牛吃草問(wèn)題例題詳解(含練習(xí)和答案)

1、牛吃草問(wèn)題工堆草可供10頭牛吃3天，這堆草可供6頭牛吃幾天？”這道題太簡(jiǎn)單了，同學(xué)們一下就可求出：3X10+5W天）。如果我們把乙堆草”換成工片正在生長(zhǎng)的草地”，問(wèn)題就不那么簡(jiǎn)單了，因?yàn)椴菝刻於荚谏L(zhǎng)，草的數(shù)量在不斷變化。這類工作總量不固定（均勻變化）的問(wèn)題就是牛吃草問(wèn)題。例1牧場(chǎng)上一片青草，每天牧草都勻速生長(zhǎng)。這片牧草可供10頭牛吃20天，或者可供15頭牛吃10天。問(wèn)：可供25頭牛吃幾天？分析與解：這類題難就難在牧場(chǎng)上草的數(shù)量每天都在發(fā)生變化，我們要想辦法從變化當(dāng)中找到不變的量?？偛萘靠梢苑譃槟翀?chǎng)上原有的草和新生長(zhǎng)出來(lái)的草兩部分。牧場(chǎng)上原有的草是不變的，新長(zhǎng)出的草雖然在變化，因?yàn)槭莿蛩偕L(zhǎng)，

2、所以這片草地每天新長(zhǎng)出的草的數(shù)量相同，即每天新長(zhǎng)出的草是不變的。下面，就要設(shè)法計(jì)算出原有的草量和每天新長(zhǎng)出的草量這兩個(gè)不變量。設(shè)1頭牛一天吃的草為1份。那么，10頭牛20天吃200份，草被吃完；15頭牛10天吃150份，草也被吃完。前者的總草量是200份，后者的總草量是150份，前者是原有的草加20天新長(zhǎng)出的草，后者是原有的草加10天新長(zhǎng)出的草。200150=50（份），20-10=10（天），說(shuō)明牧場(chǎng)10天長(zhǎng)草50份，1天長(zhǎng)草5份。也就是說(shuō)，5頭牛專吃新長(zhǎng)出來(lái)的草剛好吃完，5頭牛以外的牛吃的草就是牧場(chǎng)上原有的草。由此得出，牧場(chǎng)上原有草（105）X20100（份）或（155）X10100（份）

3、?，F(xiàn)在已經(jīng)知道原有草100份，每天新長(zhǎng)出草5份。當(dāng)有25頭牛時(shí)，其中的5頭專吃新長(zhǎng)出來(lái)的草，剩下的20頭吃原有的草，吃完需100+205=(天)。所以，這片草地可供25頭牛吃5天。在例1的解法中要注意三點(diǎn)：(1)每天新長(zhǎng)出的草量是通過(guò)已知的兩種不同情況吃掉的總草量的差及吃的天數(shù)的差計(jì)算出來(lái)的。(2)在已知的兩種情況中，任選一種，假定其中幾頭牛專吃新長(zhǎng)出的草，由剩下的牛吃原有的草，根據(jù)吃的天數(shù)可以計(jì)算出原有的草量。(3)在所求的問(wèn)題中，讓幾頭牛專吃新長(zhǎng)出的草，其余的牛吃原有的草，根據(jù)原有的草量可以計(jì)算出能吃幾天。例2一個(gè)水池裝一個(gè)進(jìn)水管和三個(gè)同樣的出水管。先打開進(jìn)水管，等水池存了一些水后，再打開

4、出水管。如果同時(shí)打開2個(gè)出水管，那么8分鐘后水池空；如果同時(shí)打開3個(gè)出水管，那么5分鐘后水池空。那么出水管比進(jìn)水管晚開多少分鐘？分析：雖然表面上沒(méi)有牛吃草”，但因?yàn)榭偟乃吭诰鶆蜃兓?，水”相?dāng)于草”，進(jìn)水管進(jìn)的水相當(dāng)于新長(zhǎng)出的草，出水管排的水相當(dāng)于牛在吃草，所以也是牛吃草問(wèn)題，解法自然也與例1相似。出水管所排出的水可以分為兩部分：一部分是出水管打開之前原有的水量，另一部分是開始排水至排空這段時(shí)間內(nèi)進(jìn)水管放進(jìn)的水。因?yàn)樵械乃渴遣蛔兊模钥梢詮谋容^兩次排水所用的時(shí)間及排水量入手解決問(wèn)題。設(shè)出水管每分鐘排出水池的水為1份，則2個(gè)出水管8分鐘所排的水是2X8T6（份），3個(gè)出水管5分鐘所排的水是

