡(jiǎn)為:中SyC ) ocos( 0) -i sin( 0) 2兀丿送 了j cos( GO j) + cos( (0 j) _ i sin( AO j) i sin( j)j亠利用三角函數(shù)的奇偶性，可以得到：1 乞Sy (= 丿 To +2瓦 fj COS( j)，"17J假設(shè)自協(xié)方差序列 j二是絕對(duì)可加的，則可以證明上述譜函數(shù) sY C .)存在，并且是, 的實(shí)值、對(duì)稱、連續(xù)函數(shù)。由于對(duì)任意2二k，有：sY (：&#

5、39;亠2二k) = sY C：J，因此sY (,)是周期函數(shù)，如果我們知道了 0,二內(nèi)的所有sY ( )的值，我們可以獲得任意 時(shí)的sY 0 .)值。§ 6.2 不同過程下母體譜的計(jì)算假設(shè)隨機(jī)過程Yt二:服從MA(：:)過程：Yt -t(L) ；t這里：廣 2i處<!, S =t屮(L)=送屮jLj，送|屮j |<立，E(譏s)=丿j -0j 二J0, S Ht根據(jù)前面關(guān)于MA(：:)過程自協(xié)方差生成函數(shù)的推導(dǎo)：gY (z)-(z)因此得到MA (：)過程的母體譜為：Sy ( J'- (e 丄2 JT例如，對(duì)白噪聲過程而言，'-(z) =1，這時(shí)它的母體

6、譜函數(shù)是常數(shù)：2CTSy C )2兀下面我們考慮MA (1)過程，Yt 二；t T “ 丄此時(shí)：(z) =1 rz，則母體譜為：1sY C )2(1 ve a ')(1 2 JT二丄;2 (1 re Aei /)2 二可以化簡(jiǎn)成為:1Sy 0 ')21 2 * 2VCOS( *，)2 二顯然，當(dāng)d o時(shí)，譜函數(shù)sYCJ在0,二內(nèi)是的單調(diào)遞減函數(shù)；當(dāng) V ：:0時(shí)，譜函數(shù)SyC )在0,二內(nèi)是的單調(diào)遞增函數(shù)。對(duì)AR (1)過程而言，有：Yt =c Yt丄亠腎這時(shí)只要|：:1，則有：'-(z) =1心- *)，因此譜函數(shù)為：1C21CT2Sy (; )2兀(1 一駕(1 一

7、帖凹)2兀(1 一帕弋一帖+護(hù))2 二12 -2 'cosC )該譜函數(shù)的性質(zhì)為：當(dāng)© >0時(shí)，譜函數(shù)sY(C0)在0,兀內(nèi)是的單調(diào)遞增函數(shù);時(shí)，譜函數(shù)sY C ）在0,二內(nèi)是，的單調(diào)遞減函數(shù)。 一般地，對(duì) ARMA （ p, q）過程而言：Yt=C為丫七-J、；2丫七 2亠亠"pYt亠：.tTH；t 丄£；t 公Vq ；t _q則母體譜函數(shù)為:匚2（1 re丄，戈e丄2宀2 二（1 _ e 丄幕芒2 e 丄2' -(1 re_ reFi 咗qeiq ') (1 _ 討2' 一一 一pe儀)如果移動(dòng)平均和自回歸算子多項(xiàng)式可以進(jìn)

8、行下述因式分解：2q17Z * HZ；qZ =（1 一 1Z）（1 一 2Z）（1 一 qZ）1 - 一 2Z2 -''pZP =（1 -春）（1 - Z）（1 - ' pZ）則母體譜函數(shù)可以表示為：q22 | 1 j -2 j cos( )i 4SY C 0:2兀2I 1 ，j 一2，j cos( Ji 士從母體譜函數(shù)中計(jì)算自協(xié)方差如果我們知道了自協(xié)方差序列 j；：,原則上我們就可以計(jì)算出任意的譜函數(shù)SyCJ的數(shù)值。反過來也是對(duì)的：如果對(duì)所有在0,二內(nèi)的，已知譜函數(shù)SyCJ的數(shù)值，則對(duì)任意給定的整數(shù) k，我們也能夠計(jì)算k階自協(xié)方差k。這意味著母體譜函數(shù)sY（，）和自

