(完整word版)電動力學(xué)-郭碩鴻-第三版-課后題目整理(復(fù)習(xí)備考專用)

1、電動力學(xué)習(xí)題解答電動力學(xué)答案2.設(shè) u 是空間坐標x, y, z 的函數(shù)，證明：第一章電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律f (u)dfu，A(u)u dA，dudAduA(u)udu1.根據(jù)算符的微分性與向量性，推導(dǎo)下列公式：證明：(AB) B (A)(B )AA(B)(A) BA(A)1A2(A )A2第1頁電動力學(xué)習(xí)題解答3.設(shè) r( xx') 2( yy') 2(zz') 2 為源點 x ' 到場點 x的距離， r 的方向規(guī)定為從源點指向場點。（ 1）證明下列結(jié)果，并體會對源變量求微商與對場變量求微商的關(guān)系：r'rr / r ；(1/ r )' (1/ r

2、 )r / r 3 ；(r / r 3 )0 ；( r / r 3 )' (r / r 3 )0 ，( r0) 。（ 2 ） 求r，r， (a)r，(a r )， E 0 sin( k r ) 及 E 0 sin( k r ) ，其中 a 、 k 及 E 0 均為常向量。4. 應(yīng)用高斯定理證明dVfdS f ，應(yīng)用斯托克斯VS（Stokes）定理證明dSdlSL第2頁電動力學(xué)習(xí)題解答5. 已知一個電荷系統(tǒng)的偶極矩定義為p(t )( x ', t)x' dV ' ，6. 若 m 是常向量， 證明除 R0 點以外，向量 A （ m R ）/ R3V的旋度等于標量m

3、R / R3 的 梯 度 的 負 值 ， 即利用電荷守恒定律J0 證明p 的變化率為：A，其中 R 為坐標原點到場點的距離，方向由原t點指向場點。dpJ ( x ' ,t )dVdtV第3頁電動力學(xué)習(xí)題解答7.有一內(nèi)外半徑分別為r1 和 r2 的空心介質(zhì)球，介質(zhì)的電容率為，使介質(zhì)球內(nèi)均勻帶靜止自由電荷f ，求：（1）空間各點的電場；（ 2）極化體電荷和極化面電荷分布。9. 證明均勻介質(zhì)內(nèi)部的體極化電荷密度p 總是等于體自由電荷密度f 的 (10/ )倍。8. 內(nèi)外半徑分別為 r1 和 r2 的無窮長中空導(dǎo)體圓柱，沿軸向流有恒定均勻自由電流J f ，導(dǎo)體的磁導(dǎo)率為，求磁感應(yīng)強度和磁化電流

4、。第4頁電動力學(xué)習(xí)題解答10. 證明兩個閉合的恒定電流圈之間的相互作用力大小相等方向11. 平行板電容器內(nèi)有兩層介質(zhì)，它們的厚度分別為l1 和 l 2 ，電相反 ( 但兩個電流元之間容率為 1和 2 ，今在兩板接上電動勢為E的電池，求： （ 1）的相互作用力一般并不服從牛頓第三定律)電容器兩極板上的自由電荷面密度f 1和f 2 ；（ 2）介質(zhì)分界面上的自由電荷面密度f 3 。 ( 若介質(zhì)是漏電的，電導(dǎo)率分別為1 和 2 當電流達到恒定時，上述兩物體的結(jié)果如何？ )第5頁電動力學(xué)習(xí)題解答12.證明：13.試用邊值關(guān)系證明：在絕緣介質(zhì)與導(dǎo)體的分界面上，在靜電情（1）當兩種絕緣介質(zhì)的分界面上不帶面自

5、由電荷時，電場線的況下，導(dǎo)體外的電場線總是垂直于導(dǎo)體表面；在恒定電流情況曲折滿足下，導(dǎo)體內(nèi)電場線總是平行于導(dǎo)體表面。tantan2 21 1其中1 和 2 分別為兩種介質(zhì)的介電常數(shù)，1和2 分別為界面兩側(cè)電場線與法線的夾角。（ 2）當兩種導(dǎo)電介質(zhì)內(nèi)流有恒定電流時， 分界面上電場線的曲折滿足tantan2 21 1其中1 和2 分別為兩種介質(zhì)的電導(dǎo)率。第6頁電動力學(xué)習(xí)題解答14.內(nèi)外半徑分別為 a 和 b 的無限長圓柱形電容器，單位長度荷電第二章靜電場為 f ，板間填充電導(dǎo)率為的非磁性物質(zhì)。1.一個半徑為 R 的電介質(zhì)球，極化強度為 PKr / r2，電容率（1）證明在介質(zhì)中任何一點傳導(dǎo)電流與位

