運用微元思維方法解物理競賽試題

1、運用微元思維方法解物理競賽試題呂賢年 袁孝金所謂微元思維方法是指從整體中取某個特定的微小部分作為研究對象，從而達到解決事物整體問題的一種思維方式。這種思維方法是基于宏觀事物的普遍性（即共性）不僅存在于事物發(fā)展的全過程中，而且也包含在每微元的特殊性（即個性）之中這一基本屬性的基礎上，而產(chǎn)生的一種創(chuàng)造性思維方式。因此，我們在研究物理問題時，對于某一具體的研究對象，當從整體或宏觀上無法求解時，運用微元思維方法，往往會收到化難為易，化繁為簡的意想不到的效果。本文試通過近年來的有關全國中學生物理競賽試題為例，導析微元思維方法解題的一般思路，供同學們參考。一、長度微元l對長度進行微小分割，稱為線分割，分割

2、出來的長度單元，稱之為長度微元，用l表示。例1 一根無限長的均勻帶電細線，彎成圖1所示的平面圖形。其中AB是半徑為R的半圓弧，AABB。試求圓心O處的電場強度。（1988年全國中學生物理競賽試題）A B A b a a b a O l B 圖 1 解析 因為電荷均勻布在整條曲線上，所以不能把它當作點電荷處理。因此，無法直接應用初等方法求出它在O點所形成的電場強度。如果將曲線分成無數(shù)小線元，可看作點電荷，則彎曲的帶電細線在O處所產(chǎn)生的電場，就是各小段線元在O處的電場強度，就能按矢量合成法求得曲線整體在O處的電場強度。在半圓弧AB上取任一小段線元abl，則線元ab對應的圓心角為，對應于直導線線元為

3、a b。當0時，a逼近于b，a逼近于b。此時，我們可以認為ab所帶電荷Q集中于一點（如b點），a b 所帶的電荷集中于對應的另一點（如b點）。這樣，對于張角所包含的區(qū)域在O點所形成的場強，我們認為是由兩個點電荷形成的。設細線上單位長度所帶的正電荷為，則ab線元所帶的電荷為qR,q在O點所形成的場強為：Ek，其中E的方向指向O b。a b 線元所帶電荷為qa b，距離圓心O的距離用r表示（越小，以上考慮越準確），作aa垂直于Ob，則aabbOB + 。因而a b aa/cos aar/R，又因為aa r，故得：a b r2/R.。因此，點電荷在O點產(chǎn)生的電場強度的大小為：E´kkE，方

4、向與E方向相反。因此，ab與a b 在O點產(chǎn)生的場強之和為零。根據(jù)同樣的分析可知，AB上各小段電荷與細線直線部分各小段電荷對應地在O點產(chǎn)和的場強相消，故整個細線電荷在O點的電場強度為零。二、面積微元S對面積進行微小分割，稱為面積分割，分割出來的面積單元稱為面積微元，用S表示。一個面積元通常需用兩個參量表示。例2在水平放置的潔凈的平玻璃板上倒一些水銀，由于重力和表面張力的影響，水銀近似呈圓餅形狀（側面向外凸起），過圓餅軸線的豎直截面如圖2所示。為了計算方便，水銀和玻璃的接觸角可按180°計算，已知水銀的密度13.6×103 kg/m3，水銀的表面張力系數(shù)0.49N/m，當圓弧

5、餅的半徑很大時，試估算其厚度h的數(shù)值大約是多少？取1位有效數(shù)字即可。（1988年全國中學生物理競賽試題）圖2 h 解析 潔凈的玻璃平板上的水銀呈現(xiàn)圓餅形狀。此時，由于水銀所受重力的作用而產(chǎn)生對水銀圓餅側壁的壓力，方向向外，與指向圓餅內(nèi)水銀的表面張力相平衡，若以整個圓餅為研究對象，很難列出對應的方程求解。F 圖 3 F´ F3 h x F2 F1 F4 在側面任一處取寬為x，高為h的面積元S，則由于重力而產(chǎn)生的水銀對S的側壓力為： F·S·h·x·x式中為水銀對側壁的平均壓強，由于壓力F使圓餅側面向外凸出，因而使側面的面積增大，如圖3所示，但是在

6、水銀與空氣接觸的表面層中，由于表面張力作用，又使水銀面有收縮到最小的趨勢，上下兩層的表面張力的合力的水平分力F´指向水銀內(nèi)部，與F的方向相反。設上表面處的表面張力F1的方向與水平方向成角，則的大小為：F´F1cos + F2 x·cos +·x ·x（1+ cos）當水銀面的形狀穩(wěn)定時，F(xiàn)´ F。由于圓餅半徑很大，面積元S兩側的表面張力F3、F4可認為大小相等，方向相反而抵消，因而由得：x（1+cos）gh2x/2由可得： h 因為的取值范圍是0，所以有：1將和的數(shù)值代入式可得：h0.027即上的取值范圍是2.7×

7、10-3h3.78×10-3m，所以水銀層的厚度的估算數(shù)值可取為3×10-3或4×10-3m。三、體積微元V對體積進行微小分割稱為體積分割，分割出來的體積單元，稱為體積微元，用V表示。實際問題中，所分割的體積元可以有多種形式，其中最常見的是正交體積分割，分割出來的體積元在三維正交坐標中，可表示為Vx·y·。例3 空間某一體積為V的區(qū)域內(nèi)平均電場強度（）定義為： （）上式中的Vi為體積為B內(nèi)第i個體積元。為第i個體積元內(nèi)的場強(只要體積元足夠小，可以認為其中各個點場強的大小和方向都相同)，為累加號，例如V1+V2+V。今有一半徑為a，原來不帶電的

