級數(shù)判斂題型與題法專題講座

1、級數(shù)判斂題型與題法專題講座智 軒一級數(shù)判斂的數(shù)學定勢級數(shù)考點不外乎兩大方面（本講為判斂法）： 1、 判 斂；2. 展開與求和。我們只要掌握正項級數(shù)的5大判斂方法，對于任意項級數(shù)或函數(shù)項級數(shù)加上絕對值后，也就轉(zhuǎn)化為正項級數(shù)的5大判斂類型了。不過這時原來的正項級數(shù)的“收斂和發(fā)散”概念成為“絕對收斂和條件收斂或發(fā)散”的概念。作為任意項級數(shù)的特例的交錯級數(shù)還要掌握萊布尼茨判斂法，對于函數(shù)項級數(shù)的冪級數(shù)還要掌握阿貝爾定理，三角函數(shù)的付里葉級數(shù)還要掌握狄利克雷定理。二、正項（不變號）級數(shù)斂散性的5大判據(jù)與常用技巧1. 達朗貝爾比值法 2. 柯西根值法 3. 比階極限法 核心思想，貫穿整個判斂題型。 代數(shù)式

2、 極限式 ，其中：和都是正項級數(shù)。 應用技巧 大收小收，小發(fā)大發(fā)，同階同斂散。只有大收小發(fā)情形下，比較法才可判斂。評 注： 判別正項級數(shù)收斂的一般思路：先看是否成立，如不成立，則發(fā)散，如收斂，則根據(jù)級數(shù)通項的特點考慮比值法或根值法，如果比值法或根值法的極限不易求出或等于1，則使用比較法或其極限形式。 比階法的極限形式是核心方法，必須熟諳應用技巧，否則讀者在做題時會糊涂。比較法中最常用的技巧是找到合適的基準級數(shù)。主要技巧有3：對原級數(shù)通項放縮、利用同階無窮小及利用佩亞若余項泰勒展開。 凡是由達朗貝爾比值法給出的收斂性結論，由柯西根值法必可以給出相同的結論；反之卻不一定（參見例1）。4柯西積分法

3、若為非負數(shù)遞減連續(xù)函數(shù)，則基數(shù)與積分的兩散性相同。5對數(shù)判斂法若時，成立，則正項級數(shù)收斂，否則發(fā)散。三、級數(shù)斂散性判定的模型和基準 模 型 常常用作基準收斂的級數(shù)主要有2個： ，常常用作基準發(fā)散的級數(shù)有3個 四、級數(shù)斂散性判定過程中需要用到的基本結論1不等式 平均值不等式： 對數(shù)不等式： 三角不等式： 積分比較不等式：如 ； 型不等式：為嚴格單調(diào)增加序列2階次級別 的無窮大階次由低到高排列，此結論相當重要，務必記住！ 五、級數(shù)斂散性判定的部分題型和題法與技巧題型一達朗貝爾比值法與柯西根值法的題型【例1】討論級數(shù)的收斂性。 解：根據(jù)達朗貝爾比值法，有 根據(jù)柯西根值法，有 可見，柯西根值法審斂精度

4、高?！纠?】討論級數(shù)的收斂性解：因為 ，故該級數(shù)收斂?！纠?】，試討論級數(shù)的斂散性。 解：題型二 比階極限法的題型【例4】討論級數(shù)的收斂性解：，故該級數(shù)發(fā)散。【例5】討論級數(shù)的收斂性解：，故該級數(shù)發(fā)散。【例6】討論級數(shù)的收斂性解：【例7】討論級數(shù)的收斂性解：【例8】討論級數(shù)的收斂性解：根據(jù)對數(shù)不等式放縮通項 ，故該級數(shù)收斂?！纠?】討論級數(shù)的收斂性解： ，故該級數(shù)發(fā)散?！纠?0】討論級數(shù)的收斂性解: ，故該級數(shù)收斂?！纠?1】討論級數(shù)的收斂性解: ，我們只要討論。，故該級數(shù)收斂?！纠?2】討論級數(shù)的收斂性解: ，故該級數(shù)發(fā)散。【例13】判別（1） 和（2） 的斂散性。解：(1) 根據(jù)只有大收小發(fā)才可判斂的原則，無法判斷的斂散性； 顯然，要想辦法讓比較極限為零。 故我們另選參考級數(shù)根據(jù)大收小收，小發(fā)大發(fā) ， (2)對 選比較基準級數(shù) 故原級數(shù)收斂。評 注：如能利用等價無窮小等手段估計出級數(shù)一般項的階次，選用的比較基準級數(shù)形式就很容易確定。 如級數(shù)，可直接選用基準級數(shù)就可知原級數(shù)收斂。 又如級數(shù)，也可選用基準級數(shù)就可知原級數(shù)收斂?！纠?4】判別級數(shù)的斂散性 解 方法一：試探比階法 上述極限=，故原級數(shù)收斂。 方法二：泰勒展開法 題型三 對數(shù)判斂法的題型【例15】討論級數(shù)的收斂性解： 時該級數(shù)收