6、移電流嚴格抵消，因為。此內(nèi)部無磁場。（1）計算束縛電荷的體密度和面密度：（2）求 f 隨時間的衰減規(guī)律。（2）計算自由電荷體密度；（3）求與軸相距為 r 的地方的能量耗散功率密度。（3）計算球外和球內(nèi)的電勢；（4）求長度 l 的一段介質(zhì)總的能量耗散功率，并證明它等于這（4）求該帶電介質(zhì)球產(chǎn)生的靜電場總能量。段的靜電能減少率。第7頁電動力學(xué)習(xí)題解答2. 在均勻外電場中置入半徑為 R0 的導(dǎo)體球，試用分離變量法求下列兩種情況的電勢： （ 1）導(dǎo)體球上接有電池，使球與地保持電勢差0 ；（ 2）導(dǎo)體球上帶總電荷Q4. 均勻介質(zhì)球 （電容率為1）的中心置一自由電偶極子p f ，球外充滿了另一種介質(zhì)（電容

7、率為2 ），求空間各點的電勢和極化電荷分布。3.均勻介質(zhì)球的中心置一點電荷Q f ，球的電容率為，球外為真空，試用分離變量法求空間電勢，把結(jié)果與使用高斯定理所得結(jié)果比較。提示：空間各點的電勢是點電荷Q f 的電勢 Q f / 4R 與球面上的極化電荷所產(chǎn)生的電勢的迭加，后者滿足拉普拉斯方程。第8頁電動力學(xué)習(xí)題解答5. 空心導(dǎo)體球殼的內(nèi)外半徑為 R1 和 R2 ，球中心置一偶極子 p 球殼上帶電 Q ，求空間各點的電勢和電荷分布。7. 在一很大的電解槽中充滿電導(dǎo)率為2 的液體，使其中流著均勻的電流 Jf0。今在液體中置入一個電導(dǎo)率為1 的小球， 求穩(wěn)恒時電流分布和面電荷分布， 討論12 及21兩

8、種情況的電流分布的特點。6.在均勻外電場E 0 中置入一帶均勻自由電荷f 的絕緣介質(zhì)球（電容率為），求空間各點的電勢。第9頁電動力學(xué)習(xí)題解答8. 半徑為 R0 的導(dǎo)體球外充滿均勻絕緣介質(zhì)，導(dǎo)體球接地，離9.R1 和 R2 ，在球內(nèi)離球心為a 處 (a球心為 a 處（ a > R0 ）置一點電荷 Q f ，試用分離變量法求空接地的空心導(dǎo)體球的內(nèi)外半徑為< R1 )置一點電荷Q 。用鏡像法求電勢。導(dǎo)體球上的感應(yīng)電荷有多間各點電勢，證明所得結(jié)果與電象法結(jié)果相同。(RR0)少？分布在內(nèi)表面還是外表面？PR'R1ROQQ'第10頁電動力學(xué)習(xí)題解答10. 上題的導(dǎo)體球殼不接地，

9、而是帶總電荷Q0 ，或使具有確定電勢 0 ，試求這兩種情況的電勢。 又問 0 與 Q0 是何種關(guān)系時，兩情況的解是相等的？11. 在接地的導(dǎo)體平面上有一半徑為 a的半球凸部（如圖），半球的球心在導(dǎo)體平面上， 點電荷 Q位于系統(tǒng)的對稱軸上， 并與平面相距為 b（ b>a），試用電象法求空間電勢。zQaQ( x0,a,b)(x0 , a, b)byQQ(x0, a, b)( x0 , a, b)第11頁電動力學(xué)習(xí)題解答12. 有一點電荷 Q位于兩個互相垂直的接地導(dǎo)體平面所充滿電導(dǎo)率為 的液體。取該兩平面為xz面和 yz面在圍成的直角空間內(nèi)， 它到兩個平面的距離為a和 b，求空間( x0 ,

