線性代數(shù)行列式試題及答案

1、如何復(fù)習(xí)線形代數(shù)線性代數(shù)這門課的特點(diǎn)主要有兩個(gè)：一是試題的計(jì)算量偏大，無論是行列式、矩陣、線性方程組的求解，還是特征值、特征向量和二次型的討論都涉及到大量的數(shù)值運(yùn)算，稍有不慎，即會(huì)出錯(cuò)；二是前后內(nèi)容緊密相連，縱橫交織，既相對(duì)獨(dú)立又密不可分，形成了一個(gè)完整、獨(dú)特的知識(shí)體系. 在掌握好基本概念、基本原理和基本方法的前提下，下面談?wù)勗趶?fù)習(xí)過程中應(yīng)注意的一些問題.一、加強(qiáng)計(jì)算能力訓(xùn)練，切實(shí)提高計(jì)算的準(zhǔn)確性二、擴(kuò)展公式結(jié)論蘊(yùn)涵，努力探索靈活解題途徑三、注重前后知識(shí)聯(lián)系，努力培養(yǎng)綜合思維能力線性代數(shù)不僅概念多，公式結(jié)論多，而且前后知識(shí)聯(lián)系緊密，環(huán)環(huán)相扣，幾乎從任何一個(gè)知識(shí)點(diǎn)都可切入將前后知識(shí)聯(lián)系起來考查四

2、、加強(qiáng)綜合題型訓(xùn)練，全面系統(tǒng)地掌握好知識(shí)計(jì)算能力的提高不是一朝一夕的事，除了要不斷歸納總結(jié)一些重要公式和結(jié)論并加以巧妙、適當(dāng)?shù)膽?yīng)用外，還要靠平時(shí)的積累，要養(yǎng)成踏踏實(shí)實(shí)、有始有終將最后結(jié)果計(jì)算出來的習(xí)慣，只要持之以恒、堅(jiān)持練習(xí)，計(jì)算準(zhǔn)確性的提高并不是一件困難的事. 而對(duì)整個(gè)知識(shí)的融會(huì)貫通、綜合應(yīng)用也有賴于適當(dāng)?shù)囟嘧鲞@方面的練習(xí)，第一章 行列式一.概念復(fù)習(xí)1. 形式和意義形式:用n2個(gè)數(shù)排列成的一個(gè)n行n列的表格,兩邊界以豎線,就成為一個(gè)n階行列式: a11 a12 a1na21 a22 a2n .an1 an2 ann如果行列式的列向量組為a1, a2, ,an,則此行列式可表示為|a1, a2

3、, ,an|.意義:是一個(gè)算式,把這n2個(gè)元素按照一定的法則進(jìn)行運(yùn)算,得到的數(shù)值稱為這個(gè)行列式的值.請(qǐng)注意行列式和矩陣在形式上和意義上的區(qū)別.當(dāng)兩個(gè)行列式的值相等時(shí),就可以在它們之間寫等號(hào)! (不必形式一樣,甚至階數(shù)可不同.)每個(gè)n階矩陣A對(duì)應(yīng)一個(gè)n階行列式,記作|A|.行列式這一講的的核心問題是值的計(jì)算,以及判斷一個(gè)行列式的值是否為0.2. 定義(完全展開式)一般地,一個(gè)n階行列式 a11 a12 a1na21 a22 a2n an1 an2 ann的值是許多項(xiàng)的代數(shù)和,每一項(xiàng)都是取自不同行,不同列的n個(gè)元素的乘積,其一般形式為:,這里把相乘的n個(gè)元素的行標(biāo)按自然順序排列,它們的列標(biāo)j1j2

4、jn構(gòu)成1,2, ,n的一個(gè)全排列(稱為一個(gè)n元排列), 一個(gè)n元排列的總項(xiàng)數(shù)共有n!個(gè),因此n階行列式的值是n!項(xiàng)的代數(shù)和。所謂代數(shù)和是在求總和時(shí)每項(xiàng)先要乘+1或-1.規(guī)定t(j1j2jn)為全排列j1j2jn的逆序數(shù),全排列的逆序數(shù)即小數(shù)排列在大數(shù)右面的現(xiàn)象出現(xiàn)的個(gè)數(shù).逆序數(shù)可如下計(jì)算:標(biāo)出每個(gè)數(shù)右面比它小的數(shù)的個(gè)數(shù),它們的和就是逆序數(shù).例如求436512的逆序數(shù): , t(436512)=3+2+3+2+0+0=10.則項(xiàng)所乘的是即逆序數(shù)是偶數(shù)時(shí)，該項(xiàng)為正；逆序數(shù)是奇數(shù)時(shí)，該項(xiàng)為負(fù)；在一個(gè)n元排列的n!項(xiàng)中，奇排列和偶排列各有n!/2個(gè)。至此我們可以寫出n階行列式的值: a11 a12

5、a1na21 a22 a2n = an1 an2 ann 這里表示對(duì)所有n元排列求和.稱此式為n階行列式的完全展開式.用完全展開式求行列式的值一般來說工作量很大.只在有大量元素為0,使得只有少數(shù)項(xiàng)不為0時(shí),才可能用它作行列式的計(jì)算.3、對(duì)角行列式計(jì)算行列式中從左上角到右下角的對(duì)角線稱為主對(duì)角線.對(duì)角行列式,上三角、下三角行列式的值都等于主對(duì)角線上的元素的乘積。關(guān)于副對(duì)角線：4、代數(shù)余子式把n階行列式的第i行和第j列劃去后所得到的n-1階行列式稱為(i,j)位元素aij的余子式,記作Mij.稱Aij=(-1)i+jMij為元素aij的代數(shù)余子式.定理(對(duì)某一行或列的展開)行列式的值等于該行(列)

