小學(xué)數(shù)學(xué)中對于數(shù)及其運(yùn)算的幾點(diǎn)深入理解

1、小學(xué)數(shù)學(xué)中對于數(shù)及其運(yùn)算的幾點(diǎn)深入理解 （1）對“自然數(shù)”的理解0為什么規(guī)定為自然數(shù)上世紀(jì)90年代以前人們習(xí)慣的自然數(shù)不包括0，1993年中華人民共和國國家標(biāo)準(zhǔn)頒布，規(guī)定了0屬于自然數(shù)。因?yàn)?，自然?shù)有三大功能，一是基數(shù)，二是序數(shù)，三是能加法和乘法運(yùn)算。缺少了0就不完善了。在基數(shù)上，0表示沒有，是“空集”這個(gè)有限集合的元素個(gè)數(shù)；在順序上，有時(shí)當(dāng)著起點(diǎn)，如尺子的0厘米；在加乘運(yùn)算上，如果沒有0的自然數(shù)，不能運(yùn)算。在小學(xué)數(shù)學(xué)中所指的整數(shù)就是自然數(shù)。（2）對于分?jǐn)?shù)的理解  小學(xué)數(shù)學(xué)中分?jǐn)?shù)的定義是：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)。因此，分?jǐn)?shù)的分子、分母都是非0自然數(shù)

2、，并且分母不能是1。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，像0/3，2/1，0.1/3，4/0.2等的數(shù)都不是分?jǐn)?shù)。但是，有時(shí)在計(jì)算中會(huì)出現(xiàn)分子是0的分?jǐn)?shù)，就叫零分?jǐn)?shù)，或分母是1的分?jǐn)?shù)是整數(shù)。所以，分?jǐn)?shù)補(bǔ)充定義：當(dāng)分?jǐn)?shù)m/n的 n=1時(shí),m/n=m/1=m；當(dāng)分?jǐn)?shù)m/n的m=0時(shí)，m/n=0/n=0。另一方面，在過去的小學(xué)數(shù)學(xué)里，有繁分?jǐn)?shù)這個(gè)概念，可把0.1/3或4/0.2等看成是繁分?jǐn)?shù)。繁分?jǐn)?shù)可化成整數(shù)或分?jǐn)?shù)。（3）分?jǐn)?shù)和小數(shù)的關(guān)系  任何一個(gè)分?jǐn)?shù)都可化為小數(shù)，即是化成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)。但是，并非任何小數(shù)都能化成分子、分母都是整數(shù)的分?jǐn)?shù)，如無限不循環(huán)小數(shù)不能化成分?jǐn)?shù)。（4）關(guān)于0為什么不能做除數(shù)&#

3、160; 整數(shù)除法定義：如果bq=a，那么a÷b=q  。這說明除法是乘法的逆運(yùn)算，已知積和一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)。當(dāng)a=0，b0時(shí)，b 0=0，0÷b=0。如果除數(shù)b=0，那么：當(dāng)被除數(shù)a不為零時(shí)，由于任何數(shù)乘0都不可能等于a，所以a÷0的商是不存在的；當(dāng)被除數(shù)a為零時(shí)，因?yàn)槿魏螖?shù)乘0都等于0，所以a÷b的商是不能確定的。因此，規(guī)定除法中，除數(shù)不能為零。（5）對小學(xué)數(shù)學(xué)整除性的理解  因數(shù)和倍數(shù)。小學(xué)數(shù)學(xué)是在非0整數(shù)（自然數(shù)）范圍內(nèi)研究因數(shù)和倍數(shù)的。在小學(xué)數(shù)學(xué)中的非0自然里，a×b=c,a和b都是c的因數(shù)，c是a和b的倍數(shù)

4、；從數(shù)的整理除性來看，0能被任何非0自然數(shù)整除，故0是任何非0自然數(shù)整除的倍數(shù)，任何非0自然數(shù)也都是0的因數(shù)，所以在研究因數(shù)和倍數(shù)時(shí)，把0包括在內(nèi)就沒有什么實(shí)際意義，因此，小學(xué)數(shù)學(xué)中的0不作為因數(shù)、倍數(shù)的研究范圍。（學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)后，一個(gè)數(shù)的倍數(shù)可以是負(fù)整數(shù)）因0不能當(dāng)除數(shù)，任何整數(shù)都不是0的倍數(shù)，故0沒有倍數(shù)。奇數(shù)和偶數(shù)。小學(xué)數(shù)學(xué)是在自然數(shù)中定義奇數(shù)和偶數(shù)的，所以0是偶數(shù)。奇數(shù)性質(zhì)：兩個(gè)奇數(shù)的和或差是偶數(shù)；兩個(gè)奇數(shù)的積是奇數(shù)；一奇一偶的和或差是奇數(shù)；一奇一偶的積是偶數(shù)。偶數(shù)性質(zhì)：兩偶的和、差、積是偶數(shù)。在自然數(shù)中，最小的偶數(shù)的0，最小的奇數(shù)的1。數(shù)擴(kuò)充到全體整數(shù)時(shí)，就沒有最小的整數(shù)，也沒有最小的奇

