第二章函數(shù)二次

1、)0(2acbxaxyoxy)0(2acbxaxy)44,2(2abacababx2一般地，如果一般地，如果 cbxaxy2（a，b，c是常數(shù)，是常數(shù)，0a） 那么，那么，y叫做叫做x的的二次函數(shù)二次函數(shù)。 從二次函數(shù)的解析式可知二次函數(shù)的自從二次函數(shù)的解析式可知二次函數(shù)的自變量變量x的取值范圍是全體實數(shù)。的取值范圍是全體實數(shù)。 xyo1123423-1-2-1-2122xxy2 2、在連線時，在起始點和結(jié)束點還要沿、在連線時，在起始點和結(jié)束點還要沿函數(shù)圖象的趨勢向外延長一部分。函數(shù)圖象的趨勢向外延長一部分。1 1、取值列表時，自變量、取值列表時，自變量X的取值間隔要一致；的取值間隔要一致；例

2、例 1 1已知二次函數(shù)已知二次函數(shù)122xxy，試在，試在平面直角坐標(biāo)系畫出它的函數(shù)圖象。平面直角坐標(biāo)系畫出它的函數(shù)圖象。 x-10123y=x2-2x-12-1 -2 -1 2小結(jié)小結(jié)由此可知畫二次函數(shù)圖象的一般步驟是：由此可知畫二次函數(shù)圖象的一般步驟是：1、取值列表；、取值列表；2、描點連線。、描點連線。在此過程中需要注意的有：在此過程中需要注意的有：1、自變量取值間隔要一致，通常取、自變量取值間隔要一致，通常取5或或7個值；個值；2、在起始點和終點函數(shù)圖象還要沿著函數(shù)圖象、在起始點和終點函數(shù)圖象還要沿著函數(shù)圖象的趨勢延長一部分；的趨勢延長一部分；3、函數(shù)圖象要能夠反映出函數(shù)的整體變化情況

3、。、函數(shù)圖象要能夠反映出函數(shù)的整體變化情況。演 示 二次函數(shù)都是軸對稱圖形，二次函數(shù)都是軸對稱圖形，圖中直線圖中直線a 是函數(shù)圖象的是函數(shù)圖象的對稱對稱軸軸。 如右圖是某二次函數(shù)的圖象，如右圖是某二次函數(shù)的圖象，由于二次函數(shù)的圖象形狀象拋出由于二次函數(shù)的圖象形狀象拋出物體的運動軌跡，所以二次函數(shù)物體的運動軌跡，所以二次函數(shù)圖象又叫做圖象又叫做拋物線拋物線。 對稱軸與拋物線的交點叫對稱軸與拋物線的交點叫做拋物線的做拋物線的頂點頂點，如圖中的點，如圖中的點M。xyoaM演 示二次函數(shù)二次函數(shù))0(2aaxy的性質(zhì)。的性質(zhì)。 通過演示可知，對于二次函數(shù)通過演示可知，對于二次函數(shù) 2axy 的對稱軸是

4、的對稱軸是y軸，頂點是原點，軸，頂點是原點， 當(dāng)當(dāng)0a時，拋物線時，拋物線2axy 的開口向上，的開口向上， 當(dāng)當(dāng)0a時，拋物線時，拋物線2axy 的開口向下，的開口向下， |a的值越大，開口越小，反之越大。的值越大，開口越小，反之越大。 xyo一一般般地地，拋拋物物線線 khxay2)( 與與2axy 的的形形狀狀相相同同。拋拋 物物線線khxay2)(有有如如 下下的的特特點點： 0a時時，開開口口向向上上， 0a時時，開開口口向向下下； 對對稱稱軸軸是是直直線線hx ； 頂頂點點坐坐標(biāo)標(biāo)是是)(kh，。 xyox=h（h，k）二次函數(shù)二次函數(shù)khxay2)(的性質(zhì)。的性質(zhì)。 演 示對于標(biāo)

5、準形式對于標(biāo)準形式 cbxaxy2（0a） 通過配方改寫成為：通過配方改寫成為： abacabxay44222 因此，因此， 拋物線拋物線cbxaxy2 的對稱軸是直線的對稱軸是直線abx2， 頂點坐標(biāo)頂點坐標(biāo)abacab4422，。 )0(2acbxaxy)44,2(2abacababx2xyo已知二次函數(shù)已知二次函數(shù)3422xxy， 試確定， 試確定的它開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo)。的它開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo)。 解：解：02 a 函數(shù)圖象開口向上函數(shù)圖象開口向上 3422xxy 1) 1(22xy 函數(shù)圖象的對稱軸是直線函數(shù)圖象的對稱軸是直線1x， 頂點坐標(biāo)是（頂點坐標(biāo)是（1，1） 。）

