第2章連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析

1、第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 2.1 LTI系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與傳輸算子系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與傳輸算子 2.2 LTI系統(tǒng)的算子符號表示與傳輸算子系統(tǒng)的算子符號表示與傳輸算子 2.3 LTI因果系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)因果系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) 2.4 LTI因果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)因果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) 2.5 卷積及其性質(zhì)卷積及其性質(zhì) 2.6 LTI因果系統(tǒng)的全響應(yīng)及其分解因果系統(tǒng)的全響應(yīng)及其分解 第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 2.1 LTI系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與傳輸算子系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與傳輸算子 2.1.1 建立

2、LTI系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 有兩類建立系統(tǒng)模型的方法， 一是輸入輸出描述法， 二是狀態(tài)變量描述法。 本章只討論輸入輸出描述法。 用這種描述法， 連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是常系數(shù)線性微分方程； 離散時間LTI系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是常系數(shù)線性差分方程（將在第五章討論）。 由具體電路模型可以討論系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立。 第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 圖 2.1-1 RLC串聯(lián)電路CF61iL(0)R5 i(t)e(t)L1 H第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 例2.1-1 如圖2.1-1所示的RLC串聯(lián)電路， e(t)為激勵信號， 響應(yīng)為i(t)， 試寫出其微

3、分方程。 解 這是有兩個獨立動態(tài)元件的二階系統(tǒng)， 利用KVL定理列回路方程， 可得)()(1)()(teiCtidtdLtRti第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 上式是一個微、 積分方程， 對方程兩邊求導(dǎo)， 并代入系數(shù)， 整理為)()(6)(5)(22tedtdtitidtdtidtd這是二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型二階線性微分方程。 第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 一般有n個獨立的動態(tài)元件組成的系統(tǒng)就是n階系統(tǒng)(或n個一次線性微分方程組)。 一般電路系統(tǒng)的階數(shù)等于獨立的uC(t)與iL(t)的個數(shù)之和， 其中獨立的uC(t)不能用其它uC(t)(可含電

4、源)表示； 獨立的iL(t)不能用其它iL(t)(可含電源)表示。 第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 例2.1-2 如圖2.1-2所示電路， 判斷系統(tǒng)階數(shù)。 圖 2.1-2 例2.1-2電路 C2R1f (t)C1R2C1C2C3f (t)R1R2(a)(b)第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 解 (1) R1i1(t)+uC1(t)+uC2(t)=e(t)， uC2(t)=uR2(t)， 有兩個獨立的uC(t)， 所以該系統(tǒng)是二階系統(tǒng)。 (2) uC1(t)=uC2(t)+uC3(t)， 是通過其它uC(t)表示的， 是非獨立的uC(t)； 但u

5、C2(t)uC3(t)， 有兩個獨立的uC(t)， 所以該系統(tǒng)也是二階系統(tǒng)。 第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 2.1.2 系統(tǒng)微分方程求解經(jīng)典法 一般n階LTI系統(tǒng)的微分方程為)()()()()()()()(111101111tfbtfdtdbtfdtdbtfdtdbtyatydtdatydtdatydtdmmmmmmnnnnnn第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 初始條件為y(0+), y(0+), , yn-1(0+)。 由上式可得系統(tǒng)的特征方程為 n+a1n-1+.+a n-1+an=0 (-1)(-2).(-n)=0 (2.1-1)由特征

6、方程可求得特征根。 第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 假設(shè)特征根均為單根1、2、.、n， 由其得到通解yh(t)的一般形式tinihieCty1)( (2.1-2) 式中i為特征根。 第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 微分方程特解的形式與激勵形式相同， 如表2-1所示， 代入原方程中得到具體系數(shù)。 微分方程的解由通解與特解兩部分組成， 即完全解為)()()()(1tyeCtytytyptiniphi(2.1-3) 由n個初始條件y(0+), y(0+), ., yn-1(0+)確定n個Ci系數(shù)。 第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時

7、域分析 這種由通解與特解求解系統(tǒng)響應(yīng)的方法稱為經(jīng)典法， 注意到“高等數(shù)學(xué)”給出的初始條件一般是全響應(yīng)(第一類)標(biāo)準初始條件y(0+), y(0+), ., yn-1(0+)。 用經(jīng)典法求解線性微分方程是高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容， 本書不再詳述。 第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 表2-1 典型激勵對應(yīng)的特解 第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 2.2 LTI系統(tǒng)的算子符號表示與傳輸算子系統(tǒng)的算子符號表示與傳輸算子 2.2.1 用算子符號表示微分方程 n階LTI系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是n階常系數(shù)線性微分方程。 式(1.6-6)給出n階線性微分方程的一般形式書寫起來不方

