西南交通大學(xué)第二學(xué)期概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末試題及解析

1、班 級(jí) 學(xué) 號(hào) 姓 名 密封裝訂線 密封裝訂線 密封裝訂線西南交通大學(xué)2016-2017學(xué)年第(二)學(xué)期期末試卷課程代碼 1271031 課程名稱 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)B（ A卷）考試時(shí)間 120分鐘 題號(hào)一二三四五六七總成績(jī)得分閱卷教師簽字（,;,0.0252(15)=27.488, 0.9752(15)=6.262, 0.0252(16)=28.845, 0.9752(16)=6.908, t0.025(15)=2.1314, t0.05(15)=1.7531, t0.025(16)=2.1199, t0.05(16)=1.7459）一、選擇題(6*4分=24分)1、設(shè)隨機(jī)變量，且滿足，則等于

2、（ ）。 2、設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量與分別服從正態(tài)分布與，則（ ）。 3、設(shè)隨機(jī)變量與的方差存在且不為0，則是和（ ）。（A）不相關(guān)的充分條件，但不是必要條件 （B）獨(dú)立的充分條件，但不是必要條件（C）不相關(guān)的充分必要條件 （D）獨(dú)立的充分必要條件4、在電爐上安裝了4個(gè)溫控器，其顯示溫度的誤差是隨機(jī)的，在使用過(guò)程中，只要有兩個(gè)溫控器顯示的溫度不低于臨界溫度，電爐就斷電。以表示事件“電爐斷電”，設(shè)為4個(gè)溫控器顯示的按遞增順序排列的溫度值，則事件等于事件（ ）。 5、將一枚硬幣重復(fù)拋次，以和分別表示正面向上和反面向上的次數(shù)，則和的相關(guān)系數(shù)等于（ ）。 6、設(shè)隨機(jī)變量，則（ ）。 二、解答題1、（

3、12分）在天平上重復(fù)稱一重為的物品，假設(shè)各次稱量結(jié)果相互獨(dú)立且同時(shí)服從正態(tài)分布。以表示次稱量結(jié)果的算術(shù)平均值，試求為使，樣本容量的最小值。2、（12分）某班車(chē)起點(diǎn)站上車(chē)人數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布，每位乘客在中途下車(chē)的概率為，且中途下車(chē)與否相互獨(dú)立。以表示中途下車(chē)的人數(shù)，求：（1）在發(fā)車(chē)時(shí)有個(gè)乘客的條件下，中途有人下車(chē)的概率；（2）二維隨機(jī)變量的概率分布。3、（12分）設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且都服從均值為0，方差為1/2的正態(tài)分布，試求隨機(jī)變量的方差。 4、（12分）假設(shè)一條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品合格率是0.8，要使一批產(chǎn)品的合格率達(dá)到在76%與84%之間的概率不小于90%，問(wèn)這批產(chǎn)品至少要生產(chǎn)多少

4、件？5、（14分）設(shè)某機(jī)床加工的零件長(zhǎng)度 XN(,2)， 今抽查16個(gè)零件，測(cè)得長(zhǎng)度(單位: mm)為: 12.15, 12.12, 12.01, 12.08, 12.09, 12.16, 12.03, 12.01, 12.06, 12.13, 12.07, 12.11, 12.08, 12.01, 12.03, 12.06, 試求: (1) 2 的置信度為95% 的置信區(qū)間; (2) 在5%的顯著性水平下，能否認(rèn)為該機(jī)床加工的零件長(zhǎng)度為12.10mm。6、（14分）設(shè)總體的概率密度為其中是未知參數(shù)，從總體中隨機(jī)地抽取簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，記 ，（1）求總體的分布函數(shù)；（2）求統(tǒng)計(jì)量的分布函數(shù)；（3）