10、y0 , z0 ) 和 ( x0 , y0 ,z0 ) 兩點分別置正負電極并通以電流電勢。I，求導(dǎo)電液體中的電勢。Q ( x 0 , y0 , z0 ) zQ ( x0 , y0 , z0 )Q ( x0 , y 0 , z0 )Q( x0 , y 0 , z0 )oyxQ( x0 , y0 , z0 )Q( x0 , y0 , z0 )Q (x 0 , y0 , z0 )Q( x0 , y0 , z0 )zA(x0 , y0 , z0 )oyxB( x0 , y0 , z0 )13. 設(shè)有兩平面圍成的直角形無窮容器，其內(nèi)第12頁電動力學(xué)習(xí)題解答14. 畫出函數(shù) d( x) / dx 的圖，說

11、明( p) ( x ) 是一個位15. 證明：（ 1）(ax)( x) / a(a0) ，（若 a0 ，結(jié)果于原點的偶極子的電荷密度。如何？）（ 2） x(x)0d ( x) dxox第13頁電動力學(xué)習(xí)題解答16. 一塊極化介質(zhì)的極化矢量為 P( x ' ) ，根據(jù)偶極子靜電勢的公式，極化介質(zhì)所產(chǎn)生的靜電勢為P( x ' ) rdV '，另外4 0 r 3V根據(jù)極化電荷公式' P( x ' ) 及nP ，極化介17. 證明下述結(jié)果，并熟悉面電荷和面偶極層兩側(cè)電勢和電場的變化。（ 1）在面電荷兩側(cè)，電勢法向微商有躍變，而電勢是連續(xù)的。（ 2）在面偶極層兩側(cè)

12、，電勢有躍變21nP /0 ，而電pp質(zhì)所產(chǎn)生的電勢又可表為' P( x' ) dV 'P ( x ') dS' ，試證明以上兩表達V 4 0 rS 4 0r式是等同的。勢的法向微商是連續(xù)的。（各帶等量正負面電荷密度zE±而靠的很近的兩個面， 形成面偶極層，而偶極矩密度Pliml ）l01x2SE第14頁電動力學(xué)習(xí)題解答18. 一個半徑為 R0 的球面，在球坐標0/ 2 的半球面上電勢為0在 /2的半球面上電勢為0，求空間各點電勢。提示：Pn ( x)dxPn 1 (x)Pn 1 ( x)11， Pn (1)102n100 , （ n 奇數(shù)）P

13、n (0)( 1)n / 2 1 35(n 1)偶數(shù)）24 6, （nn第三章靜磁場1.試用 A 表示一個沿 z 方向的均勻恒定磁場 B0 ，寫出 A 的兩種不同表示式，證明二者之差為無旋場。2. 均勻無窮長直圓柱形螺線管， 每單位長度線圈匝數(shù)為 n，電流強度 I ，試用唯一性定理求管內(nèi)外磁感應(yīng)強度B 。第15頁電動力學(xué)習(xí)題解答3. 設(shè)有無限長的線電流 I 沿 z 軸流動，在 z<0 空間充滿磁導(dǎo)率為的均勻介質(zhì)， z> 0 區(qū)域為真空，試用唯一性定理求磁感應(yīng)強度 B ，然后求出磁化電流分布。4.設(shè) x< 0 半空間充滿磁導(dǎo)率為 的均勻介質(zhì)， x> 0 空間為真空，今有線

14、電流 I 沿 z 軸流動，求磁感應(yīng)強度和磁化電流分布。5. 某空間區(qū)域內(nèi)有軸對稱磁場。 在柱坐標原點附近已知Bz B0C ( z22 / 2) ，其中 B0 為常量。試求該處的 B 。提示：用B0 ，并驗證所得結(jié)果滿足H 0 。第16頁電動力學(xué)習(xí)題解答6. 兩個半徑為 a 的同軸圓形線圈，位于 zL 面上。每個線圈7. 半徑為 a 的無限長圓柱導(dǎo)體上有恒定電流J 均勻分布于截面上載有同方向的電流 I。上，試解矢勢A 的微分方程。設(shè)導(dǎo)體的磁導(dǎo)率為0 ，導(dǎo)體（1）求軸線上的磁感應(yīng)強度。外的磁導(dǎo)率為。（2）求在中心區(qū)域產(chǎn)生最接近于均勻常常時的L 和 a 的關(guān)系。提示：用條件2 Bz / z20第17