8、便， 為了形式上簡潔， 可以將微、 積分方程中的微、 積分運算用算子符號p與1/p表示， 由此得到的方程稱為算子方程。 第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 微分算子 xdtdxpdtdpxdtdpxdtdpnnnnnn, (2.2-1) (2.2-2) 積分算子 xdxpdptt1,()1(2.2-3)第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 這樣， 例2.1-1電路的微分方程可以表示為 p2i(t)+5pi(t)+6i(t)=pe(t) 式(1.6-6)的n階線性微分方程可以用算子表示為 a0pny(t)+a1pn-1y(t)+.+an-1 py(t)+

9、any(t) =b0pmf(t)+b1pm-1f(t)+.+bm-1 pf(t)+bmf(t) (2.2-4)第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 式(2.2-4)是算子方程。 算子方程中的每一項表示的是運算關(guān)系， 而不是代數(shù)運算。 模仿代數(shù)運算， 還可以將上式簡化為 (a0pn+a1pn-1+.+an-1p+an)y(t) = (b0pm+b1pm-1+.+bm-1p+bm)f(t) (2.2-5) 若再令 D(p)=a0pn+a1pn-1+.+an-1p+ao (2.2-6a) N(p)=b0pm+b1pm-1+.+bm-1p+bm (2.2-6b)第第2章章 連續(xù)時間

10、系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 則稱D(p)、 N(p)為算子多項式， 式(2.2-5)可進一步簡寫為 D(p)y(t)=N(p)f(t) (2.2-7) 式(2.2-7)是n階線性微分方程的算子方程。 在這里， 我們利用了提取公因子的代數(shù)運算規(guī)則。 式(2.2-7)還可以進一步改寫為)()()()(tfpDpNty(2.2-8)第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 式中分母多項式D(p)表示對輸出y(t)的運算關(guān)系， 分子多項式N(p)表示對輸入f(t)的運算關(guān)系， 而不是兩個多項式相除的簡單代數(shù)關(guān)系。 算子表示的是微、 積分運算， 因此代數(shù)運算規(guī)則不能簡單照套，

11、下面具體討論算子的運算規(guī)則。 第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 (1) 可進行類似代數(shù)運算的因式分解或因式相乘展開。 (p+a)(p+b)x=p2+(a+b)p+abx (2.2-9) 證 xabpbapabxdtdxadtdxbdtxdbxdtdxabxdtdxdtdbxdtdxadtdxbdtdadtdxbpap)()(222第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 這樣例2.1-1的算子方程(p2+5p+6)i(t)=pe(t)還可以表示為 (p+2)(p+3)i(t)=pe(t)第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 (2) 算

12、子方程左、 右兩端的算子符號p不能隨便消去。 由 ， 解出x=y+C而不是x=y， 兩者相差一個任意常數(shù)C， 所以不能由px=py得到x=y， 即px=py， 但xy。 這一結(jié)論可推廣到一般的算子方程： D(p)x=D(p)y， 但xy dtdydtdx第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 (3) p、 1/p位置不能互換。xpxptxxdtdpxppxpxppt1)()(111因為 所以 (2.2-10) 而 )()()()(1txxxdxddpxpt第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 因此 xpxp1(2.2-11) 式(2.2-10)、 (2.2

13、-11)分別說明， 形式上先“除”后“乘”即先積分后微分的運算次序， 算子可消去； 形式上先“乘”后“除”即先微分后積分的運算次序， 算子不可消去。 第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 2.2.2 用算子電路建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型 利用算子電路建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型比較方便， 這種方法簡稱算子法。 它是先將電路中所有動態(tài)元件用算子符號表示， 得到算子電路； 再利用廣義的電路定律， 建立系統(tǒng)的算子方程； 最后將算子方程轉(zhuǎn)換為微分方程。 電感的算子表示可由其電壓電流關(guān)系得到， 因為 )()()(tLpitidtdLtLLL (2.2-12)第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的

14、時域分析 式中, Lp是電感算子符號， 可以理解為廣義的電感感抗值， 式(2.2-12)可以理解為廣義歐姆定律。 同理， 由電容上的電壓電流關(guān)系得到 )(1)(1)(tiCpiCtCCtC (2.2-13) 第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 式中, 1/Cp 是電容算子符號， 可以理解為廣義的電容容抗值， 式(2.2-13)也可以理解為廣義歐姆定律。 將動態(tài)元件用算子符號表示， 可以得到算子電路。 下面舉例說明由算子電路列寫系統(tǒng)的微分方程的方法。 第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 圖 2.2-1 例2.2-1的算子電路pCp61R5 i(t)e(

