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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上坐標(biāo)法解立體幾何1空間直角坐標(biāo)系:(1)若空間的一個基底的三個基向量互相垂直,且長為,這個基底叫單位正交基底,用表示;(2)在空間選定一點和一個單位正交基底,以點為原點,分別以的方向為正方向建立三條數(shù)軸:軸、軸、軸,它們都叫坐標(biāo)軸我們稱建立了一個空間直角坐標(biāo)系,點叫原點,向量 都叫坐標(biāo)向量通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面,分別稱為平面,平面,平面;2空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo): 在空間直角坐標(biāo)系中,對空間任一點,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組,使,有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo),記作,叫橫坐標(biāo),叫縱坐標(biāo),叫豎坐標(biāo)3空間向量的直角坐標(biāo)運算律:(1)若,則, ,(2)若,則
2、一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo)4模長公式:若,則,5夾角公式:異面直線所成的夾角:6兩點間的距離公式:若,則,或 7、法向量直線的法向量:在直線上取一個定向量,則與垂直的非零向量叫直線的法向量平面的法向量:與平面垂直的非零向量叫平面的法向量構(gòu)造直線或平面的法向量,在求空間角與距離時起到了橋梁的作用,在解題過程中只須求出而不必在圖形中作出來在空間直角坐標(biāo)系下,構(gòu)造關(guān)于法向量坐標(biāo)的三元一次方程組,得到直線(或平面)的法向量坐標(biāo)的一般形式,再取特值. 其向上或向下的方向可根據(jù)豎坐標(biāo)的符號來確定.一、平面的法向量例1 已知=(2,2,1),=(4,5,
3、3),求平面ABC的法向量解:設(shè)面ABC的法向量,則且,即·=0,且·=0,即2x+2y+z=0且4x+5y+3z=0,解得=z(,1,1)點評:一般情況下求法向量用待定系數(shù)法由于法向量沒規(guī)定長度,僅規(guī)定了方向,所以有一個自由度,可把的某個坐標(biāo)設(shè)為1,再求另兩個坐標(biāo)平面法向量是垂直于平面的向量,故法向量的相反向量也是法向量。二、空間里的垂直關(guān)系1、 如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,E、F分別是BB1、CD的中點 證明ADD1F;解:取D為原點,DA、DC、DD1為x軸、y軸、z軸建立直角坐標(biāo)系,取正方體棱長為2,則A(2,0,0)、A1(2,0,2)、D1(0,0
4、,2)、E(2,2,1)、F(0,1,0)· =(2,0,0)·(0,1,2)=0,ADD1F2、 如圖,已知正三棱柱的棱長為2,底面邊長為1,是的中點.在直線上求一點,使;解:以分別為軸、軸,垂直于的為軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則有.3、在直二面角DABE中,四邊形ABCD是邊長為2的正方形,AE=EB=2,F(xiàn)為CE上的點,且BF平面ACE. ()求證:AE平面BCE; ()求證:平面BDF平面ABCD.證明:ABCD為正方形,AB,二面角DABE為直二面角,BC面AEB,以線段AB的中點為原點O,OE所在直線為x軸,AB所在直線為y軸,過O點平行于AD的直線為z軸,如圖
5、建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,則A(0,1,0),B(0,1,0),C(0,1,2),D(0,1,2), E(1,0,0),F(xiàn)為CE上的點,=(1,1,2),設(shè)=(-,,), F(1-,),=(1-,),=(0,2,2),=( 1,1,0),BF平面ACE, =0且=0,解得,=1,=, E(1,0,0),F(xiàn)(,),()=(1,1,0),=(1,1,0), =0, AEBE, BC面AEB, BCAE, AE平面BCE;()面ABCD的法向量為=(1,0,0),設(shè)面BFD的法向量為=(,),=(,),=(0,2,2),=0且=0,取=1,則=1,=0,=(0,1,1), =0, 平面BDF平面A