5、3X5T5（份），這兩次排出的水量都包括原有水量和從開始排水至排空這段時(shí)間內(nèi)的進(jìn)水量。兩者相減就是在8-5=3（分）內(nèi)所放進(jìn)的水量，所以每分鐘的進(jìn)水量是C16-15）+3=；（份）。假設(shè)讓;個(gè)出水管專門推進(jìn)水管新進(jìn)的水，兩相抵消,其余的出水管排原有的水，可以求出原有水的水量為（2-1）X8=H（份）或（"!）乂5良（份）o55解：設(shè)出水管每分鐘排出的水為1份。每分鐘進(jìn)水量（2X8-3X5）+（8-5）=：（份），進(jìn)水管提前開了（分）。JJ答：出水管比進(jìn)水管晚開40分鐘。例3由于天氣逐漸冷起來(lái)牧場(chǎng)上的草不僅不長(zhǎng)大反而以固定的速度在減少 。已知某塊草地上的草可供20頭牛吃5天，或可供15

6、頭牛吃6天。照此計(jì)算，可供多少頭牛吃10天？分析與解：與例1不同的是，不僅沒(méi)有新長(zhǎng)出的草，而且原有的草還在減少。但是，我們同樣可以利用例1的方法，求出每天減少的草量和原有的草量。設(shè)1頭牛1天吃的草為1份。20頭牛5天吃100份，15頭牛6天吃90份，100-90=10（份），說(shuō)明寒冷使牧場(chǎng)1天減少青草10份，也就是說(shuō)，寒冷相當(dāng)于10頭牛在吃草。由草地上的草可供20頭牛吃5天”，再加上寒冷”代表的10頭牛同時(shí)在吃草，所以牧場(chǎng)原有草（20+10）X5450（份）。由150+1015知，牧場(chǎng)原有草可供15頭牛吃10天，寒冷占去10頭牛，所以，可供5頭牛吃10天。例4自動(dòng)扶梯以均勻速度由下往上行駛著，

7、兩位性急的孩子要從扶梯上樓。已知男孩每分鐘走20級(jí)梯級(jí)，女孩每分鐘走15級(jí)梯級(jí)，結(jié)果男孩用了5分鐘到達(dá)樓上，女孩用了6分鐘到達(dá)樓上。問(wèn)：該扶梯共有多少級(jí)？分析：與例3比較，總的草量”變成了扶梯的梯級(jí)總數(shù)“，草”變成了梯級(jí)“，?！弊兂闪怂俣取保部梢钥闯膳３圆輪?wèn)題。上樓的速度可以分為兩部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自動(dòng)扶梯的速度。男孩5分鐘走了20X5=100（級(jí)），女孩6分鐘走了15X6=90（級(jí)），女孩比男孩少走了10090=10（級(jí)），多用了65=1（分），說(shuō)明電梯1分鐘走10級(jí)。由男孩5分鐘到達(dá)樓上，他上樓的速度是自己的速度與扶梯的速度之和，所以扶梯共有（20+10）X54

8、50（級(jí)）。解：自動(dòng)扶梯每分鐘走（20X5-15X6）25）=10（級(jí)），自動(dòng)扶梯共有（20+10）X5150（級(jí)）。答：扶梯共有150級(jí)。例5某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊(duì)，每分鐘來(lái)的旅客人數(shù)一樣多。從開始檢票到等候檢票的隊(duì)伍消失，同時(shí)開4個(gè)檢票口需30分鐘，同時(shí)開5個(gè)檢票口需20分鐘。如果同時(shí)打開7個(gè)檢票口，那么需多少分鐘？分析與解：等候檢票的旅客人數(shù)在變化，旅客”相當(dāng)于草"，橙票口"相當(dāng)于牛”，可以用牛吃草問(wèn)題的解法求解。旅客總數(shù)由兩部分組成：一部分是開始檢票前已經(jīng)在排隊(duì)的原有旅客，另一部分是開始檢票后新來(lái)的旅客。設(shè)1個(gè)檢票口1分鐘檢票的人數(shù)為1份。因?yàn)?個(gè)檢票口3

9、0分鐘通過(guò)（4X30份，5個(gè)檢票口20分鐘通過(guò)（5X20份，說(shuō)明在（30-20）分鐘內(nèi)新來(lái)旅客（4X35X20淞，所以每分鐘新來(lái)旅客（4X305X20）+30-20）=2（份）。假設(shè)讓2個(gè)檢票口專門通過(guò)新來(lái)的旅客，兩相抵消，其余的檢票口通過(guò)原來(lái)的旅客可以求出原有旅客為（4-2）X30=60倏）或（5-2）X20=60倏）。同時(shí)打開7個(gè)檢票口時(shí)，讓2個(gè)檢票口專門通過(guò)新來(lái)的旅客，其余的檢票口通過(guò)原來(lái)的旅客，需要60+7-2）=12（分）。例6有三塊草地，面積分別為5,6和8公頃。草地上的草一樣厚，而且長(zhǎng)得一樣快第一塊草地可供11頭牛吃10天，第二塊草地可供12頭牛吃14天。問(wèn)：第三塊草地可供19頭

