考研數(shù)學(xué)輔導(dǎo)中值定理的證明

1、第四講 中值定理的證明技巧一、 考試要求1、 理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最大值、最小值定理，有界性定理，介值定理），并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)。2、 理解并會(huì)用羅爾定理、拉格朗日中值定理、泰勒定理，了解并會(huì)用柯西中值定理。掌握這四個(gè)定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用（經(jīng)濟(jì)）。3、 了解定積分中值定理。 二、 內(nèi)容提要1、 介值定理（根的存在性定理） （1）介值定理 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值 M 與最小值m之間的任何值. （2）零點(diǎn)定理設(shè)f(x)在a、b連續(xù)，且f(a)f(b)0，則至少存在一點(diǎn),c(a、b)，使得f(c)=02、 羅爾定理若函數(shù)滿足：（1）在上連續(xù)（2）在內(nèi)可導(dǎo)（3）則一定存在使得3、 拉格朗

2、日中值定理若函數(shù)滿足：（1）在上連續(xù)（2）在內(nèi)可導(dǎo)則一定存在，使得4、 柯西中值定理若函數(shù)滿足:（1）在上連續(xù)（2）在內(nèi)可導(dǎo)（3）則至少有一點(diǎn)使得5、 泰勒公式如果函數(shù)在含有的某個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi)具有直到階導(dǎo)數(shù), 則當(dāng)在內(nèi)時(shí), 可以表示為的一個(gè)次多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng)之和，即其中 (介于與之間).在需要用到泰勒公式時(shí)，必須要搞清楚三點(diǎn)：1展開(kāi)的基點(diǎn)；2展開(kāi)的階數(shù)；3余項(xiàng)的形式其中余項(xiàng)的形式，一般在求極限時(shí)用的是帶皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式，在證明不等式時(shí)用的是帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式而基點(diǎn)和階數(shù)，要根據(jù)具體的問(wèn)題來(lái)確定6、利用中值定理解題的技巧（1）輔助函數(shù)的構(gòu)造微分中值定理通常用來(lái)證明一些等式、不等式及方程根的

3、存在性。在證明方程根的存在性和不等式時(shí)，經(jīng)常要構(gòu)造出一個(gè)輔助函數(shù)，輔助函數(shù)的構(gòu)造方法通常有三種：找原函數(shù)法；指數(shù)因子法；常數(shù)k值法。、方程根的存在性方程根的存在性，常用介值定理和羅爾定理來(lái)證明。這里著重講解羅爾定理。下面通過(guò)例題來(lái)給出三種構(gòu)造輔助函數(shù)的方法。、存在多個(gè)中間值的證明 有一類問(wèn)題，要證明存在兩個(gè)或兩個(gè)以上的中間值，滿足一定的等式，由于用一次中值定理只能找到一個(gè)中間值，故這類問(wèn)題通常至少要用兩次中值定理才能解決。（2）非構(gòu)造性的證明有一類證明題，在證明過(guò)程中，不需要構(gòu)造輔助函數(shù)，只需對(duì)原題中的函數(shù)進(jìn)行討論，稱這類問(wèn)題為“非構(gòu)造性的證明”。7、利用泰勒公式解題的技巧泰勒公式常用干處理與

4、高階導(dǎo)數(shù)相關(guān)的函數(shù)的性態(tài)研究，在解題方面，通常用于證明與中間值相聯(lián)系的不等式以及求函數(shù)極限。（1） 帶拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式本公式常用于證明與中間值相聯(lián)的不等式，其關(guān)鍵是注意泰勒公式中展開(kāi)點(diǎn)x0的選擇，通常選已知區(qū)間的端點(diǎn)、中間點(diǎn)或函數(shù)的極值點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)。這類題的特點(diǎn)是已知函數(shù)可導(dǎo)的階數(shù)比較高（二階以上），同時(shí)還有若干個(gè)已知的函數(shù)值或?qū)?shù)值。（2）帶皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式 帶皮亞諾型的泰勒公式較常用于函數(shù)極限的計(jì)算，尤其是對(duì)常規(guī)方法不好求時(shí)的極限，泰勒公式能有意想不到的作用。解題的關(guān)鍵是展開(kāi)式中項(xiàng)數(shù)的確定，即展開(kāi)到第幾項(xiàng)合適。8、 積分中值定理 若f(x)在a、b上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)c