6、BCD5平面ABCD平面ABEF,ABCD是正方形,ABEF是矩形,且G是EF的中點,求證平面AGC平面BGC;解:如圖,以A為原點建立直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(0,2a,0),C(0,2a,2a),G(a,a,0),F(xiàn)(a,0,0)證明: 設(shè)平面AGC的法向量為,設(shè)平面BGC的法向量為, 即 平面AGC平面BGC;三、空間里的平行關(guān)系1、在正方體AC1中,E為DD1的中點,求證:DB1/面A1C1E3、在正方體,E是棱的中點。在棱上是否存在一點F,使平面?證明你的結(jié)論。解:以A為坐標(biāo)原點,如圖建立坐標(biāo)系,設(shè)正方形的棱長為2,則B(2,0,0),E(0,2,1),(0,0,2),(2
7、,0,2),=(2,2,1),=(2,0,2),設(shè)面的法向量為=(,),則=0且=0,取=1,則=1,=,=(1,1),假設(shè)在棱上存在一點F,使平面,設(shè)F(,2,2)(02),則=(,2,2), 則=0, 解得=1, 當(dāng)F為中點時,平面.四、空間的角1、直三棱柱中,若,求異面直線與所成的角。如圖建立空間坐標(biāo)系,設(shè)異面直線與所成的角為,則,設(shè)AB=,易求點B坐標(biāo):(,點坐標(biāo):,),點A坐標(biāo):(0,0,0),點坐標(biāo):,),所以,),) 2、在四棱錐中,底面,直線與底面成60°角,點分別是、的中點.(1)求異面直線DN與BC的夾角的余弦值;(2)求直線PA與面PBC所成的角正弦值;(3)求
8、二面角PNC-D的大小的余弦值.解析:以D為原點,向量,的方向分別為,軸的正方向,建立坐標(biāo)系,設(shè)AD=1,則AB=2,底面,PAD為直線PA與面ABCD所成的角, PAD=, PD=, D(0,0,0), A(1,0,0), B(1,2,0),C(0,2,0), P(0,0, ),M(,0,),N(,1, ),(1)=( ,1,),=(1,0,0),異面直線DN與BC的夾角的余弦值為=.(2)=(1,0,),=(1,2,),設(shè)面PBC的法向量為=(,),直線PA與面PBC所成的角為,則=0且=0,取=2,則=0,=,=(0,2, ), =.(3)由(2)知面PBC的法向量為=(0,2, ),設(shè)
9、面CDN的法向量為=(,), =( ,1,),=(0,2,0),=(0,0,),=0且=0,取=1,則=,=0,則=(,0,1),=,又=30, =0, 二面角PNC-D的大小的余弦值為.【點評】(1)對異面直線夾角問題,先求出兩條異面直線的方向向量分別為、,在求出、的夾角,設(shè)兩異面直線的夾角,利用=求出異面直線的夾角,注意:異面直線夾角與向量夾角的關(guān)系;(2)對二面角的大小問題,先求出平面、的法向量、,再求出、的夾角,在內(nèi)取一點A,在內(nèi)取一點B,設(shè)二面角大小為,若與同號,則=,若與異號,則=,注意二面角大小與法向量夾角的關(guān)系.(3)對于線面夾角問題,求出線面夾角問題中,求出直線的方向向量和平
10、面法向量,設(shè)線面角為,則直線方向向量在平面法向量方向上的投影的長度與直線方向向量的模之比就是線面夾角的正弦值,即=.3、如圖,與都是邊長為2的正三角形,平面平面,平面,.(1)求直線與平面所成的角的大??;(2)求平面與平面所成的二面角的正弦值.解:如圖建立空間坐標(biāo)系,設(shè)直線與平面所成的角的大小為,平面 是平面BCD的一個法向量故 點A坐標(biāo):(0,0,)點B坐標(biāo):(0,0,0)點M坐標(biāo):(,)(注明:先作MOCD于O,過點C作CEBD于E,CGy軸于G,過點O作OFBD于F,OHy軸于H,再利用坐標(biāo)定義求出點M坐標(biāo))于是,(0,0,) (2)易知平面BCD的一個法向量為=(0,0,1)設(shè)平面ACM的法向量,),由,可得·=0,·=0,而A(0,0,),M(,),C,), ,所以消,得取,得,),平面與平面所成的二面角的正弦值為。4、如圖,四棱錐中,底面為矩形,底面,點是棱的中點.(1)證明:平面;(2)若,求二面角的平面角的余弦值. (1)證明:如圖建立空間坐標(biāo)系,設(shè)ADA(0,0,0),E(0,),P(0,0
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