9、協(xié)方差序列汀二-：包含著相同的信息。其中任何一個(gè)都無法為我們提供另外一個(gè)無法給出 的推斷。下面的命題為從譜函數(shù)計(jì)算自協(xié)方差提供了一個(gè)有用的公式：命題6.1假設(shè) j：是絕對(duì)可加的自協(xié)方差序列，則母體譜函數(shù)與自協(xié)方差之間的關(guān) 系為：k =Sy c .）ei' kd .-匸：上述公式也可以等價(jià)地表示為：-hrk =Sy （ J cosC -k）d .k 利用上述譜公式，可以實(shí)現(xiàn)譜函數(shù)與自協(xié)方差函數(shù)之間的轉(zhuǎn)換。解釋母體譜函數(shù)假設(shè)k =0，則利用命題6.1可以得到時(shí)間序列的方差，即0，計(jì)算公式為：0Sy C '）d - -51根據(jù)定積分的幾何意義，上式說明母體譜函數(shù)在區(qū)間-二，二內(nèi)的面積

10、就是 0，也就是更一般的，由于譜函數(shù)過程的方差。SyCJ是非負(fù)的，對(duì)任意 - 0,二，如果我們能夠計(jì)算:這個(gè)積分結(jié)果也是一個(gè)正的數(shù)值，可以解釋為Yt的方差中與頻率的絕對(duì)值小于 M的成分相關(guān)的部分。注意到譜函數(shù)也是對(duì)稱的，因此也可以表示為：:- 1.SY C Jd =2 0 SY ( .)d'.-10這個(gè)積分表示頻率小于.M的隨機(jī)成分對(duì)Yt方差的貢獻(xiàn)。但是，頻率小于的隨機(jī)成分對(duì)Yt方差的貢獻(xiàn)意味著什么？為了探索這個(gè)問題，我們 考慮更為特殊一些的時(shí)間序列模型：MYt =7【tj cos( , jt)亠,sin( ,jt)j仝這里:j和：j是零均值的隨機(jī)變量，這意味著對(duì)所有時(shí)間t，有EYt

11、= 0。進(jìn)一步假設(shè)序f 26E（O（jO（k ） =J0,列r-jMa和L'.j)是序列不相關(guān)和相互不相關(guān)的:j -kj = k廠 2,CTjE（6j 6k）=0,E (: j.k) =0，對(duì)所有的j和k這時(shí)Yt的方差是：MME（Y：） -v E（2）cos2（. ,jt） E（.j2）sin 2C 屮）L' 2 Cos 2 C ,jt） - sin 2 C ,jt） 1 j 二j 二M八上2j 土因此，對(duì)這個(gè)過程來說，具有頻率-.j的周期成分對(duì)Yt的方差的貢獻(xiàn)部分是 二2。如果頻率是有順序的：0 :： ，1 :： ，2 ：:：M ：二，則Yt的方差中由頻率小于或者等于 ，j的

12、周期 形成的部分是：C12 V .2亠亠2。這種情形下Yt的k階自協(xié)方差為：M2 2EMYtQ 二 E()cos( jt)cos【 ft k) - E(.j )si n( jt)si n【 j (t 一 k)j 土M2.j cos( ,jt) cos【，j (t k) sin( ,jt) sin【，j (t k)j唱M=zj筑因?yàn)檫^程Yt的均值和自協(xié)方差函數(shù)都不是時(shí)間的函數(shù)，因此這個(gè)過程是協(xié)方差平穩(wěn) 過程。但是，可以驗(yàn)證此時(shí)的自協(xié)方差序列 k；L不是絕對(duì)可加的。雖然在上述過程中，我們已經(jīng)過程的方差分解為頻率低于某種程度的周期成分的貢獻(xiàn)，我們能夠這樣做的原因在于這個(gè)過程是比較特殊的。對(duì)于一般的情

13、形，著名的譜表示定理(the spectral representation theorem)說明：任何協(xié)方差平穩(wěn)過程都可以表示成為不同頻率周期成分的和形式。對(duì)任意給定的固定頻率0,二，我們定義隨機(jī)變量:-C )和-C )，并假設(shè)可以將一 個(gè)具有絕對(duì)可加自協(xié)方差的協(xié)方差平穩(wěn)過程表示為：Yt =，)cos( ，t) 、(，)sin( ，t)d，這里需要對(duì)隨機(jī)變量：()和：()的相關(guān)性給出更為具體的假設(shè)，但是上述公式便是譜表示定理的一般形式。§ 6.2 樣本周期圖Sample PeriodogramYt，我們已經(jīng)定義在頻率.處的譜對(duì)一個(gè)具有絕對(duì)可加自協(xié)方差的協(xié)方差平穩(wěn)過程 函數(shù)值為：1

