四川省射洪縣射洪中學高二數(shù)學《2.5直線與圓錐曲線》教學過程一

1、用心愛心專心-1 -四川省射洪縣射洪中學高二數(shù)學2.5 直線與圓錐曲線教學過程一一、基本知識概要：1. 直線與圓錐曲線的位置關系：相交、相切、相離。從代數(shù)的角度看是直線方程和圓錐曲線的方程組成的方程組，無解時必相離；有兩組解 必相交；一組解時，若化為 x 或 y 的方程二次項系數(shù)非零，判別式=0 時必相切，若二次項系數(shù)為零，有一組解仍是相交。2.弦：直線被圓錐曲線截得的線段稱為圓錐曲線的弦。焦點弦：若弦過圓錐曲線的焦點叫焦點弦；通徑：若焦點弦垂直于焦點所在的圓錐曲線的對稱軸，此時焦點弦也叫通徑。3. 當直線的斜率存在時，弦長公式：I=心+疋憶x2=(1+疋廠&+x2)24x2】或當k存

2、在且不為零時,1+占卜1一 丫2,(其中(捲畀！ ), (X22)是交點坐標)拋物線y2=2px的焦點弦長公式|AB|=Xi X2 P二2p,其中a為過焦點的直線的sin 傾斜角。4. 重點難點：直線與圓錐曲線相交、相切條件下某些關系的確立及其一些字母范圍的確定。5. 思維方式：方程思想、數(shù)形結(jié)合的思想、設而不求與整體代入的技巧。6. 特別注意：直線與圓錐曲線當只有一個交點時要除去兩種情況，些直線才是曲線的切線。一 是直線與拋物線的對稱軸平行；二是直線與雙曲線的漸近線平行。二、例題：A。沒有交點B。只有一個交點C 。有兩個交點2 21 解：當 x0 時，雙曲線=1 的漸近線為:942 210

3、因94此直線與橢圓左半部分有一交點，共計3 個交點，選 D思維點拔注意先確定曲線再判斷。【例 2】已知直線l : y =tan(x 2-2)交橢圓x29y2=9于A、B 兩點，若為I的傾斜角，且AB的長不小于短軸的長，求 的取值范圍。解：將l的方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y, 得(1 9tan2_：i) x236 2 tan x 721 a：n 9 = 0【例 1】直線 y=x+3 與曲線y2x|x1D 。有三個交點y二 X,而直線 y=x+3 的斜率為 1,2用心愛心專心-2 -胚6ta n2a + 62 = 2(1 9tan : )1 9tan :-由A心得t屛以3,牛潮,.:-的取值范圍是0

4、,-6 IL6思維點拔對于弦長公式一定要能熟練掌握、靈活運用民。本題由于I的方程由tan給出,所以可以認定f，否則涉及弦長計算時，還要討論時的情況。2 2【例 3】已知拋物線y2二-x與直線y =k(x 1)相交于 A、B 兩點(1)求證：OA_OB(2)當OAB的面積等于.10時，求k的值。y2= x2(1) 證明：圖見教材 P127 頁，由方程組丫消去x后，整理得ky2+y-k = 0。y = k(x +1)設A(xyj, B(x2，y2)，由韋達定理得y“2=-1；A, B在拋物線y = -x上,2 2 2 2y1i X1,y2 -X2,y1y2 =X1X2(2)解：設直線與x軸交于N,

5、又顯然k =0,.令y =0,則x二-1,即N(1,0)=寸1晶1+y2)2-4%y2弓花)2+4二10,.10 =1一 4,解得k二丄2 k26思維點拔本題考查了兩直線垂直的充要條件，三角形的面積公式，函數(shù)與方程的思想，以 及分析問題、解決問題的能力?！纠?4】在拋物線 y2=4x 上恒有兩點關于直線 y=kx+3 對稱，求 k 的取值范圍。解設 B C 關于直線 y=kx+3 對稱，直線 BC 方程為 x=-ky+m 代入 y2=4x 得：AB =+ tan2a x2捲=Ji + tan2ayy2%y2- *-=-x1x2x-1x2二-1,. OA _ OBy1 72 S OAB=SOAN

6、 SOBN1 1 .=才。| +?|。業(yè)|匕刖卜-y2SOABSOABkOA用心愛心專心-3 -y +4ky-4m=0，設 B (x，yj、C (X2，y2)， BC 中點 M( x。，y)，貝U2y= (y+y?) /2=-2k。X0=2k +m用心愛心專心-4 -兩點， =16k2+16m0 把 m 代入化簡得32k 2k 3. 即(k 1)(k- k 3) o，kk解得-1k0思維點拔對稱問題要充分利用對稱的性質(zhì)特點。【例 5】已知橢圓的一個焦點 Fi（ 0，-2 ,2），對應的準線方程為 y=-92，且離心率 e 滿足:42/3，e，4/3 成等比數(shù)列。（1） 求橢圓方程；一 一 一1

7、一（2） 是否存在直線I，使I與橢圓交于不同的兩點M N,且線段 MN 恰被直線 x=- 平分。2若存在，求I的傾斜角的范圍；若不存在，請說明理由。2心21解依題意 e=2 23/八a29/2門石(1 ).-c=-2 , 2 =僅，又e=2-2a=3, c=2 .2, b=1，又 R (0, -22),c443對應的準線方程為 y=-乞上。橢圓中心在原點，所求方程為：42x2=191（2）假設存在直線I，依題意I交橢圓所得弦 MN 被 x=-丄平分，直線l的斜率存在。設直2(k29)x22kmx m2-9=0直線I與橢圓交于不同的兩點2 2即 m-k -90設 M (X1, yj、N (x2, y2)x1x2-km1,k2+9-m2k2922k把代入可解得：k3或k：3點 M（xo, yo）在直線上。2-2k (2k +m) +3,32k 2k 3m=-又 BC 與拋物線交于不同x21 消去 y,整理得9用心愛心專心-5 -思維點拔傾斜角的范圍，實際上是求斜率的范圍。三、課堂小結(jié)：1、 解決直線與圓錐曲線的位置關系問題時，對消元后的一元二次方程，必須討論二次項的系 數(shù)和判別式，有時借助于圖形的幾何性質(zhì)更為方便。2、涉及弦的中點問題，除利用韋達定理外，也可以運用點差法，但必須是有交點為前提，否 則不宜用此法。3、求圓錐曲線的弦長，可利用弦長公式I二持1 k2憶-X2（1