靜定結(jié)構(gòu)位移計算雙語

1、1.1.結(jié)構(gòu)的位移結(jié)構(gòu)的位移 Displacements of structures線位移：結(jié)構(gòu)某點移動的距離（線位移：結(jié)構(gòu)某點移動的距離（ ）Linear displacements or translation: the distance of movement of a point alone a line;角位移（轉(zhuǎn)角）：結(jié)構(gòu)構(gòu)件某截面轉(zhuǎn)的角度（角位移（轉(zhuǎn)角）：結(jié)構(gòu)構(gòu)件某截面轉(zhuǎn)的角度（ ）Angular displacement or rotation:sectional rotation of a member of a structure. 22AyAxA相對（線）位移：兩點之間距

2、離變化相對（線）位移：兩點之間距離變化Relative linear displacement: the change of the distance between 2 points.DCCD相對角位移（轉(zhuǎn)角）：兩截面之間夾角變化相對角位移（轉(zhuǎn)角）：兩截面之間夾角變化 Relative angular displacement:the change of the angle between 2 sections.BAAB 為便于進行理論分析和公式推導，將所討論的各種為便于進行理論分析和公式推導，將所討論的各種結(jié)構(gòu)位移用統(tǒng)一的符號來表示結(jié)構(gòu)位移用統(tǒng)一的符號來表示 ，稱為廣義位移。，稱為廣義位移

3、。For the convenience of the proceeding of theoretical analysis and derivation of formulae, we denote all kinds of displacements by , , which is termed as generalized displacements注注Remark：廣義位移可以看成為代表位移的抽象符：廣義位移可以看成為代表位移的抽象符號，在具體問題中表示具體位移號，在具體問題中表示具體位移. Generalized displacements may be looked at as a

4、bstract sign, which represents concrete displacement in concrete problems.討論討論Discussion：位移與變形：位移與變形 displacements and deformation 位移位移變形的宏觀集成表現(xiàn)變形的宏觀集成表現(xiàn) Displacement- macroscopic integration of deformation.變形變形相對位移相對位移 Deformation- relative displacement per unit length or angle. 兩者之間有區(qū)別，又有聯(lián)系：兩者之間有區(qū)

5、別，又有聯(lián)系：These 2 terms have differences and also have relations(a)變形可引起位移（轉(zhuǎn)角）；變形可引起位移（轉(zhuǎn)角）；Deformation induces displacements(b)變形可由相對位移（或轉(zhuǎn)角）來表示。變形可由相對位移（或轉(zhuǎn)角）來表示。Deformation may be represented by relative displacements.荷載；溫度變化；支座移動（沉降）；材料收縮；制作荷載；溫度變化；支座移動（沉降）；材料收縮；制作誤差等誤差等 Loads, temperature change, sup

6、port settlement, contraction of material, manufacture errors etc. （1 1）、校核結(jié)構(gòu)的剛度）、校核結(jié)構(gòu)的剛度checking rigidity of structures；（2 2）、為超靜定結(jié)構(gòu)計算打基礎(chǔ)）、為超靜定結(jié)構(gòu)計算打基礎(chǔ)preparation for the calculation of statically indeterminate structures。1 1、功、虛功、功、虛功work and virtual work, 功：功：力與沿力方向的位移的乘積，力與沿力方向的位移的乘積，W=F Work: the

7、 product of force and the distance in the direction of force.當位移與力方向相同時，力作的功為正。當位移與力方向相同時，力作的功為正。If the directions of force and distance coincide, then the work is positive.力偶作功力偶作功 work done by a couple of forces：W=M M為力偶矩為力偶矩 M is couple of forces ， 為角位移為角位移 angular displacement。力在線位移上作功，力偶在角位移上作功

8、；力在線位移上作功，力偶在角位移上作功；實功實功real work：力在與力有關(guān)的位移上作的功：力在與力有關(guān)的位移上作的功work done by force in related displacement。線彈性體上外力的實功線彈性體上外力的實功for elastic bodies：FW21虛功虛功virtual work：力在與之無關(guān)的位移上作的功：力在與之無關(guān)的位移上作的功work done by force in unrelated displacement 。 FW作功的過程中，力保持不變作功的過程中，力保持不變force remains constant during the pr

9、ocess of doing work。廣義力廣義力generalized forces：用符號：用符號F F表示集中力、力偶、力對、表示集中力、力偶、力對、力偶對等，力偶對等，廣義力在相應的廣義位移上作功廣義力在相應的廣義位移上作功 generalized forces correspond to definite generalized displacements.功的表達式寫成功的表達式寫成work can be expressed as ：W=F 廣義力，廣義力， 廣義位移。廣義位移。(a)(a)剛體的虛功原理剛體的虛功原理：剛體體系處于平衡的充：剛體體系處于平衡的充要條件是對任何虛位