6、的各元素與其代數(shù)余子式乘積之和.5、化零降階法化零降階法 用行列式的性質(zhì)把行列式的某一行或列化到只有一個(gè)元素不為0,再用定理.于是化為計(jì)算一個(gè)低1階的行列式；或者直接把行列式化成三角行列式，化零降階法是實(shí)際計(jì)算行列式的主要方法,因此應(yīng)該熟練掌握.6、行列式的性質(zhì) 把行列式轉(zhuǎn)置值不變,即|AT|=|A| . 某一行(列)的公因子可提出.于是, |cA|=cn|A|. 對(duì)一行或一列可分解,即如果某個(gè)行(列)向量a=b+g ,則原行列式等于兩個(gè)行列式之和,這兩個(gè)行列式分別是把原行列式的該行(列)向量a換為b或g 所得到的行列式.例如|a,b1+b2,g |=|a,b1,g |+|a,b2,g |.

7、把兩個(gè)行(列)向量交換, 行列式的值變號(hào). 如果一個(gè)行(列)向量是另一個(gè)行(列)向量的倍數(shù),則行列式的值為0. 如果在行列式某一行、列的元素，加上另一行、列對(duì)應(yīng)元素的K倍，則行列式的值不變。某一行(列)的各元素與另一行(列)的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和=0.7.范德蒙行列式：形如 1 1 1 1 a1 a2 a3 an a12 a22 a32 an2 a1n-i a2n-i a3n-i ann-I 的行列式(或其轉(zhuǎn)置).它由a1,a2 ,a3,an所決定,它的值等于因此范德蒙行列式不等于0Û a1,a2 ,a3,an兩兩不同. 對(duì)于元素有規(guī)律的行列式(包括n階行列式),常?？衫眯?/p>

8、質(zhì)簡(jiǎn)化計(jì)算,例如直接化為三角行列式等. 8、克萊姆法則克萊姆法則 應(yīng)用在線性方程組的方程個(gè)數(shù)等于未知數(shù)個(gè)數(shù)n (即系數(shù)矩陣為n階矩陣)的情形.此時(shí),如果它的系數(shù)矩陣的行列式的值不等于0，則方程組有唯一解,這個(gè)解為(D1/D, D2/D,¼,Dn/D),這里D是系數(shù)行列式的值, Di是把系數(shù)行列式的第i個(gè)列向量換成常數(shù)列向量所得到的行列式的值。說明與改進(jìn):按法則給的公式求解計(jì)算量太大，沒有實(shí)用價(jià)值，因此法則的主要意義在理論上，用在對(duì)解的唯一性的判斷。法則的改進(jìn):系數(shù)行列式不等于0是非齊次線性方程組有唯一解的充要條件.用在齊次方程組上 :如果齊次方程組的系數(shù)矩陣A是方陣,則它只有零解的充

9、分必要條件是|A|¹0，或者表述為：如果齊次方程組有非0解，則它的系數(shù)行列式|A|=0。第四章可證明：|A|=0是齊次方程組有非0解的充要條件。例 題一. 填空題1. 四階行列式中帶有負(fù)號(hào)且包含a12和a21的項(xiàng)為_.解：a12a21a33a44中列標(biāo)排列為2134, 逆序?yàn)?. 該項(xiàng)符號(hào)為“”, 所以答案為2. 寫出四階行列式中含有因子的項(xiàng)。解：或3. 在五階行列式中=_.解：15423的逆序?yàn)?, 23145的逆序?yàn)?, 所以該項(xiàng)的符號(hào)為“”.4. 在函數(shù)中, x3的系數(shù)是_.解: x3的系數(shù)只要考察,所以x3前的系數(shù)為2.5. 行列式，的展開式中，的系數(shù)是 ，的系數(shù)是。解：利用

10、行列式的性質(zhì)，將含有變量的項(xiàng)移到主對(duì)角線上。將行列式的第2、3行交換，得（第1行加到第2列）含，的項(xiàng)僅有主對(duì)角線上元素乘積項(xiàng)，即所以，的系數(shù)分別是15，。6. 設(shè)a, b為實(shí)數(shù), 則當(dāng)a = _, 且b = _時(shí), .解：. 所以a = b = 0.7. 在n階行列式D = |aij|中, 當(dāng)i < j時(shí)aij = 0 (i, j =1, 2, , n), 則D = _.解: 8. 設(shè)A為3×3矩陣, |A| =2, 把A按行分塊為, 其中Aj (j = 1, 2, 3)是A的第j行, 則行列式_.解:二計(jì)算證明題1.計(jì)算以下行列式的值 2. 設(shè)a，b，c是互異的實(shí)數(shù)，證明：=0的充要條件是解：因?yàn)閍，b，c是互異的實(shí)數(shù)，所以。3. 設(shè)解：= = 所以 4. 計(jì)算n階行列式(n ³ 2).+ =+ + = 0當(dāng)5.設(shè)計(jì)算A41 + A42 + A43 + A44 = ?, 其中A4j(j= 1, 2, 3, 4)是|A|中元素a4j的代數(shù)余子式. 解：6.已知試求：（1）=（2）=解：（1）=0（2）解 ：根據(jù)第5、6題可以總結(jié)：代數(shù)余子式的性質(zhì)：、和的大小無關(guān)；、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代數(shù)余子式為0、某行（列）的元素乘以該行（列）元素的代數(shù)余子