15、t)Lp p第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 例 2.2-1 如圖2.2-1所示RLC串聯(lián)電路， 輸入為e(t)， 輸出為電流i(t), 用算子法列出算子方程與微分方程。 解 將圖2.2-1中的電感、 電容用算子符號表示， 得到算子電路如圖2.2-2所示， 利用廣義的KVL, 列出算子方程式 )()()65(tetipp兩邊同時作微分運算（ “前乘”p）， 得算子方程 (p2+5p+6)i(t)=pe(t)第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 由上面的算子方程寫出微分方程為)()(6)(5)(22tedtdtitidtdtidtd 結(jié)果與例2.1-1

16、相同。 第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 例 2.2-2 如圖2.2-2(a)電路， f(t)為激勵信號， 響應(yīng)為i2(t)， 試用算子法求其算子方程與微分方程。 解 將圖2.2-2(a)中的電感用算子符號表示如圖2.2-2(b)所示， 利用廣義網(wǎng)孔法列出兩個算子方程 (3p+1)i1(t)-pi2(t)=f(t) -pi1(t)+(p+3)i2(t)=0 第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 利用克萊姆法則， 解出 2/35)(21) 3102()(3130)(13)(222pptpfpptpfppppptfpti由式(2.2-6)與(2.2-7)

17、， 可寫成 (p2+5p+3/2)i2(t)=0.5pe(t)微分方程為)(5 . 0)(5 . 1)(5)(22tfdtdtytydtdtydtd第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 也可以寫成 y(t)+5y(t)+1.5y(t)=0.5f(t) 第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 圖 2.2-2 例2.2-2電路與算子電路 i1(t)i2(t)1 Hf (t)1 1 2 y (t)i1(t)i2(t)f (t)1 1 2 y(t)2pp(a)(b)2 H第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 例 2.2-3 如圖2.2-3(a)

18、所示電路輸入為e(t)， 輸出為i1(t)、 i2(t)， 用算子法求其算子方程與微分方程。 已知L1=1 H， L2=2 H， R1=2 ， R2=1 ， C=1 F。第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 圖 2.2-3 例2.2-3電路與算子電路i1(t)i2(t)e(t)R1R2CL2L1i1(t)i2(t)e(t)p1/p2p(a)(b)2 1 第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 解 將圖2.2-3中的電感、 電容分別用算子符號表示如圖2.2-3(b)所示， 利用廣義網(wǎng)孔法,列算子方程組0)() 112()(1)()(1)()21(2121ti

19、pptiptetiptipp第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 為避免在運算過程中出現(xiàn)p/p因子， 可先在上面的方程組兩邊同時作微分運算, 即“前乘”p（當(dāng)分子分母同時出現(xiàn)p時可約）， 得到 (p2+2p+1)i1(t)-i2(t)=pe(t) -i1(t)+(2p2+p+1)i2(t)=0 第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 利用克萊姆法則， 解出)(355212) 3552()() 12(121111201)()(2322322221tepppppppppteppppppppptpeti第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 由

20、式(2.2-6)與(2.2-7)， 可得 (2p3+5p2+5p+3)i1(t)=(2p2+p+1)e(t) 微分方程為)()()(2)(3)(5)(5)(22211122133tetedtdtedtdtitidtdtidtdtidtd第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 用相同的方法， 可以得到 )()() 3552(3552)() 3552()(1) 13552()(12111120)(1)(223232323422222tetipppppptepppptpepppptpepppppptpeppti第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 微分方程為 )

21、()(3)(5)(5)(222222233tetitidtdtidtdtidtd第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 2.2.3 傳輸（轉(zhuǎn)移）算子H(p) 由式(2.2-8)有)()()()(tfpDpNty我們定義傳輸（轉(zhuǎn)移）算子H(p)為)()()(pDpNtH (2.2-14)這樣， 系統(tǒng)的輸出可以表示為 y(t)=H(p)f(t) (2.2-15)第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 例2.2-4 求例2.2-1激勵為e(t)， 響應(yīng)為i(t)的系統(tǒng)傳輸算子H(p)。 解 例2.2-1的算子方程為 (p+2)(p+3)i(t)=pe(t) 則由

22、得到 ) 3)(2()()() 3)(2()(ppppHtepppti第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 例 2.2-5 求例2.2-2激勵為f(t)， 響應(yīng)為i2(t)的系統(tǒng)傳輸算子H(p)。 解 例2.2-2的算子方程為 (p2+5p+3/2)i2(t)=0.5pe(t) 則由2/355 . 0)()(2/355 . 0)(222ppppHtfpppti得到 第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 例2.2-6 求例2.2-3激勵為f(t)， 響應(yīng)為i1(t)時的系統(tǒng)傳輸算子H1(p)； 激勵為f(t)， 響應(yīng)為i2(t)時的系統(tǒng)傳輸算子H2(p)。