10、移，所有外力作的虛功總和要條件是對任何虛位移，所有外力作的虛功總和為零。為零。 （外力包括荷載和約束力（如支座反力）（外力包括荷載和約束力（如支座反力）External forces include external loads and reaction forces.(b)(b)變形體的虛功原理：變形體處于平衡的充要變形體的虛功原理：變形體處于平衡的充要條件是對任何虛位移，外力所作虛功總和等于各條件是對任何虛位移，外力所作虛功總和等于各微段上內(nèi)力在其變形上所作虛功總和。微段上內(nèi)力在其變形上所作虛功總和。即：即：)(VeWW 虛功原理虛功原理the principle of virtual w

11、ork ：（平衡）（平衡）（協(xié)調(diào)）（協(xié)調(diào)）1 1、按外力虛功與內(nèi)力虛功角度來計算總虛功：、按外力虛功與內(nèi)力虛功角度來計算總虛功：取微段取微段dsds，其上所有力狀態(tài)中的力在位移狀態(tài)的位移上作的虛功，其上所有力狀態(tài)中的力在位移狀態(tài)的位移上作的虛功dW=dWe+dWi則總虛功則總虛功W為：為：the total virtual work is iedWdWdW或或ieWWW如圖如圖：（截面兩側(cè)位移相（截面兩側(cè)位移相同，而作用力方向同，而作用力方向相反）相反）At the 2 sides of the section the displacements are identical, and the

12、forces are opposite.0iW故故所以所以eWW (dWe 外力虛功外力虛功，dWi 內(nèi)力虛功內(nèi)力虛功)2 2、按剛體虛功和變形虛功來計算總虛功：、按剛體虛功和變形虛功來計算總虛功：dudv = ds d 軸向變形軸向變形剪切變形剪切變形彎曲變形彎曲變形（兩截面之間相對位移）（兩截面之間相對位移）VSdWdWdW0SdW而而故故VdWdW即即VWW 于是有于是有VeWW （外力虛功等于變形虛功）（外力虛功等于變形虛功）（剛體位移引（剛體位移引起）起）（變形引起）（變形引起）VeWW We外力虛功總和外力虛功總和the sum of external force worksWV

13、微段變形虛功的總和微段變形虛功的總和the sum of internal force worksyqdsCFFWReduFdsFMdWNSV注注remark：在證明中沒有涉及材料的本構(gòu)關(guān)系，因此對彈性、非：在證明中沒有涉及材料的本構(gòu)關(guān)系，因此對彈性、非彈性，線性、非線性的變形體，虛功原理都適用。彈性，線性、非線性的變形體，虛功原理都適用。The proof of the principle is not concerned with the constitutive relations of materials, therefore the principle is valid for an

14、y materials.duFdsFMdyqdsCFFNSR或或虛功原理的應用虛功原理的應用the application of principle of virtual work：principle of virtual displacement.principle of virtual s.（本章將應用這一原理計算結(jié)構(gòu)位移（本章將應用這一原理計算結(jié)構(gòu)位移In this chapter we will use principle of virtual s to determine unknown displacements ）The general equation and unit loa

15、d method for determination of displacements 實際問題實際問題計算計算 K沿沿 K施加單位力施加單位力 )(duFdsFdMCFFNSRKK得得：實際荷載引起的位移實際荷載引起的位移狀態(tài)狀態(tài)displacement state induced by actual loads單位力荷載引起的單位力荷載引起的力狀態(tài)力狀態(tài)force state induced by unite load )(1duFdsFdMCFNSRK即即： )(duFdsFdMCFNSRK得：得：對一般情況，上式可寫成對一般情況，上式可寫成 In general case the ab

16、ove equation can be written as： CFduFdsFdMRNS)(unit load method CFduFdsFdMRNS)(彎曲變形彎曲變形bending 剪切變形剪切變形shear軸向變形軸向變形elongation支座移動支座移動support settlements注：注：1 1、公式中，、公式中， 實際上是實際上是F=1F=1所作的虛功，因此，所作的虛功，因此，計算結(jié)果為正計算結(jié)果為正時，時， 與與F=1F=1方向相同；計算結(jié)果為負時，方向相同；計算結(jié)果為負時， 與與F=1F=1方向相反。方向相反。Remark: is actually the vir