8、金屬球，現(xiàn)使它處在電量為q的點電荷的電場中，點電荷位于金屬球外與球心的距離為R ，試計算金屬球表面感應電荷所產(chǎn)生的電場在球內(nèi)的平均電場強度。（1987年全國中學生物理競賽試題）解析 根據(jù)靜電平衡的條件，導體內(nèi)部的電場強度處處為零，根據(jù)場強疊加原理，可以通過求點電荷q的場強的辦法得出感應電荷的場強。設表示金屬球表面上所有感應電荷單獨產(chǎn)生的電場強度，表示點電荷q單獨產(chǎn)生的電場強度，根據(jù)導體靜電平衡條件，在金屬球內(nèi)會一點之處有：所以（）（）設想在金屬球內(nèi)密度為的體電荷均勻分布，則總電量Qa3·因為均勻帶電球體對球外電荷作用力，與球體的電荷全部集中在球心的點電荷對球外電荷的作用力相同。因此，

9、Q對點電荷的作用力可用庫侖定律求得：圖 4 r1 R V1 · O k·。上式中表示方向的單位矢量。把帶電球體分割成無數(shù)個體積為Vi的體積元。如圖4所示，每個體積元所帶電量為V，點電荷對這一帶電體積元的作用力為：Vi。點電荷q對整個帶電體作用力為各體積元所受作用力的和，即+。根據(jù)牛頓第三定律有：因此 k·k··a3·即（） k·。由此可得：（） k·。四、時間微元t對運動時間進行微小分割，稱為時間分割，分割出來的時間單元，稱之為時間微元，用t表示。圖 5 1 2 · S N M L1 L2 P Q U C

10、 × × × × × × C r r L1 L2 i i1 i2 例4 如圖5所示，電源的電動勢為E，電容器的電容為C，S是單刀雙擲開關，MN、PQ是兩根位于同一水平面的平行光滑長導軌，它們的電阻可以忽略不計，兩導軌間距為L，導軌處在磁感應強度為B的均勻磁場中，磁場方向垂直于兩導軌所在的平面并指向圖中紙面向里，L1和L2是兩根橫放在導軌上的導體小棒，質(zhì)量分別為m1和m2，且m1m2。它們在導軌上滑動時與導軌保持垂直并接觸良好，不計摩擦，兩小棒的電阻相同，開始時兩根小棒均靜止在導軌上?，F(xiàn)將開關S先合向1，然后合向2。求：（1）兩根小棒最

11、終速度的大小。（2）在整個過程中的焦耳熱損耗。（當回路中有電流時，該電流所產(chǎn)生磁場可忽略不計）（1997年全國中學生物理競賽試題）解析 當開關S先合上1時，電源給電容器充電，當開關S再合上2時，電容器通過導體小棒放電，在放電過程中，導體小棒受到安培力作用，在安培力作用下，兩小棒開始運動，運動速度最后均達到最大。（1）設兩小棒最終的速度的大小為v，則分別以L1、L2為研究對象得： Fitim iv1´m iv1m1v 同理得：m2v 由+得：+ m1v + m2v又因為 Fi1B l i1 t i 1 t i 2 Fi2 B l i2 i1+i2 i所以 t i 1 + t i 2 B

12、L+BL BL(Qq) （m 1 + m 2）v而Q CE q CU ´ CBLv所以解得小棒的最終速度 v （2）因為總能量守恒，所以CE2+（m1+m2）v2+Q熱即產(chǎn)生的熱量Q熱CE2(m1+F2)v2CU2(CBLv)2(m1+F2)v2CU2CB2L2 +（m1+m2） 2五、質(zhì)量微元mO· R 圖 6 對物體的質(zhì)量進行微小分割，稱為質(zhì)量分割，被分割出來的質(zhì)量單元，稱之為質(zhì)量微元，用m表示。例5 半徑為R的光滑固定在水平桌面上，有一質(zhì)量為M的圓環(huán)狀彈性繩圈，原長為R，且彈性繩圈的勁度系數(shù)為k，將彈性繩圈從球的正上方輕放到球上，使彈性繩圈水平停留在平衡位置上，如圖6

13、所示。若平衡時彈性繩圈長為R，求彈性繩圈的勁度系數(shù)k 。（1987年全國中學生物理競賽試題）解析 由于整個彈性繩圈的大小不能忽略不計，彈性繩圈不能看成質(zhì)點，所以應將彈性繩圈分割成許多小段，其中每一小段m兩端受的拉力就是彈性繩圈內(nèi)部的彈力F。在彈性繩圈上任取一小段質(zhì)量為m作為研究對象，進行受力分析。但是m受的力不在同一平面內(nèi)，可以從一個合適的角度觀察，選取一個合適的平面進行受力分析，這樣可以看清楚各個力之間的關系。從下面和上面觀察，分別畫出正視圖和俯視圖。先看俯視圖7，設在彈性繩圈的平面上，m所對應的角度是，則每一小段的質(zhì)量m F F T 圖 7 m在該平面上受拉力F的作用，合力為 T2Fcos()2Fsin因為當很小時，sin，所以T2F F再看正視圖8，m受重力mg，支持力N，二力的合力與T平衡：Tmg·tan圖8 N O T mg 現(xiàn)在彈性繩圈的半徑為rR所以sin 45° tan 1因此Tmg Mg聯(lián)立，解得彈性繩圈的張力為：F設彈性繩圈的伸長量為x則xRR R（1）R所以繩圈的勁度系數(shù)為：k綜上所述，應用微元思維方法解題主要步驟如下：（1）將所研究的對象進行無限分割，或假設研究對象發(fā)生了微小的變化，例如可以是發(fā)生了一小段位移，經(jīng)歷了一小段時間