知識(shí)講解-導(dǎo)數(shù)的計(jì)算-基礎(chǔ)(1)

1、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1. 牢記幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，并掌握其推導(dǎo)過(guò)程。2. 熟記八個(gè)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，并能準(zhǔn)確運(yùn)用。3. 能熟練運(yùn)用四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則， 4. 理解復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)規(guī)律，掌握求復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：“由外及內(nèi)，層層求導(dǎo)”【要點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式（1）（C為常數(shù)），（2）（n為有理數(shù)），（3），（4），（5），（6），（7），（8）， 。要點(diǎn)詮釋?zhuān)?常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0，即C=0（C為常數(shù)）其幾何意義是曲線(xiàn)（C為常數(shù)）在任意點(diǎn)處的切線(xiàn)平行于x軸 2有理數(shù)冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于冪指數(shù)n與自變量的（n1）次冪的乘積，即（nQ）特別地，。 3正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于余弦函

2、數(shù)，即（sin x）=cos x 4余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于負(fù)的正弦函數(shù)，即（cos x）=sin x5指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：，6對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：，有時(shí)也把 記作： 以上常見(jiàn)函數(shù)的求導(dǎo)公式不需要證明，只需記住公式即可 知識(shí)點(diǎn)二：函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則：（1）和差的導(dǎo)數(shù)：（2）積的導(dǎo)數(shù)：（3）商的導(dǎo)數(shù)：（）要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1. 上述法則也可以簡(jiǎn)記為： （）和（或差）的導(dǎo)數(shù)：， 推廣： （）積的導(dǎo)數(shù)：， 特別地：（c為常數(shù)） （）商的導(dǎo)數(shù)：， 兩函數(shù)商的求導(dǎo)法則的特例 ， 當(dāng)時(shí)， 這是一個(gè)函數(shù)倒數(shù)的求導(dǎo)法則 2兩函數(shù)積與商求導(dǎo)公式的說(shuō)明（1）類(lèi)比：，（v0），注意差異，加以區(qū)分 （2）注意：且（v0）

3、 3求導(dǎo)運(yùn)算的技巧 在求導(dǎo)數(shù)中，有些函數(shù)雖然表面形式上為函數(shù)的商或積，但在求導(dǎo)前利用代數(shù)或三角恒等變形可將函數(shù)先化簡(jiǎn)（可能化去了商或積），然后進(jìn)行求導(dǎo)，可避免使用積、商的求導(dǎo)法則，減少運(yùn)算量知識(shí)點(diǎn)三：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 1復(fù)合函數(shù)的概念 對(duì)于函數(shù)，令，則是中間變量u的函數(shù)，是自變量x的函數(shù)，則函數(shù)是自變量x的復(fù)合函數(shù) 要點(diǎn)詮釋?zhuān)?常把稱(chēng)為“內(nèi)層”， 稱(chēng)為“外層” 。2復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，函數(shù)在點(diǎn)x的對(duì)應(yīng)點(diǎn)u處也可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，并且，或?qū)懽?掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法 （1）分層：將復(fù)合函數(shù)分出內(nèi)層、外層。（2）各層求導(dǎo)：對(duì)內(nèi)層，外層分別求導(dǎo)。得到（3）求積并回代：求出

4、兩導(dǎo)數(shù)的積：，然后將，即可得到 的導(dǎo)數(shù)。要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1. 整個(gè)過(guò)程可簡(jiǎn)記為分層求導(dǎo)回代，熟練以后，可以省略中間過(guò)程。若遇多重復(fù)合，可以相應(yīng)地多次用中間變量。2. 選擇中間變量是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵。求導(dǎo)時(shí)需要記住中間變量，逐層求導(dǎo)，不遺漏。求導(dǎo)后，要把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù)。【典型例題】類(lèi)型一：求簡(jiǎn)單初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例1. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1) (2) (3)（4）（5）【解析】(1) (x3)=3x31=3x2； (2) ()=(x2)=2x21=2x3(3) （4）；（5）；【點(diǎn)評(píng)】（1）用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)是求導(dǎo)數(shù)的基本方法，但運(yùn)算較繁。利用常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，可以簡(jiǎn)化求導(dǎo)過(guò)程，降低運(yùn)