23、 解 由 35521)()(355212)()(355212)(23223212321ppppHteppppppHtepppppti可得 第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 我們注意到此例H1(p)與H2(p)的分母多項式相同。 由H(p)的定義， 不難看出系統(tǒng)傳輸算子的分母多項式是系統(tǒng)的特征多項式。 它僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、 參數(shù)有關(guān)， 與激勵以及激勵加入的端口無關(guān)。 所以同一系統(tǒng)， 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、 參數(shù)一定， 無論激勵以及激勵加入的端口如何改變， 其傳輸算子的分母多項式都不會改變。 第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 2.3 LTI因果系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)因

24、果系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) 2.3.1 零輸入響應(yīng) 零輸入響應(yīng)與激勵無關(guān)， 其數(shù)學(xué)模型是齊次微分方程。 將f(t)=0， 代入式(2.2-7)的算子方程， 得到 D(p)y(t)=0 (2.3-1) 式(1.9-1)中D(p)是系統(tǒng)的特征多項式， D(p)=0是系統(tǒng)的特征方程， 使D(p)=0的值是特征方程的根， 稱為系統(tǒng)的特征根。 第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 首先討論一階齊次微分方程的一般情況， 再討論二階齊次微分方程的一般情況， 最后是n階齊次微分方程的一般情況。 一階齊次微分方程為 (p-)y(t)=0 y(0-) (2.3-2) 第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析

25、連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 由系統(tǒng)的特征方程p- =0， 得特征根p= ， 其解（零輸入響應(yīng)）的一般形式為 y(t)=y(0-)e t t0 (2.3-3) 由式(2.3-3)可知， 此時解的一般模式取決于特征根 ， 而解的系數(shù)由初始條件確定。 二階齊次微分方程的一般算子形式為 (p2+a1p+a0)y(t)=0 y(0-), y(0-) (2.3-4) 第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 由p2+a1p+a0=(p-1)(p-2)=0， 得到二階系統(tǒng)的兩個特征根1、2。 與一階齊次微分方程相同， 二階齊次微分方程解的模式取決于兩個特征根1、2， 其表達式為 (2.3-5)0

26、)(2121teCeCtytt式中, 系數(shù)C1、 C2由兩個初始條件y(0-)、y(0-)確定。 第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 y(0-)=C1+C2 y(0-)=1C1+2C2 (2.3-6) 解此方程組， 求出C1、C2， 從而確定了二階系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。 以上是二階系統(tǒng)特征根不同的情況， 如果p2+a1p+a0=(p-)2=0， 特征根相同， 則是二階重根， 此時二階齊次微分方程解的形式為 y(t)=C1et+C2tet t0 (2.3-7)第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 系數(shù)C1、 C2仍由兩個初始條件y(0-), y(0-)確定

27、y(0-)=C1 y(0-)=C1+C2 n階齊次微分方程的算子形式為 (pn+an-1pn-1+.+a1p+a0)y(t)=0 y(0), y(0)y(0), ., yn-1(0) (2.3-8)第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 式中， y(0), y(0), y(0), ， yn-1(0)為第二類標(biāo)準初始條件。由特征方程 D(p)=pn+an-1pn-1+.+a1p+a0 =(p-1)(p-2).(p-n)=0 得到n個特征根1、 2、 .、n， n階齊次方程解的模式取決于這n個特征根， 表達式為0)(12121yCieeCeCeCtynittnttin(2.3-9

28、) n個系數(shù)C1、C2、.、Cn由n個初始條件y(0)、y(0)y(0)、.、yn-1(0)確定。 第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 y(0)=C1+C2+.+Cn y(0)=1C1+2C2+.+nCn yn-1(0)=1n-1C1+2n-1 C2+.+nn-1Cn (2.3-10)第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 式(2.3-10)可用矩陣形式表示為421112114211111)0()0()0(CCCyyynnnnn(2.3-11) 第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 常數(shù)C1、.、Cn可用克萊姆法則解得， 或用逆矩陣表

29、示為)0()0()0(111111211421421nnnnnyyyCCC第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 例2.3-1 已知系統(tǒng)的傳輸算子H(p)= 2p/(p+3)(p+4) ， 初始條件yzi(0)=1， ， 試求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。 解 特征根1=-3, 2=-4 由式(2.3-8)， 零輸入響應(yīng)形式為 yzi(t)=C1e-3t+C2e-4t t0 將特征根及初始條件y(0)=1， y(0)=2代入式(2.3-6) 1=C1+C2 2=-3C1-4C2 2)0(ziy)4)(3(2)(ppppH 解出 C1=6 C2=-5 yzi(t)=6e-3t-5e-4t