10、牛吃多少天？分析與解：例1是在同一塊草地上，現(xiàn)在是三塊面積不同的草地。為了解決這個(gè)問(wèn)題，只需將三塊草地的面積統(tǒng)一起來(lái)。5,6,8=120。因?yàn)?公頃草地可供11頭牛吃10天，120+524,所以120公頃草地可供11X24=264（頭）牛吃10天。因?yàn)?公頃草地可供12頭牛吃14天，120-620,所以120公頃草地可供12X20=240（頭）牛吃14天。120+815,問(wèn)題變?yōu)椋?20公頃草地可供19X15285（頭）牛吃幾天？因?yàn)椴莸孛娣e相同可忽略具體公頃數(shù)所以原題可變?yōu)閴K勻速生長(zhǎng)的草地可供264頭牛吃10天，或供240頭牛吃14天，那么可供285頭牛吃幾天？”這與例1完全一樣。設(shè)1頭牛1

11、天吃的草為1份。每天新長(zhǎng)出的草有(240X14264X10)14-(10)=180(份)。草地原有草(264180)X10=840(份)。可供285頭牛吃840+285180)=8(天)。所以，第三塊草地可供19頭牛吃8天。練習(xí)1 .一牧場(chǎng)上的青草每天都勻速生長(zhǎng)。這片青草可供27頭牛吃6周或供23頭牛吃9周。那么，可供21頭牛吃幾周？2 .一牧場(chǎng)上的青草每天都勻速生長(zhǎng)。這片青草可供17頭牛吃30天，或供19頭牛吃24天?，F(xiàn)有一群牛，吃了6天后賣掉4頭，余下的牛又吃了2天將草吃完，這群牛原來(lái)有多少頭？3 .經(jīng)測(cè)算，地球上的資源可供100億人生活100年，或可供80億人生活300年。假設(shè)地球新生成

12、的資源增長(zhǎng)速度是一定的，為使人類有不斷發(fā)展的潛力，地球最多能養(yǎng)活多少億人？4 .有一水池，池底有泉水不斷涌出。用10部抽水機(jī)20時(shí)可以把水抽干；用15部同樣的抽水機(jī)，10時(shí)可以把水抽干。那么，用25部這樣的抽水機(jī)多少小時(shí)可以把水抽干？5 .某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊(duì)，每分鐘來(lái)的旅客人數(shù)一樣多。如果同時(shí)開放3個(gè)檢票口，那么40分鐘檢票口前的隊(duì)伍恰好消失；如果同時(shí)開放4個(gè)檢票口，那么25分鐘隊(duì)伍恰好消失。如果同時(shí)開放8個(gè)檢票口，那么隊(duì)伍多少分鐘恰好消失？6 .兩只蝸牛由于耐不住陽(yáng)光的照射，從井頂逃向井底。白天往下爬，兩只蝸牛白天爬行的速度是不同的，一只每個(gè)白天爬20分米，另一只爬15分米。黑

13、夜里往下滑，兩只蝸?；械乃俣葏s是相同的。結(jié)果一只蝸牛恰好用5個(gè)晝夜到達(dá)井底，另一只蝸牛恰好用6個(gè)晝夜到達(dá)井底。那么，井深多少米？7 .兩位頑皮的孩子逆著自動(dòng)扶梯的方向行走。在20秒鐘里，男孩可走27級(jí)梯級(jí)，女孩可走24級(jí)梯級(jí)，結(jié)果男孩走了2分鐘到達(dá)另一端，女孩走了3分鐘到達(dá)另一端。問(wèn)：該扶梯共多少級(jí)？答案與提示8 .12周。解：設(shè)1頭牛1周吃的草為1份。牧場(chǎng)每周新長(zhǎng)草(23X-27X6)+9-6)=15(份)。草地原有草（27-15）X6=72倏），可供21頭牛吃72+Q1-15）=12（周）。9 .40頭。解：設(shè)1頭牛1天吃的草為1份。牧場(chǎng)每天新長(zhǎng)草（17X3019X24）30-24）=9（份）。草地原有草（179）X30=240份）。這群牛8天應(yīng)吃掉草240+9X8+4X320（份），所以這群牛有320+8=40頭）。10 70億。解：設(shè)1億人生活1年的資源為1份。地球每年新生成資源11 0X30000X100）+300-100）=70（份）。當(dāng)新生成的資源不少于每年消耗掉的資源時(shí)，地球上的資源才不致減少。所以地球最多能養(yǎng)活70億人。4.5時(shí)。解：設(shè)1部抽水機(jī)1時(shí)抽出的水為1份。水池中每小時(shí)涌出泉水（10X2015X10）+（20-10）=5（份）。水池中原有水（10-5）X20=100份）。25部抽水機(jī)抽干需100+25-5）=5（時(shí)）。5.10分。解：設(shè)1個(gè)檢票口1分鐘