17、tual work done by F=1,F=1,if the result is positive, then the direction of coincides with that of F=1F=1; otherwise the direction of is opposite to that of F=1.F=1. 2、 是廣義位移是廣義位移 is generalized displacement。3 3、F=1 F=1 是在是在 上作功的廣義力上作功的廣義力is the force doing work in 公式為虛設(shè)單位力公式為虛設(shè)單位力F=1F=1在在 上作的功，因此上作的

18、功，因此F=1F=1要與要與 相應（相應（F=1F=1為為廣義力）廣義力）The correspondence between generalized unit force and generalized displacement 。下面舉例說明下面舉例說明F=1F=1的類型：的類型：Ax A設(shè)置單位力可設(shè)置單位力可以求線位移以求線位移設(shè)置單位設(shè)置單位力偶可以力偶可以求線位移求線位移設(shè)置一對單位設(shè)置一對單位力可以求相對力可以求相對線位移線位移設(shè)置一對力偶設(shè)置一對力偶矩可以求相對矩可以求相對線轉(zhuǎn)角線轉(zhuǎn)角由材料力學由材料力學from material mechanics：dsEIMdPPdsEAF

19、duPNPdsGAkFdsPSP；實際狀態(tài)實際狀態(tài)real systemdsEAFFdsGAFkFdsEIMMNPNSPSP虛設(shè)（單位力）狀態(tài)虛設(shè)（單位力）狀態(tài)Virtual unit force statedsEIMMPEAlFFdsEAFFNPNNPN積分運算積分運算轉(zhuǎn)化為代轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算數(shù)運算。)()(桁彎EAlFFdsEIMMNPNP實體拱，一般只取彎矩項即可；扁平拱，壓力較大，應該考實體拱，一般只取彎矩項即可；扁平拱，壓力較大，應該考慮軸力的影響；計算曲桿時可以忽略曲率的影響；慮軸力的影響；計算曲桿時可以忽略曲率的影響；2, 02qxMMp2,2qlMxMpAB段段：BC段：段： E

20、IqadxqaxEIdxEIMMaPCH4211202AB段段：BC段：段：1M221qxMP ， 1M221qaMP EIqadxqaEIdxqxEIdxEIMMaaPC322111211130202mmNmNEAlFFNPND008. 01021010)2000009403002(293條件條件condtions：1.桿件為直桿桿件為直桿the members are straight；2、EI沿桿件不變沿桿件不變EI=constant；3、M 與與M M圖中至少有一個為直線圖形圖中至少有一個為直線圖形At least one of moment diagrams is straight

21、line 。則則CPyAEIdsEIMM1* c形心形心MP圖A圖MyC對于圖示彎矩圖對于圖示彎矩圖tanxM CCPPyAEIxAEIdxxMEIduEIMM1tantan也即上述積分等于彎矩圖的面積乘以也即上述積分等于彎矩圖的面積乘以形心對應的另一圖形上的豎標。此法形心對應的另一圖形上的豎標。此法為圖乘法。此法為莫斯科建筑學院的為圖乘法。此法為莫斯科建筑學院的學生學生 Veryschagin 發(fā)現(xiàn)。發(fā)現(xiàn)。CPyEIdsEIMM1The integral Equals to the product of the area and the ordinate of the centroid of

22、 another areaVeryschagin.拋物線的面積計算拋物線的面積計算 the areas of parabolas：naxy hlnA11形心位置形心位置the position of centroid離高邊離高邊 ln21陰影部分面積陰影部分面積hlnnhlnAP1)111 (形心位置離高邊形心位置離高邊 lnn)2(21基本圖形的面積與形心位置基本圖形的面積與形心位置 The areas and centroids of some commonly used graphs ：lhA213llhA322l83llhA324llhA31頂點頂點頂點頂點頂點頂點頂點：頂點：M M圖

23、切線斜率為零圖切線斜率為零hhhh（1 1） 梯形圖形梯形圖形trapezoidsCABEI2EIPP+（2 2） 拋物線圖形拋物線圖形 ParabolasParabolas+常見錯誤常見錯誤Common mistakes：0錯誤錯誤 )(12211yyEI錯誤錯誤 3 3、標準拋物線的方程為、標準拋物線的方程為equation of standard parabolanaxy 4.4.正負號正負號 the signs.正負三角形正負三角形 positive and negative triangles注意事項注意事項 RemarksRemarks： 1.EI1.EI整段相同整段

24、相同EI remains constant over the segmentEI remains constant over the segment；2.2.若若 、 位于不同的側(cè)，則乘積為負；位于不同的側(cè)，則乘積為負；If 、 lie on different sides of the base line, then the product is negative; 3.3.若若2 2圖形都為直線，則豎標可以在任何以圖形上取；圖形都為直線，則豎標可以在任何以圖形上??； If all 2 moment diagrams are straight-lined, then the ordinate