6、 。 oxy)44,2(2abacababx2拋物線拋物線cbxaxy2（0a） ，） ， 0a時，開口向上，結(jié)合圖象可知：時，開口向上，結(jié)合圖象可知： 當(dāng)當(dāng)abx2時，時，y隨著隨著x的增大而減小；的增大而減小； 當(dāng)當(dāng)abx2時，時，y隨著隨著x的增大而增大；的增大而增大； 當(dāng)當(dāng)abx2時，函數(shù)有最小值時，函數(shù)有最小值abac442。 拋物線拋物線cbxaxy2（0a） ，） ， 0a時，開口向下，結(jié)合圖象可知：時，開口向下，結(jié)合圖象可知： 當(dāng)當(dāng)abx2時，時，y隨著隨著x的增大而增大；的增大而增大； 當(dāng)當(dāng)abx2時，時，y隨著隨著x的增大而減小；的增大而減?。?當(dāng)當(dāng)abx2時，函數(shù)有最大值

7、時，函數(shù)有最大值abac442。 oxy)44,2(2abacababx2已知二次函數(shù)已知二次函數(shù)3422xxy，當(dāng)，當(dāng)x為何值時，為何值時，y隨著隨著x的增大而增大？當(dāng)?shù)脑龃蠖龃螅慨?dāng)x為何值時，為何值時，y隨著隨著x的增的增大而減?。亢瘮?shù)有最大值還是最小值，并求出最值。大而減小？函數(shù)有最大值還是最小值，并求出最值。 解：解：02 a 函數(shù)圖象開口向上函數(shù)圖象開口向上 12242ab 當(dāng)當(dāng)1x時，時，y隨著隨著x的增大而增大的增大而增大 當(dāng)當(dāng)1x時，時，y隨著隨著x的增大而減小的增大而減小 當(dāng)當(dāng)1x時，時，y有最小值，最小值為有最小值，最小值為 1 過三點的二次函數(shù)解析式的確定過三點的二次函

8、數(shù)解析式的確定過頂點和一普通點的二次函數(shù)解析式確定過頂點和一普通點的二次函數(shù)解析式確定已知某二次函數(shù)的圖象過已知某二次函數(shù)的圖象過)101(，)41 ( ，)72( ，三三點，求這個函數(shù)的解析式。點，求這個函數(shù)的解析式。 解：設(shè)所求函數(shù)解析式為解：設(shè)所求函數(shù)解析式為cbxaxy2 由已知函數(shù)圖象過由已知函數(shù)圖象過)101(，)41 ( ，)72( ，三點得三點得 724410cbacbacba 解這個方程組得解這個方程組得2a，3b，5c 所求得的函數(shù)解析式為所求得的函數(shù)解析式為5322xxy。 已知某二次函數(shù)圖象上有已知某二次函數(shù)圖象上有)31(，)31 ( ，)62( ，三三個點，求它的函

9、數(shù)解析式。個點，求它的函數(shù)解析式。 解：設(shè)函數(shù)解析式為解：設(shè)函數(shù)解析式為cbxaxy2 由已知，函數(shù)圖象上有由已知，函數(shù)圖象上有)31(，)31 ( ，)62( ，三個點，三個點，得得 62433cbacbacba 解這個方程組，得解這個方程組，得 1a ，0b，2c 函數(shù)解析式為函數(shù)解析式為22 xy 由 于 拋 物 線由 于 拋 物 線khxay2)(頂 點 坐 標(biāo) 是頂 點 坐 標(biāo) 是)(kh，反之，已知頂點坐標(biāo)為，反之，已知頂點坐標(biāo)為)(kh，則可設(shè)函數(shù)，則可設(shè)函數(shù)解析式為解析式為khxay2)(。 例題例題 已知某拋物線的頂點坐標(biāo)已知某拋物線的頂點坐標(biāo))43( ，且過點且過點)81 ( ，求它的函數(shù)解析式。，求它的函數(shù)解析式。 解：頂點坐標(biāo)是解：頂點坐標(biāo)是)43( ， 可設(shè)函數(shù)解析式為可設(shè)函數(shù)解析式為4) 3(2xay 又過點又過點)81 ( ， 4) 31 (82 a 解得解得1a 函數(shù)解析式為函數(shù)解析式為4) 3(2 xy 即即1362xxy 已知某二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為已知某二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為) 11 ( ，且過，且過點點)02( ，試確定它的函數(shù)解析式。試確定它的函數(shù)解析式。 解：解：二次函數(shù)的頂點為二次函數(shù)的頂點為) 11 ( ，