5、a、b，使得f(x)dx=f(c)(b-a)三、 典型題型與例題題型一 、與連續(xù)函數(shù)相關(guān)的問(wèn)題（證明存在使或方程f(x)=0有根）例1、設(shè)在a,b上連續(xù)，證明存在 ，使得 例2、設(shè)在a,b上連續(xù)、單調(diào)遞增，且，證明存在 使得 例3、設(shè)在a,b上連續(xù)且，證明存在使得 。例4-1、設(shè)f(x)在0，1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，證明：例4、設(shè)在a,b上連續(xù)，證明存在使得 例5、 設(shè)f(x)在0,1上連續(xù)，且f(x)0,利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，證明存在一點(diǎn)使得 題型二、 驗(yàn)證滿足某中值定理例8、驗(yàn)證函數(shù)，在0，2上滿足拉格朗日中值定理，并求滿足定理的題型三、 證明存在, 使(n=1,2,) 例9、

6、設(shè)在a,b上可導(dǎo)且，證明至少存在一個(gè)使得例10、設(shè)在0,3上連續(xù)，在（0,3）內(nèi)可導(dǎo)，且，證明存在一個(gè)使得例11、設(shè)在0,2上連續(xù)，在（0，2）內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且，證明存在使得題型四、 證明存在, 使 (1) 用羅爾定理 1) 原函數(shù)法:例12、設(shè)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且，求證存在使得例13-1、設(shè)f(x)、g(x)在a,b上連續(xù)，(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)=f(b)=0，證明：（1）對(duì)于任意的，； （2）例13、（0134）設(shè)f(x)在0,1上連續(xù)，(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且 證明：在(0,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)x, 使 例14、 設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)f

7、(b)0,f(a) g(x)在a,b上連續(xù)，試證對(duì).*例15、 設(shè)f(x)在0，1上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)一階可導(dǎo)，且.試證：使得 . 2) 常微分方程法: 例16、設(shè)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且，證明存在使得例17、設(shè)f(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且 f(0)=0, f(1)=1, 證明：對(duì)任意實(shí)數(shù) , 使得 (2) 直接用拉格朗日或柯西中值定理例18、設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，求證存在，使得 例19、設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，求證存在，使得 例20、設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，求證存在，使得 例21、設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，求證存在，使得 例21-1、設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)

8、可導(dǎo)，且。若極限存在，證明：（1）在內(nèi)；（2）在內(nèi)存在，使；（3）在內(nèi)存在與（2）中相異的點(diǎn)，使 。（1）因存在，故又因（2）法一、設(shè)用柯西中值定理，于是，使即法二、設(shè)令在a,b上用羅爾定理即可。（3）因，在上應(yīng)用拉格朗日中值定理，知使從而由（2）的結(jié)論得；即 題型5、 含有(或更高階導(dǎo)數(shù))的介值問(wèn)題例22、 設(shè)f(x)在0,1上二階可導(dǎo)，且f(0)=f(1), 試證至少存在一個(gè), 使 例23、（012，8分）設(shè)在上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f(0)=0(1) 寫出f(x)的帶拉氏余項(xiàng)的一階麥克勞林公式。(2) 證明在上至少存在一個(gè)使得 例24、 設(shè)f(x)在1, 1上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(-1)=0, f(1)=1, f(0)=0, 證明: 在(-1,1)內(nèi)存在一點(diǎn)x，使得題型6、 雙介值問(wèn)題 例25、例1、設(shè)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，求證存在使得例26、（051，12分）已知函數(shù)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且證明：（1）存在，使得 （2）存在兩個(gè)不同的點(diǎn)使得題型7、 綜合題例27-1、f(x)在0,1連續(xù)，(0,1)可導(dǎo)，f(0)=0，f(1)=1，證明：對(duì)于任意的正數(shù)m1,m2，存在x1，x2(0,1)，使只需證故由介值定理，使下面只需證明由