25、 of the centroid can be taken at any graph.4.4.若為折線若為折線, ,應該分段處理應該分段處理If one graph is polygon, and another is a curved trapezoid, then calculation should be performed over several segments；5.5.若若2 2圖為梯形，則可以分解成三角形圖為梯形，則可以分解成三角形If all 2 moment diagrams are trapezoids, then they can be separated into 2

26、 triangles；6.6.由均布載引起的彎矩圖可以分解成拋物線、三角形或者梯形由均布載引起的彎矩圖可以分解成拋物線、三角形或者梯形The M diagram induced by distributed loads may be separated into parabola, triangle or trapezoid。MPMMPM 例例 求簡支梁求簡支梁B B端截面的角位移端截面的角位移 B B。Determine the rotation of end B 例例 求懸臂梁求懸臂梁B B端的豎向位移端的豎向位移 By By Determine the vertical displace

27、ment of end B。qllEI=常常數(shù)數(shù)B22qlMP1lM 例例 求梁求梁A A點處的轉(zhuǎn)角點處的轉(zhuǎn)角 及及C C點豎向位移點豎向位移 CyCy 。例例 求求C C、D D兩點的相對位移兩點的相對位移CD CD Determine the relative displacement of C and D.20kN/m40kN6mEIEI2EI2EIB BA AC C2m2m80808090MP(kNm)144MBx80808090MP(kNm)11M EIEIC260)21690323168021(1l/2l/2lACBq42ql42ql82qlPM1111MEIqllqlEIC242

28、1832132對于無支座位移得情況，應用虛功原理得單位荷載法求位移得對于無支座位移得情況，應用虛功原理得單位荷載法求位移得公式公式 For case without support displacements, using virtual work principle we obtain KdMdvFduFSN其中其中ddvdu,為實際狀態(tài)中為實際狀態(tài)中dx微段上由于溫度改變所引起的變形微段上由于溫度改變所引起的變形 實際狀態(tài)實際狀態(tài)real state 虛擬狀態(tài)虛擬狀態(tài) virtual state當桿截面對稱于形心時當桿截面對稱于形心時when the section is symmetri

29、cal with respect to centroid we have 221ttt當桿截面不對稱于形心時當桿截面不對稱于形心時when the section is not symmetrical with respect to centroid we have hhththtthtdtt122112111tandxhtdxhttddvtdxdu12, 0,dMdvFduFSNk dxMhtdxFtN0 MNAhtAt0對于對于 的確定：比較實際狀態(tài)與虛擬狀態(tài)，若二者的確定：比較實際狀態(tài)與虛擬狀態(tài)，若二者相同，則取正號，否則取負號。相同，則取正號，否則取負號。對于桁架溫度改變引起的位移為對

30、于桁架溫度改變引起的位移為 lFtNk制造誤差制造誤差l引起的位移引起的位移lFNK)(332211CRCRCRCRdMdvFduFCFSNiRiK無外荷載時上式變?yōu)椋簾o外荷載時上式變?yōu)椋簩嶋H實際位移位移狀態(tài)狀態(tài)虛擬虛擬力狀力狀態(tài)態(tài)例：求例：求Determine the relative rotation of left and right of joint C實際實際位移位移狀態(tài)狀態(tài)虛擬虛擬力狀力狀態(tài)態(tài)實際實際位移位移狀態(tài)狀態(tài)虛擬虛擬力狀力狀態(tài)態(tài)dxGAFkFdxEAFFdxEIMMdvkFduFdMWSSNNSN21212121212112當先施加當先施加 再施加再施加 時，時， 在在 上

31、所作上所作的功為的功為1F2F1F2F displacements當先施加當先施加 再施加再施加 時，時， 在在 上所作上所作的功為的功為1F2F1F2FdxGAFkFdxEAFFdxEIMMdvkFduFdMWSSNNSN121212121212212112WW 212121FF reactions2112rr 小小 結(jié)結(jié) SummarySummary1.1.基本概念基本概念 Basic concepts 功、虛功功、虛功work, virtual work；廣義力與；廣義力與廣義位移廣義位移generalized forces an displacements and their several cases。幾種廣義力及廣義位移幾種廣義力及廣義位移 。2.2.變形體的變形體的虛功原理虛功原理 Principle of virtual work基本物理意義基本物理意義 basic physical meaning虛位移原理虛位移原理 Principle of vi