(完整word版)中值定理超強(qiáng)總結(jié)

1、咪咪原創(chuàng)，轉(zhuǎn)載請(qǐng)注明，謝謝！1 、 所證式僅與 相關(guān)觀察法與湊方法例1設(shè)在上二階可導(dǎo)，f (0) f (1) f (0) 0f ( x) 0,1試證至少存在一點(diǎn)2 f ( )( a, b)使得 f ( )1分析：把要證的式子中的換成 ，整理得f( x)xf( x)2 f ( x)0(1)x由這個(gè)式可知要構(gòu)造的函數(shù)中必含有，從xf(x)找突破口f (x)因?yàn)?xf ( x)xf (x)f( )，那么把 (1)式變一下：xf (x)f ( x) xf ( x)f( x) 0f ( x)f ( x) xf ( x)0這時(shí)要構(gòu)造的函數(shù)就看出來了 F (x)(1x) f ( x)f ( x)原函數(shù)法例2

2、設(shè)在b上連續(xù)，在(a,b )內(nèi)可導(dǎo)，f (a )f (b )，又在上連續(xù)f (x ) a,0g(x ) a,b求證：(a, b )使得 f () g ( )f ()分析：這時(shí)不論觀察還 是湊都不容易找出要構(gòu) 造的函數(shù)，于是換一種 方法現(xiàn)在把與 f 有關(guān)的放一邊，與 g 有關(guān)的放另一邊，同樣 把換成 xf (x )兩邊積分g (x )dxln f (x )g( x )dx lnC f (x ) Ceg (x )f (x )f (x )eg (x )dxC 現(xiàn)在設(shè) C0，于是要構(gòu)造的函數(shù)就 很明顯了F (x )f ( x )eg ( x )dx一階線性齊次方程解法的變形法對(duì)于所證式為 fpf0型，

3、（其中 p為常數(shù)或 x 的函數(shù)）可引進(jìn)函數(shù) u ( x)epdx，則可構(gòu)造新函數(shù) F ( x) f epdx例：設(shè) f ( x)在 a, b 有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，又存在c(a,b)，使得 f (c)0求證：存在(a, b)，使得 ff ()f ( a)( )ba分析：把所證式整理一下可得：ff ()f (a)( )b0a f ( ) f (a)1 f ()f (a)0，這樣就變成了 fpf0型ba引進(jìn)函數(shù) u ( x) 1dx xF (x)xe ba eb a （令 C=0），于是就可以設(shè)eb a f ( x) f (a)注：此題在證明時(shí)會(huì)用到f(c)f (b)f (a)f (a) 這個(gè)結(jié)論ba0

4、f (b)2、所證式中出現(xiàn)兩端點(diǎn)湊拉格朗日咪咪原創(chuàng)，轉(zhuǎn)載請(qǐng)注明，謝謝！例 3設(shè) ()在 ,b上連續(xù)，在 ( ,b)內(nèi)可導(dǎo)f xaa證明至少存在一點(diǎn)(b)()f ( )(a,b )使得 bfaf af ( )ba分析：很容易就找到要 證的式子的特點(diǎn)，那么 可以試一下，不妨設(shè) F (x ) xf (x ), 用拉格朗日定理驗(yàn)證一 下F ()f ( )f()bf (b )af (a)ba柯西定理例4設(shè)0x1x ， fx在x1,x2可導(dǎo)，證明在x1,x2)至少存在一點(diǎn) c ，使得2() (1e x1e x2fc)f ce x1e x2 f (x1)f (x 2 )( )分析：先整理一下要證 的式子 e

5、 x1f (x 2)e x2f (x 1)f cfc)e x1e x2( )(這題就沒上面那道那么 容易看出來了發(fā)現(xiàn) e x1f (x 2 )e x 2f (x1)是交叉的，變換一下， 分子分母同除一下 e x1 x2f (x 2)f (x 1)e x 2e x1于是這個(gè)式子一下變得 沒有懸念了11e x2e x1用柯西定理設(shè)好兩個(gè)函 數(shù)就很容易證明了 k 值法仍是上題分析：對(duì)于數(shù)四，如果 對(duì)柯西定理掌握的不是 很好上面那題該怎么辦 呢？在老陳的書里講了一個(gè) 方法叫做 k 值法第一步是要把含變量與 常量的式子分寫在等號(hào) 兩邊以此題為例已經(jīng)是規(guī)范 的形式了，現(xiàn)在就看常量的這個(gè)式子e x1f (x

6、 2 )e x 2f (x1 )x1x 2f ( x2 ) k 設(shè)k 整理得 e f (x1 ) k ee x1e x 2很容易看出這是一個(gè)對(duì) 稱式，也是說互換 x1x 2還是一樣的那么進(jìn)入第二步，設(shè) F (x )e x f (x )k ，驗(yàn)證可知 F (x )F (x)12記得回帶 k，用羅爾定理證明即可 。泰勒公式法老陳常說的一句話，管它是什么，先泰勒展開再說。當(dāng)定理感覺都起不上作用時(shí)，泰勒法往往是可行的，而且對(duì)于有些題目，泰勒法反而會(huì)更簡單。3、所證試同時(shí)出現(xiàn) 和 兩次中值定理咪咪原創(chuàng)，轉(zhuǎn)載請(qǐng)注明，謝謝！例 5 f (x )在 a, b 上連續(xù)，在 (a, b ) 內(nèi)可導(dǎo)， f (a ) f (b ) 1試證存在 ，( ,)使得ef( )f( )101分析：首先把 與 分開，那么就有 e f () f ( ) e一下子看不出來什么， 那么可以先從左邊的式 子下手試一下很容易看出 e f ( )f ( )ef () ，設(shè) F ( x ) e x f (x )利用拉格朗日定理可得 F ()e bf (b )e af (a ) 再整理一下bae f ( ) f ( )e beae beab只要找到b與e 的關(guān)系就行了aa這個(gè)更容易看出來了， 令G( x )e x 則再用拉格