5、如果用作為的估計(jì)量，討論它是否具有無(wú)偏性。一、選擇題(6*4分=24分)A,B,C, C, A,C 二、解答題1、（12分）在天平上重復(fù)稱一重為的物品，假設(shè)各次稱量結(jié)果相互獨(dú)立且同時(shí)服從正態(tài)分布。以表示次稱量結(jié)果的算術(shù)平均值，則為使，試求樣本容量的最小值。解：設(shè)第次稱量結(jié)果為，由題設(shè)知，相互獨(dú)立且同時(shí)服從正態(tài)分布，所以其算術(shù)平均值， (3分)于是 (6分)于是，查表得 ，即 。的最小值=16。 (3分)2、（12分）某班車(chē)起點(diǎn)站上車(chē)人數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布，每位乘客在中途下車(chē)的概率為，且中途下車(chē)與否相互獨(dú)立。以表示中途下車(chē)的人數(shù)，求：（1）在發(fā)車(chē)時(shí)有個(gè)乘客的條件下，中途有人下車(chē)的概率；（2）二

6、維隨機(jī)變量的概率分布。解：（1）因?yàn)槊课怀丝椭型鞠萝?chē)與否相互獨(dú)立，中途下車(chē)的概率為，在發(fā)車(chē)時(shí)有個(gè)乘客的條件下，中途有人下車(chē)的概率為條件概率，再根據(jù)重貝努利概型可得： (6分) （2）因?yàn)?，其概率分布?，于是二維隨機(jī)變量的概率分布為： (6分)3、（12分）設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且都服從均值為0，方差為1/2的正態(tài)分布，試求隨機(jī)變量的方差。解：令隨機(jī)變量，因?yàn)榕c相互獨(dú)立且同分布，則 (4分)所以， (8分) 4、（12分）假設(shè)一條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品合格率是0.8.要使一批產(chǎn)品的合格率達(dá)到在76%與84%之間的概率不小于90%，問(wèn)這批產(chǎn)品至少要生產(chǎn)多少件？【解】令而至少要生產(chǎn)n件，則i=1,2

7、,n,且X1，X2，Xn獨(dú)立同分布，p=PXi=1=0.8.現(xiàn)要求n,使得即 (8分)由中心極限定理得整理得查表n270.60, 故取n=271. (4分) 5、（14分）設(shè)某機(jī)床加工的零件長(zhǎng)度 XN(,2)， 今抽查16個(gè)零件，測(cè)得長(zhǎng)度(單位: mm)為: 12.15, 12.12, 12.01, 12.08, 12.09, 12.16, 12.03, 12.01, 12.06, 12.13, 12.07, 12.11, 12.08, 12.01, 12.03, 12.06, 試求: (1) 2 的置信度為95% 的置信區(qū)間; (2) 在5%的顯著性水平下，能否認(rèn)為該機(jī)床加工的零件長(zhǎng)度為12

8、.10mm。解：由數(shù)據(jù)計(jì)算得: x=12.075, s2=0.00244, s=0.049396,置信水平 1-=0.95, n=16, /22(n-1)=0.0252(15)=27.488, 1-/22(n-1)=0.9752(15)=6.262,則 2 的置信水平為0.95的區(qū)間估計(jì)為(n-1)s2/22(n-1),(n-1)s21-/22(n-1)=15×0.0024427.488,15×0.002446.262=0.0013,0.0058 (7分)本問(wèn)題是方差未知的條件下, =12.10 的假設(shè)檢驗(yàn)，故a) H0:=12.10, H1:12.10b) =0.05, n=16c) T=X-12.1S/nt(n-1)d) H0 的拒絕域?yàn)閨T|=X-12.1S/16t0.025(15)=2.1314e) 故|t|=x-12.1s/16=12.075-12.10.049396/4=2.02444<2.1314所以接受H0, 即認(rèn)為該機(jī)床加工的零件長(zhǎng)度為12.10mm。 (7分)6、（14分）設(shè)總體的概率密度為其中是未知參數(shù)，從總體中隨