30、t0 第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 例2.3-2 已知電路如圖2.3-1所示， 開關(guān)K在t=0時閉合， 初始條件i2(0-)=0， i2 (0-)=-1 A/s。 求零輸入響應(yīng)i2(t)。 解 先求e(t)i2(t)時的H(p) 0) 11()() 1(2121ipiteiip (p+1)i1-i2=e(t) -pi1+(p+1)i2=0 第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 圖 2.3-1 例2.3-2電路i1(t)i2(t)e(t)K1 1Ft 01H第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 tjtjizeCeCtijpjpp

31、ppDppppHpptpepppptepi)2321(2)2321(122222)()2321)(2321(1)(1)(1)(1110)(1第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 32321)2321()2321()0()0(21212212jCjCCjCjiCCi解出 第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 代入初始條件 023sin322323131)(21232321)2321()2321(2ttejeeeejejtittjtjttjtjzi第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 2.3.2 初始條件標(biāo)準化 第一類標(biāo)準初始條件y(0+

32、)、y(0+)、.、yn-1(0+)是全響應(yīng)初始條件。 它包含兩部分： 標(biāo)準零輸入初始條件yzi(0+)、 yzi (0 +)、 .、 yn-1zi(0+)， 以及標(biāo)準零狀態(tài)初始條件yzs(0+)、 yzs (0+)、 .、 yn-1zs(0+)。 利用電容電壓及電感電流一般不會突變， 即 iL(0-)=iL(0+)、 vC(0-)=vC(0+)， 以及具體電路方程， 可將系統(tǒng)的非標(biāo)準初始條件轉(zhuǎn)變?yōu)闃?biāo)準化初始條件。 下面舉例說明如何將初始條件標(biāo)準化。第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 圖 2.3-2 例2.3-3電路第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析

33、 例2.3-3 已知電路如圖2.3-2， 且iL(0-)=1 A， vC(0-)=10 V， 求izi(t)。 解) 3)(2()(65)()()()()65()()()65(22ppppHpptpftitpftipptftipp第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 D(p)=(p+2)(p+3), 1=-2, 2=-3 izi(t)=C1e-2t+C2e-3t t0 標(biāo)準初始條件應(yīng)為izi(0+)與izi(0+)， 這需要將非標(biāo)準的初始條件iL(0-)=1 A， vC(0-)=10 V標(biāo)準化， 即要將iL(0-)、vC(0-)轉(zhuǎn)變?yōu)橥耆憫?yīng)的初始條件i(0+)、 i(0+

34、)。 因為i(t)=iL(t)， 并且電感電流一般不會突變，所以有iL(0-)=iL(0+)=i(0+)=1 A； 而i(0+)就要由0+電路解出， 列0+電路方程為)()()()(5tfttidtdtiC第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 令t=0+代入上式， 得 5i(0+)+i(0+)+vC(0+)=0 將vC(0-)=vC(0+)， 且f(t)=0代入上式， 有 5+10+i(0+)=0 由上式解得標(biāo)準初始條件為i(0+)=1 A及 i(0+)=-15 A/s， 解出131215321213121CCCCCC第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析

35、 代入izi(t)得到 izi(t)=-12e-2t+13e-3t t0第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 圖 2.3-3 例2.3-4電路 第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 例2.3-4 電路如圖2.3-3所示， 已知iL(0-)=1 A， vC(0-)=1 V， 求i2zi(0+)， i2zi (0+), i2zi(t)。 解 此題也有非標(biāo)準化初始條件轉(zhuǎn)化為標(biāo)準化初始條件的問題。 由回路方程組： 0)()()()(21211tiiRteiiRidtdLC第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 將e(t)=0、 t=0+、 i1

36、=iL以及R、 L、 C參數(shù)值代入， 得到 i1 (0+)+i1(0+)-i2(0+)=0 (A) -i1(0+)+i2(0+)+vC(0+)=0 (B) 第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 由式(A)， i2(0+)=i1(0+)-vC(0+)=0, 代入式(B) i1 (0+)+i1(0+)=0 i1 (0+)=-i1(0+)=-1 A/s 對式(B)求導(dǎo) -i1 (0+)+i2 (0+)+vC (0+)=0第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 因為 ， 代入上式)0(0)0(|20CtCidtdCsAiii/1)0()0()0()0(112得到標(biāo)

37、準化初始條件： sAii/10)0(22，與例2.3-2的標(biāo)準化初始條件相同， 解得結(jié)果相同， 不再重復(fù)。 第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 例2.3-5 電路如圖2.3-4(a)所示， 開關(guān)在t=0時， 由“1”到“2”。 求i(0)， i(0)及電流i(t)的零輸入響應(yīng)。 解 圖2.3-4(a)是有兩個動態(tài)元件的二階系統(tǒng)， 其中AuAiCL2 . 1562354)0(8 . 0545 . 112)0(第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 圖 2.3-4 例2.3-5電路2Kt 0f2(t) 2 Vf1(t) 4 V1FiC(t)iL(t)H412