5、數(shù)（偶數(shù)）。人教版五下P22練習(xí)題11奇數(shù)與偶數(shù)的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？奇數(shù)與奇數(shù)的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？偶數(shù)與偶數(shù)的和呢？（設(shè)奇數(shù)為2n-1，nN，設(shè)偶數(shù)為2n-1，nN，可以證明）質(zhì)數(shù)和合數(shù)一個(gè)數(shù)除了1和它本身外，還有其他的因數(shù)，這樣的數(shù)叫合數(shù)，合數(shù)至少有3個(gè)因數(shù)。一個(gè)數(shù)除了1和它本身外，不再有別的因數(shù)，這樣的數(shù)叫質(zhì)數(shù)，質(zhì)數(shù)都有2個(gè)因數(shù)。0雖然能被1整除，但不能被它本身整除（0÷0無意義），故O不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。1不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。（6）為什么要引進(jìn)負(fù)數(shù)？一是人們在生產(chǎn)生活中經(jīng)常會(huì)遇到各種相反意義的量，二是使減法運(yùn)算永遠(yuǎn)可以實(shí)施。負(fù)數(shù)的引進(jìn)，是中國古代數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)的一個(gè)巨大貢獻(xiàn)。在九

6、章算術(shù)中，除了引進(jìn)正負(fù)數(shù)的概念外，還完整地記載了正負(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，實(shí)際上是正負(fù)數(shù)加減法的運(yùn)算法則。如負(fù)數(shù)出現(xiàn)在方程的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)中，把“賣（收入錢）”作為正，則“買（付出錢）”作為負(fù)，把“余錢”作為正，則“不足錢”作為負(fù)。劉徽第一次給出了正負(fù)區(qū)分正負(fù)數(shù)的方法。他說：“正算赤，負(fù)算黑；否則以邪正為異”意思是說，用紅色的小棍擺出的數(shù)表示正數(shù)，用黑色的小棍擺出的數(shù)表示負(fù)數(shù)；也可以用斜擺的小棍表示負(fù)數(shù)，用正擺的小棍表示正數(shù)。在國外，負(fù)數(shù)出現(xiàn)得很晚，直至公元1150年（比九章算術(shù)成書晚l千多年），印度人巴土卡洛首先提到了負(fù)數(shù)，而且在公元17世紀(jì)以前，許多數(shù)學(xué)家一直采取不承認(rèn)的態(tài)度。如法國大數(shù)學(xué)家韋達(dá)，盡

7、管在代數(shù)方面作出了巨大貢獻(xiàn)，但他在解方程時(shí)卻極力回避負(fù)數(shù)，并把負(fù)根統(tǒng)統(tǒng)舍去。有許多數(shù)學(xué)家由于把零看作“沒有”，他們不能理解比“沒有”還要“少”的現(xiàn)象，因而認(rèn)為負(fù)數(shù)是“荒謬的”。直到17世紀(jì)，笛卡兒創(chuàng)立了坐標(biāo)系，負(fù)數(shù)獲得了幾何解釋和實(shí)際意義，才逐漸得到了公認(rèn)。從上面可以看出，負(fù)數(shù)的引進(jìn)，是我國古代數(shù)學(xué)家貢獻(xiàn)給世界數(shù)學(xué)的一份寶貴財(cái)富。（7）對近似數(shù)和近似值的理解與實(shí)際數(shù)相接近的數(shù)稱為近似數(shù)。如海南省人口860萬，是個(gè)近似數(shù)。近似等于精確值的數(shù)值稱為近似值。如除法運(yùn)算時(shí)，求到某一位數(shù)上四舍五入所得的數(shù)值，是商的近似值。近似數(shù)和近似值不是一回事的。（8）關(guān)于估算（從二上P31開始有“加減法估算”）。小學(xué)數(shù)學(xué)的估算有三類；一是對大數(shù)目的估算，如254×196大約是多少？；二是對日?？谒?、筆算的驗(yàn)算；三是對日常生活中一些最簡單的推算，如100萬張紙有多厚？對大數(shù)目的估算：通常用四舍五入方法保留最高位或次高位，用“湊整”的方法