14、i 1 i jSyCJ9Y（e- '）je- J， j 三 E（Yt -）（£一 '）2兀2兀j =od注意到母體譜是利用汀表示的，而表示的是母體的二階矩性質(zhì)。給定由y2，,Yt表示的T個(gè)樣本，我們可以利用下述公式計(jì)算直到（T _1）階的樣本自協(xié)方差:j =0,1，,T -1j 1, 2，T 14丄 一一（Tj） 二.（yty）（ yty）,t 卡對(duì)于給定的，我們可以獲得母體譜密度對(duì)應(yīng)的樣本情形，我們稱其為樣本周期圖:1 T丄?（ ）?je 丄2兀j=x十樣本周期圖也可以表示成為如下形式:COS（ . j）類似地，我們可以證明樣本周期圖下的面積等于樣本方差:?0 =

15、=SY樣本周期圖也是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，因此也有：?0 =2 PyC更為重要的是，譜表示定理在樣本情形也有類似的表示。我們將要說明，對(duì)于平穩(wěn)過 程的任意一個(gè)容量為T的觀測(cè)值序列yy , y2，,yT，存在頻率 M ,2，和系數(shù)?，?, ：?2,，？m，?1,鳥,，-?m使得t期的y值可以表示成為：Myt = ? cosj （t 一1）、?jSin j （t -1）j吐其中：當(dāng) j = k 時(shí)，:?j cos【，j （t 一1）與？k cos ，k （t -1）不相關(guān)；當(dāng) j - k 時(shí)，sinL j （t -1）與、?k sin k（t 1）不相關(guān)；對(duì)于所有的j和k，?j cos【（t 一1）與?

16、k sin k（t -1）不相關(guān)。y的樣本方差是T二（yt _y）2，該方差中可以歸因于頻率為 j的周期成分的部分 由樣本周期圖sY （-.）給出。我們對(duì)樣本容量是奇數(shù)的情形展開討論上述譜表示模式。這時(shí)yt可以表示成為由M三（T -1）/2個(gè)不同頻率構(gòu)成的周期函數(shù)，頻率'1 , '2，* 'm如下：2兀4兀2M兀''1，2,' 'M ：'TTT因此最高頻率為:2M 兀 2(T _1)兀'、：；MT2T我們考慮yt基于常數(shù)項(xiàng)、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的線性回歸：Myt -' : j cos j (t -1)丄 o j si

17、n j (t _ 1) uj 2將這個(gè)回歸方程表示成為下述方式：yt = 3 xt - ut其中：xt =1, cos 'i (t -1), sin - 'i (t -1),，cos M (t -1), sin m (t -1) ，這是 一個(gè)具有(2M1)二T個(gè)解釋變量的回歸方程，因此解釋變量與觀測(cè)值是一樣多的。我們將證明解釋變量之間是線性無關(guān)的，這意味著yt基于xt回歸的OLS估計(jì)具有惟一解。該回歸方程的 系數(shù)具有顯著的統(tǒng)計(jì)意義：(:?2 ?2)/2表示yt中可以歸因于頻率 j的周期成分的 那部分。這就是說，任意觀測(cè)到的序列y1,y2，yT,它都可以利用上述周期函數(shù)形式表示，

18、 并且不同頻率的周期成分對(duì)方差的貢獻(xiàn)都可以在樣本周期圖中找到。命題6.2 假設(shè)樣本容量是奇數(shù)，定義M =(T _1)/2 ,并設(shè)定=2二i/T ,j =1,2，M，假設(shè)解釋變量為：xt 二1, cos - '1(t -1), sin - '! (t 一1),，cos m (t1), sin-(t1)'：'=j >1, >2,、；2,，M ,、；M 則有:0進(jìn)一步，假設(shè)(T /2)I tay1 ,y2，yT是任意t個(gè)實(shí)數(shù)，則下述推斷成立:(a) 過程yt可以表示為：Myt = :?j cos ，j (t T)、?j sin j (t T)j 土這里:T

19、'' yt cosj (t T)t zi?j2 JT t4yt sinj (t -1)10時(shí)間序列分析方法講義第6章譜分析#時(shí)間序列分析方法講義第6章譜分析(b) yt的樣本方差可以表示為：1 T1 M、d =八(：?2T t z!2 j 1樣本方差可以歸因于頻率為j的周期成分的部分為(？2 - ：?j2)/2。(c) yt的樣本方差中可以歸因于頻率為的周期成分的部分還可以表示為:12?24 '：.(:?j ' ?j )!?yC 'j )jjty j其中！?yC打)是樣本周期圖在頻率*打處的值。T上述結(jié)果說明，二Xtx/是對(duì)角矩陣，這意味著包含在向量xt