38、3i(t)f1(t) 4 Vi(t)iC(t)(a)(b)1 i1(t)i2(t)p41231 p1第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 換路后的算子電路如圖2.3-4(b)所示。 列網(wǎng)孔算子方程 0)25. 05 . 11 ()() 1(0)25. 05 . 11(1)(1)11 (22112121121ippitpfiipipiptfipip整理 第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 將i1(t)=i(t)代入上式， 解得)5 . 25 . 125. 0()() 15 . 125. 0(1) 15 . 125. 0)(1()() 15 . 125.

39、0(25. 05 . 1111125. 05 . 1101)(2122122211ppptfpppppptfpppppppptpfi第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 因是二階系統(tǒng)， 所以0)()5)(2(46107465 . 275. 125. 015 . 125. 0)(522122222teCeCtypppppppppppppHttzi 因為所給出的是非標(biāo)準初始條件， 所以要將非標(biāo)準初始條件轉(zhuǎn)化為標(biāo)準初始條件。 初始值等效電路如圖2.3-5所示（電容相當(dāng)于短路， 電感相當(dāng)于開路）。 第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 圖 2.3-5 例2.3-

40、5零輸入等效電路第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 由圖2.3-5可得 )0()0()0(2 . 1)0()0(11ziCCCziiRdtdCdtdCiARi第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 所以 sAiiCRdtdiLzizi/2)0()0(1)0(1由 izi(0+)=C1+C2=-1.2 izi (0+)=-2C1-5C2=2 第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 解出 1523421CC 最后 0)15234()(52tAeetittzi第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 以上初始條件標(biāo)準化是電容電

41、壓及電感電流不會突變的一般情況， 對電容電壓及電感電流有突變（電容電流或電感電壓有沖激信號時）的特例， 可利用電荷守恒與磁鏈守恒定理進行標(biāo)準化的工作， 有興趣的讀者可參閱有關(guān)書籍。 第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 2.4 LTI因果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)因果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) 2.4.1 單位沖激響應(yīng)h(t) 輸入為單位沖激信號(t)時， 系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)定義為單位沖激響應(yīng)， 簡稱沖激響應(yīng)， 記為h(t)， 如圖2.4-1所示。 h(t)由傳輸算子表示為 h(t)=H(p)(t) (2.4-1a) 或記為 (t)h(t) (2.4-1b)第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)

42、時間系統(tǒng)的時域分析 圖 2.4-1 單位沖激響應(yīng) H(p)(t)h(t)第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 n階線性系統(tǒng)的傳輸算子為 01110111)(apapapbpbpbpbpHnnnmmmm(2.4-2) 為分析簡便， 更突出求解單位沖激響應(yīng)的基本方法， 假設(shè)H(p)的分母多項式D(p)均為單根， 將分母多項式D(p)分解， 并代入式(2.4-1a)， 得到第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 將其展開為部分分式之和)()()()()(21tppppNthn)()()()()()()(1122112211thtpktpktpktpktpkpkp

43、kthiniiininnnn(2.4-3a) (2.4-3b) 第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 式中 )()(tpkthiii(2.4-3c) 式(2.4-3b)中的系數(shù)k1kn由待定系數(shù)法確定， 上式表明一個n階系統(tǒng)可以分解為n個一階子系統(tǒng)之和。 首先討論一階系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)的一般表示， 再將結(jié)果推廣至高階系統(tǒng)。 式(2.4-3c)是一階子系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)的算子表示。 由式(2.4-3c)，分別得到一階系統(tǒng)的算子方程及微分方程為第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 對式(2.4-4b)的微分方程求解， 先在式(2.4-4b)的等式兩邊同時乘以

44、 )()()()()()(tkthdttdhtkthpiiiiiii (2.4-4a)(2.4-4b) tietitiiitiiietkethdttdhe)()()(第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 得到了hi(t) 的全微分， 即tie)( )()(tkhethedtdiiitii對上式兩邊同時積分 )(_)0()()(| )()( )(_0_0_0tukhthetukhedkdheiiitititiitiii第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 由于因果系統(tǒng)的hi(0-)=0， 因此一階子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的一般項為)()()(tukiethpkpHt