15、頁電動力學(xué)習(xí)題解答8. 假 設(shè) 存 在 磁 單 極 子 ， 其 磁 荷 為 Qm ， 它 的 磁 場 強 度 為3HQm r / 40 r 。給出它的矢勢的一個可能的表示式，并10. 有一個內(nèi)外半徑為R1 和 R2 的空心球，位于均勻外磁場H 0內(nèi)，球的磁導(dǎo)率為，求空腔內(nèi)的場 B ，討論0 時的磁屏蔽作用。9.將一磁導(dǎo)率為，半徑為R0 的球體，放入均勻磁場H 0 內(nèi)，求總磁感應(yīng)強度B 和誘導(dǎo)磁矩m。(對比 P49 靜電場的例子。 )第18頁電動力學(xué)習(xí)題解答11. 設(shè)理想鐵磁體的磁化規(guī)律為BH0 M 0 ，其中 M 0 是恒13. 有一個均勻帶電的薄導(dǎo)體殼其半徑為R0 ，總電荷為 Q ，今使定的

16、與 H 無關(guān)的量。 今將一個理想鐵磁體做成的均勻磁化球球殼繞自身某一直徑以角速度轉(zhuǎn)動，求球內(nèi)外的磁場B 。（ M 0 為常值）浸入磁導(dǎo)率為' 的無限介質(zhì)中，求磁感應(yīng)強提示：本題通過解A 或m 的方程都可以解決，也可以比較度和磁化電流分布。本題與 §5 例 2 的電流分布得到結(jié)果。12. 將上題的永磁球置入均勻外磁場H 0 中，結(jié)果如何？第19頁電動力學(xué)習(xí)題解答14. 電荷按體均勻分布的剛性小球，其總電荷為Q ，半徑為 R0 ，它以角速度繞自身某一直徑轉(zhuǎn)動，求（1）它的磁矩；（ 2）它的磁矩與自轉(zhuǎn)角動量之比（設(shè)質(zhì)量M 0 是均勻分布的） 。15. 有一塊磁矩為 m 的小永磁體，

17、位于一塊磁導(dǎo)率非常大的實物的平坦界面附近的真空中，求作用在小永磁體上的力F 。第四章電磁波的傳播1.考慮兩列振幅相同、偏振方向相同、頻率分別為d和d的線偏振平面波，它們都沿z 軸方向傳播。（ 1）求合成波，證明波的振幅不是常數(shù)，而是一個波。（ 2）求合成波的相位傳播速度和振幅傳播速度。第20頁電動力學(xué)習(xí)題解答2. 一平面電磁波以45°從真空入射到 r2 的介質(zhì)， 電場強4. 頻率為的電磁波在各向異性介質(zhì)中傳播時，若E, D,B,H度垂直于入射面，求反射系數(shù)和折射系數(shù)。仍按 ei( k x t ) 變化，但 D 不再與 E 平行（即 DE 不成立）。（ 1 ） 證 明 k B k D

18、B D B E0，但一般k E0 。 k 2 E (k E)k /2（2）證明 D。（3）證明能流S 與波矢 k 一般不在同一方向上。3. 有一可見平面光波由水入射到空氣，入射角為 60°，證明這時將會發(fā)生全反射，并求折射波沿表面?zhèn)鞑サ南嗨俣群屯溉肟諝獾纳疃取ＴO(shè)該波在空氣中的波長為0 6.28 10 5cm，水的折射率為 n=1.33。第21頁電動力學(xué)習(xí)題解答5. 有兩個頻率和振幅都相等的單色平面波沿z 軸傳播，一個波沿8. 平面電磁波由真空傾斜入射到導(dǎo)電介質(zhì)表面上，入射角為 1 。x 方向偏振，另一個沿 y 方向偏振，但相位比前者超前2 ，求導(dǎo)電介質(zhì)中電磁波的相速度和衰減長度。若導(dǎo)電介質(zhì)為金屬，求合成撥的偏振。反之，一個圓偏振可以