5、算難度。（2）準(zhǔn)確記憶公式。（3）根式、分式求導(dǎo)時(shí)，先將根式、分式轉(zhuǎn)化為冪的形式。舉一反三：【變式】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y = (2)y = （3）y=2x33x2+5x4 （4）； 【答案】 (1) y=()=(x3)=3x31=3x4(2（3）（4），.類(lèi)型二：求函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)例2. 求下列函數(shù)導(dǎo)數(shù)： (1) y3x2xcosx； (2)y； (3)ylgxex；（4）y=tanx.【解析】 (1)y6xcosxxsinx.(2)y.(3)y(lgx)(ex)ex.(4)=tanx+.【點(diǎn)評(píng)】（1）熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，是求導(dǎo)函數(shù)的前提。（

6、2）先化簡(jiǎn)再求導(dǎo)，是化難為易，化繁為簡(jiǎn)的基本原則和策略。舉一反三：【變式1】函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)等于( )A1 B2 C3 D4【答案】D法一： .法二：.【變式2】 求下列各函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)（1）y=(x+1)(x+2)(x+3)。 （2）y=x2sinx; （3）y=【答案】（1）y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6，y=3x2+12x+11。（2）y=（x2）sinxx2（sinx）=2xsinxx2cosx（3）=【變式3】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).（1） y （2 x25 x 1）ex； （2）；（3） y 【答案】（1） y(2 x25 x 1)e x (2 x25 x 1)

7、(e x )（4 x 5）e x （2 x 25 x 1）e x （2x 2x 4）ex（2），.（3）y(sin x x cos x)(cos x x sin x)(sin x x cos x)(cos x x sin x)(cos x cos x x sin x) (cos x x sin x)(sin x x cos x) (x cos x)類(lèi)型三：求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例3求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）； （2）；（3）； 【解析】 （1）設(shè)=1-3x，則 。 （2）設(shè)，y=cos，則 。（3）設(shè)【點(diǎn)評(píng)】 把一部分量或式子暫時(shí)當(dāng)作一個(gè)整體，這個(gè)整體就是中間變量。求導(dǎo)數(shù)時(shí)需要記住中間變量，注意逐層求

8、導(dǎo)，不能遺漏。求導(dǎo)數(shù)后，要把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù)。舉一反三：【變式】 求下列函數(shù)導(dǎo)數(shù). （1）； （2）； （3）.【答案】（1）， （2），.（3），.例4 求下列函數(shù)導(dǎo)數(shù). (1)； （2）； （3）【解析】 (1) 令,（2） 。（3）設(shè)，=sinv，則 在熟練掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)以后，可省略中間步驟： 【點(diǎn)評(píng)】 （1）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的步驟是：分清復(fù)合關(guān)系，適當(dāng)選定中間變量，正確分解復(fù)合關(guān)系（簡(jiǎn)稱(chēng)分解復(fù)合關(guān)系）；分層求導(dǎo)，弄清每一步中哪個(gè)變量對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)數(shù)（簡(jiǎn)稱(chēng)分層求導(dǎo)）；將中間變量代回為自變量的函數(shù)。簡(jiǎn)記為分解求導(dǎo)回代，當(dāng)省加重中間步驟后，就沒(méi)有回代這一步了，即分解（復(fù)合關(guān)系）求導(dǎo)

9、（導(dǎo)數(shù)相乘）。（2）同一個(gè)問(wèn)題可有多種不同的求導(dǎo)方法，若能化簡(jiǎn)的式子，則先化簡(jiǎn)，再求導(dǎo)。舉一反三：【變式1】 求y sin4x cos 4x的導(dǎo)數(shù)【答案】解法一 y sin 4x cos 4x(sin2x cos2x)22sin2cos2x1sin22 x1（1cos 4 x）cos 4 xysin 4 x解法二 y(sin 4 x)(cos 4 x)4 sin 3 x(sin x)4 cos 3x (cos x)4 sin 3 x cos x 4 cos 3 x (sin x)4 sin x cos x (sin 2 x cos 2 x)2 sin 2 x cos 2 xsin 4 x【變式2】求下列函數(shù)導(dǎo)數(shù)：（1）； （2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（）?！敬鸢浮?（1）設(shè)u=12x2，則。 。（2）方法一： 。方法二：， 。類(lèi)型四：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)式中的參數(shù)例5 （1），若，則a的值為（ ）A B C D（2）設(shè)函數(shù)，若是奇函數(shù)，則=_?！窘馕觥?（1），故選A。（2）由于，若是奇函數(shù)，則，即，所以。又因?yàn)?，所以?！军c(diǎn)評(píng)】 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的基本方法是利用函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則以及復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化為常