45、iiiii(2.4-5) 代入式(2.4-3b)， 得到n階系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為)()()()(1211211tuektuekekekththtinitnttinin(2.4-6) 第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 例2.4-1 求例2.2-2系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)h(t)。 解 例2.2-2的傳輸函數(shù)由待定系數(shù)法分解為 3322) 3)(2()(ppppppH利用式(2.4-5)， 可得 h(t)=(3e-3t-2e-2t)u(t)第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 圖 2.4-2 例2.4-2電路 第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域

46、分析 例2.4-2 如圖2.4-2所示電路， 輸入為電流源i(t)， 輸出為電容電壓vC(t)， 試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。 解 由廣義KCL列算子節(jié)點方程)(107)7(10)()(1 . 071)()()(1 . 07)()()()(2tipppttippttitppttititiCCCCCL第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 )()320350()(53/2033/5052)5)(2()7(10107)7(10)(52212tueethpppkpkpppppppHtt表2-2列出了部分H(p)與其對應(yīng)的h(t)， 可以直接應(yīng)用。 第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析

47、連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 表2-2 H(p)所對應(yīng)的h(t) 第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 2.4.2 系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t) 當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)（儲能）為零時， 其響應(yīng)是零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)。 利用系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)以及LTI系統(tǒng)的時不變性、 比例性以及積分特性， 我們可以得到因果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)。 第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 根據(jù)LTI系統(tǒng)的時不變性， 當(dāng)輸入移位時， (t)h(t)輸出也移位， 可以得到 (t-)h(t-) (2.4-7) 根據(jù)LTI系統(tǒng)的比例性， 當(dāng)輸入乘以強度因子f()時， 輸出也乘以強度因子f

48、()， 又得到 f()(t-)f()h(t-) (2.4-8) 最后利用LTI系統(tǒng)的積分特性， 若輸入信號是原信號的積分， 輸出信號亦是原信號的積分， 可以得到 dthfdtftt)()()()(00第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 式(2.4-9)得到的正是因果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)。 我們注意到， 這種求解響應(yīng)的方法與以往求解微分方程不同， 故稱之為時域法； 又由于式(2.4-9)是數(shù)學(xué)卷積運算的一種形式， 因此也稱卷積法。 當(dāng)已知f(t)、 h(t)時， 系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)可用式(2.4-9)的卷積計算。 卷積計算時， 積分變量為， t僅是參變量， 計算時按常

49、數(shù)處理。 即 dthftytzs)()()(0(2.4-9) 第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 卷積計算的具體步驟： 第一步是變量轉(zhuǎn)換， 將f(t)變?yōu)閒()， h(t)變?yōu)閔(t-)； 第二步是將f()與h(t-)兩個函數(shù)相乘； 第三步確定積分上、 下限， 也就是找到f()h(t-)相乘后的非零值區(qū)； 最后， 對f()h(t-)積分得出零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)。 第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 圖 2.4-3 例2.4-3電路 f (t)i(t)1H1 第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 例2.4-3 如圖2.4-3所示電

50、路， 已知激勵f(t)=u(t)， 用時域法求i(t)。 解 (pL+R)i(t)=f(t) )()(11)()()(tuethppHRpLtftit第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 將f(t)、 h(t)代入式(2.4-9)()1 ()() 1()(|)()()()()()()()(0)(0)(0)(00tuetueetueetudedtuuedtueuthftitttttttttttt 從以上求解過程， 可以看到時域法是利用系統(tǒng)的沖激響應(yīng)， 借助卷積積分來完成系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)求解。 第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 2.5 卷積及其性質(zhì)卷積及

51、其性質(zhì) 2.5.1 卷積 卷積積分指的是兩個具有相同自變量t的函數(shù)f1(t)與f2(t)相卷積后成為第三個相同自變量t的函數(shù)y(t)。 這個關(guān)系表示為dtfftftfty)()()()()(2121(2.5-1) 第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 式(2.5-1)是卷積的一般形式， 與2.4節(jié)式(2.4-9)公式比較， 若令f1()=f()， f2(t-)=h(t-)， 則變量置換、 相乘、 積分等運算相同,僅積分限不同。 下面說明兩者不同的原因， 即當(dāng)f1(t)、 f2(t)受到某種限制時， 由卷積的一般公式可以得到與式(2.4-9)相同的表示式。 第第2章章 連續(xù)時

52、間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 設(shè)f1(t)為因果信號， 即f1(t)=f1(t)u(t)， 而f2(t)不受此限， 則有 dtffdtfuftftf)()()()()()()(212121(2.5-2) 第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 再設(shè)f2(t)為因果信號， 即f2(t)=f2(t)u(t)， 但f1(t)不受此限， 則 dtffdtutfftftf)()()()()()()(212121(2.5-3)第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 最后設(shè)f1(t)、 f2(t)均為有始信號， 即f1(t)=f1(t)u(t)， f2(t)=f