20、中的向量之間是相互正交t ±的。這個(gè)命題斷言：任何奇數(shù)個(gè)觀測(cè)到的時(shí)間序列y1 ,y2，,yT可以表示成為一個(gè)常數(shù)加上T是偶數(shù)整數(shù)的時(shí)候，類似的具有(T -1)/2個(gè)不同頻率的(T -1)個(gè)周期成分的加權(quán)和。當(dāng)結(jié)果也是成立的。因此，這個(gè)命題給出了類似譜表示定理的有限樣本的類似情況。這個(gè)命題進(jìn)一步表明了樣本周期圖的特征是將y的方差按部分分解為不同頻率的周期成分的貢獻(xiàn)。注意到解釋y的方差的頻率 j都落在區(qū)間0, H中。為什么不使用負(fù)的頻率時(shí)0 ?假 設(shè)數(shù)據(jù)確實(shí)是由上述過程的一種特殊情形生成的：Ytcos（- .t） ：Wsin（ - ,t）這里_ . 0代表某個(gè)特殊的負(fù)頻率，:.和.是零均

21、值的隨機(jī)變量，利用三角函數(shù)的奇偶性，可以將Yt表示為：Yt = :- cos（ ,t） 一sin（ ,t）因此，利用上述式子無法從數(shù)據(jù)中識(shí)別數(shù)據(jù)是從正發(fā)頻率還是負(fù)的頻率生成的。這時(shí) 一種簡(jiǎn)單的方式是假設(shè)數(shù)據(jù)是從具有正的頻率中生成的。為什么只考慮二二作為最大的頻率呢？假設(shè)數(shù)據(jù)真的是從頻率 -7：的周期函數(shù)中生成的，例如=3二/2 :Yt = :- cos（ 3二 / 2）t亠肩 sin（ 3 二 /2）t這時(shí)正弦和余弦函數(shù)的周期性質(zhì)表明，上式可以表示成為：Ytcos（-二/2）t丄我 sin（-二/2）t因此，根據(jù)以前的討論，具有頻率川=3二/ 2的周期在觀測(cè)值上等價(jià)于具有頻率川=恵/ 2的周期

22、。注意到頻率和周期之間的關(guān)系，頻率-.對(duì)應(yīng)的周期為2?. / .。由于我們考慮的最高頻率為.-，因此我們所觀測(cè)到的能夠自己重復(fù)的最短階段是2二/理=2。如果.：=3二/ 2，則周期是每4/3階段重復(fù)自己。但是，如果數(shù)據(jù)是整數(shù)階段觀測(cè)的，因此數(shù)據(jù)可以觀測(cè)的時(shí)間間隔仍然是每 4個(gè)階段觀測(cè)到，這對(duì)應(yīng)著周期頻率是申="。例如，函數(shù)cos（二/ 2）t和 函數(shù)cos（3二/2）t在整數(shù)的時(shí)間間隔上，它們的觀測(cè)值是一致的。命題6.2也為計(jì)算在頻率 Oj =2兀（ j =1, 2,，M ）上的樣本周期圖的數(shù)值提供了方法。定義:?y C 'j )T 2?2r(?j -)12時(shí)間序列分析方法講

23、義第6章譜分析#時(shí)間序列分析方法講義第6章譜分析這里:2?j ' yt cosj (t -1)， T t壬、?jyt si n -.j(t -1)T tm#時(shí)間序列分析方法講義第6章譜分析#時(shí)間序列分析方法講義第6章譜分析因此可以得到:1?yC 'j )二_TJ JE yt cos d(t j) 2HTytsin#時(shí)間序列分析方法講義第6章譜分析#時(shí)間序列分析方法講義第6章譜分析§ 6.3 估計(jì)總本譜Estimating the Population Spectrum上面我們介紹了母體譜的意義和性質(zhì)，下面我們面對(duì)的問題是：獲得了觀測(cè)樣本心12丁以后，如何估計(jì)母體譜函數(shù) syC.） ？樣本周期圖的大樣本性質(zhì)一個(gè)顯然的方法是利用樣本周期圖?yC ）去估計(jì)母體譜函數(shù)sY C .）。但是，這種方法具有顯著的限