53、2(t)u(t)， 將上面的結(jié)果代入式(2.5-1)， 不難得到 此式與式(2.4-9)相同， 表明式(2.4-9)正是在因果信號、 因果系統(tǒng)條件下卷積公式的特例。 0)()()()(21021tdtfftftft第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 2.5.2 任意函數(shù)與(t)、 u(t)卷積 (1) f(t)*(t)=f(t) (2.5-4) 證 dtftfdttfdtfttf)()()()()()()()()(111 從f(t)與(t)卷積結(jié)果可知(t)是卷積的單位元。 第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 (2) f(t)*(t-t1)=f(t-

54、t1) (2.5-5) 證 )()()()()()()(111111ttfdttttfdttftttf第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 由式(2.5-5)可知，任意函數(shù)與(t-t1)卷積，相當(dāng)于該信號通過一個延時（移位）器，如圖2.5-1所示。 圖 2.5-1 (t t1)f (t)f (tt1)延 時t1f (t)f (tt1)第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 (3) dftutf)()()(2.5-6) 由式(2.5-6)可知， 任意函數(shù)與u(t)卷積， 相當(dāng)于信號通過一個積分器， 如圖2.5-2所示。 圖 2.5-2 u(t)f (t)y

55、(t)f (t)y (t)第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 2.5.3 卷積的性質(zhì) 1. 時移 f(t-t0-t1)=f1(t-t0)*f2(t-t1)=f1(t-t1)*f2(t-t0) =f1(t-t0-t1)*f2(t) =f1(t)*f2(t-t0-t1) (2.5-7) 證 dttftfttfttf)()()()(12011201第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 令-t0=x， 代入上式， 得)()()()()()(102112011201tttftfdtxtftfttfttf 同理可證式(2.5-7)的其它形式。 當(dāng)f1(t)、 f2

56、(t)、 f3(t)分別滿足可積條件時， 一些代數(shù)性質(zhì)也適合卷積運算。 第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 2. 交換律 f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t) (2.5-8) 證 dtffdxtffdtfftftf)()()()()()()()(12122121（令t-=x, d=-dt） （再令x=）第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 f2(t)*f1(t)也稱為卷積的第二種形式， 式(2.5-8)實際應(yīng)用意義如圖2.5-3所示。 圖 2.5-3 交換律的實用定義 h(t)f (t)y (t)f (t)h(t)y (t)第第2章章 連續(xù)時

57、間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 3. 分配律 f1(t)*f2(t)+f3(t)=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t) (2.5-9) 證)()()()()()()()()()()()()()(31213121321321tftftftfdtffdtffdtftfftftftf式(2.5-9)實際應(yīng)用意義如圖2.5-4所示。 第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 圖 2.5-4 分配律的實用定義f2(t) f3(t)f1(t)y (t)f2(t)f3(t)f1(t)y (t)第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 4. 結(jié)合律 f1(t)

58、*f2(t)*f3(t)=f1(t)*f2(t)*f3(t) (2.5-10) 證ddtfffdtfdfftftftf)()( )()()()()()()(321321321第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 令-=x， =+x， d=dx， 代入上式)()()()()( )(321321tftftfddxxtfxff式(2.5-10)實際應(yīng)用意義如圖2.5-5所示。 第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 圖 2.5-5 結(jié)合律的實用定義f2(t)f3(t)f1(t)y (t)f2(t) f3(t)f1(t)y (t)*第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分

59、析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 2.5.4 卷積的圖解法 卷積的圖解法是計算卷積的基本方法， 優(yōu)點是可以直觀確定積分限、 積分條件， 并且作圖方便。 圖解法具體步驟為 (1) f(t)f()， 函數(shù)圖形不變， 僅t。 (2) h(t)h(t-)， 它包括兩部分運算: 折疊h(t)h()h(-)； 第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 移位 ， t是h(-)與h(t-)之間的“距離”。 (3) 將折疊移位后的圖形h(t-)與f()相乘。 (4) 求h(t-)與f()相乘后其非零值區(qū)的積分（面積）。 舉例說明圖解法的具體應(yīng)用方法。 t0 右移 第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時

60、間系統(tǒng)的時域分析 例2.5-1 f(t)、 h(t)如圖2.5-6所示， 求y(t)=f(t)*h(t)。 圖 2.5-6 例2.5-1的f(t)、h(t)012Ef (t)t10te2th(t)第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 解 具體計算如圖2.5-7所示。 )2(1 2) 1(1 2)2(2)2() 1(1 2)()2(2)1(2)1(2)2(2)1(2tueEtueEtueeEtutueEtyttttt第第2章章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 圖 2.5-7 例2.5-1圖解法示意圖E012f ()h (t)10 t10t01h ()t0(a)