初中數(shù)學：實際問題與二次函數(shù)-詳解與練習(含答案)

1、初中數(shù)學專項訓練：實際問題與二次函數(shù)一、利用函數(shù)求圖形面積的最值問題一、 圍成圖形面積的最值1、 只圍二邊的矩形的面積最值問題例1、 如圖1，用長為18米的籬笆虛線局部和兩面墻圍成矩形苗圃。（1） 設(shè)矩形的一邊長為x米，面積為y平方米，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2） 當x為何值時，所圍成的苗圃面積最大？最大面積是多少？分析：關(guān)鍵是用含x的代數(shù)式表示出矩形的長與寬。解：1設(shè)矩形的長為x米，那么寬為18- x米， 根據(jù)題意，得：；又2中，a= -10，y有最大值，即當時，故當x=9米時，苗圃的面積最大，最大面積為81平方米。點評：在回扣問題實際時，一定注意不要遺漏了單位。2、 只圍三邊的矩形的面積

2、最值例2、 如圖2，用長為50米的籬笆圍成一個養(yǎng)雞場，養(yǎng)雞場的一面靠墻。問如何圍，才能使養(yǎng)雞場的面積最大？分析：關(guān)鍵是明確問題中的變量是哪兩個，并能準確布列出函數(shù)關(guān)系式解：設(shè)養(yǎng)雞場的長為x米，面積為y平方米，那么寬為米， 根據(jù)題意，得：；又中，a=0，y有最大值，即當時，故當x=25米時，養(yǎng)雞場的面積最大，養(yǎng)雞場最大面積為平方米。點評：如果設(shè)養(yǎng)雞場的寬為x，上述函數(shù)關(guān)系式如何變化？請讀者自己完成。3、 圍成正方形的面積最值例3、將一條長為20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長做成一個正方形 (1)要使這兩個正方形的面積之和等于17cm2，那么這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是多少? (

3、2)兩個正方形的面積之和可能等于12cm2嗎? 假設(shè)能，求出兩段鐵絲的長度；假設(shè)不能，請說明理由1解：設(shè)剪成兩段后其中一段為xcm，那么另一段為20-xcm 由題意得： 解得： 當時，20-x=4；當時，20-x=16答：這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是16厘米、4厘米。2不能 理由是：設(shè)第一個正方形的邊長為xcm，那么第二個正方形的邊長為cm，圍成兩個正方形的面積為ycm2，根據(jù)題意，得：，中，a= 20，y有最小值，即當時，=12.512,故兩個正方形面積的和不可能是12cm2.練習1、如圖，正方形EFGH的頂點在邊長為a的正方形ABCD的邊上，假設(shè)AE=x，正方形EFGH的面積為y.(1)

4、求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)正方形EFGH有沒有最大面積？假設(shè)有，試確定E點位置；假設(shè)沒有，說明理由.二、利用二次函數(shù)解決拋物線形建筑物問題例題1 如圖1是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當水面在l時，拱頂拱橋洞的最高點離水面2m，水面寬4m如圖2建立平面直角坐標系，那么拋物線的關(guān)系式是 .圖1 圖2.【解析】試題分析：由圖中可以看出，所求拋物線的頂點在原點，對稱軸為y軸，可設(shè)此函數(shù)解析式為：y=ax2，利用待定系數(shù)法求解.試題解析：設(shè)此函數(shù)解析式為：，；那么2，-2應在此函數(shù)解析式上那么即得，那么考點：根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式.練習1某地要建造一個圓形噴水池，在水池中央垂直于水面安裝

5、一個花形柱子OA，O恰在水面中心，安置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，且在過OA的任一平面上，拋物線形狀如圖1所示.圖2建立直角坐標系，水流噴出的高度y米與水平距離x米之間的關(guān)系是.請答復以下問題：(1)柱子OA的高度是多少米？(2)噴出的水流距水平面的最大高度是多少米？(3)假設(shè)不計其他因素，水池的半徑至少要多少米才能使噴出的水流不至于落在池外？2一座橋如圖，橋下水面寬度AB是20米，高CD是4米.要使高為3米的船通過，那么其寬度須不超過多少米.1如圖1，假設(shè)把橋看做是拋物線的一局部，建立如圖坐標系.求拋物線的解析式；要使高為3米的船通過，那么其寬度

6、須不超過多少米?2如圖2，假設(shè)把橋看做是圓的一局部.求圓的半徑；要使高為3米的船通過，那么其寬度須不超過多少米?三、利用拋物線解決最大利潤問題例題1 某市政府大力扶持大學生創(chuàng)業(yè)李明在政府的扶持下投資銷售一種進價為每件20元的護眼臺燈銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y(件)與銷售單價x(元)之間的關(guān)系可近似的看做一次函數(shù)：y10x500.1設(shè)李明每月獲得利潤為w(元)，當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？6分2如果李明想要每月獲得2 000元的利潤，那么銷售單價應定為多少元？3分3物價部門規(guī)定，這種護眼臺燈的銷售單價不得高于32元，如果李明想要每月獲得的利潤不低于2 000元，那么他每月的本錢

7、最少需要多少元？(本錢進價×銷售量) 3分答案：135；230或40；33600.【解析】試題分析：1由題意得，每月銷售量與銷售單價之間的關(guān)系可近似看作一次函數(shù)，根據(jù)利潤=定價-進價×銷售量，從而列出關(guān)系式；2令w=2000，然后解一元二次方程，從而求出銷售單價；3根據(jù)函數(shù)解析式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求出最低本錢即可試題解析：1由題意得出： ，當銷售單價定為35元時，每月可獲得最大利潤 2由題意，得：，解這個方程得：x1=30，x2=40李明想要每月獲得2000元的利潤，銷售單價應定為30元或40元3，拋物線開口向下. 當30x40時，W2000.x32，當30x32時，W2

8、000.設(shè)本錢為P元，由題意，得：，k=2000，P隨x的增大而減小當x=32時，P最小=3600答：想要每月獲得的利潤不低于2000元，每月的本錢最少為3600元考點：二次函數(shù)的應用練習1某玩具批發(fā)商銷售每只進價為40元的玩具，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，假設(shè)以每只50元的價格銷售，平均每天銷售90只，單價每提高1元，平均每天就少銷售3只1平均每天的銷售量y(只)與銷售價x(元只)之間的函數(shù)關(guān)系式為 ；2求該批發(fā)商平均每天的銷售利潤W(元)與銷售只x(元只)之間的函數(shù)關(guān)系式；3物價部門規(guī)定每只售價不得高于55元，當每只玩具的銷售價為多少元時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少元一系列“三農(nóng)優(yōu)惠政策，使農(nóng)民收

9、入大幅度增加某農(nóng)戶生產(chǎn)經(jīng)銷一種農(nóng)產(chǎn)品，這種產(chǎn)品的本錢價為每千克20元，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷售量y(千克)與銷售價x(元/千克)有如下關(guān)系：. 設(shè)這種產(chǎn)品每天的銷售利潤為w元.1求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；2該產(chǎn)品銷售價定為每千克多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？2為了落實國務院的指示精神，地方政府出臺了3某公司營銷兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)研，發(fā)現(xiàn)如下信息：信息1：銷售種產(chǎn)品所獲利潤(萬元)與所售產(chǎn)品(噸)之間存在二次函數(shù)關(guān)系.當時， ；當時，信息2：銷售種產(chǎn)品所獲利潤 (萬元)與所售產(chǎn)品(噸)之間存在正比例函數(shù)關(guān)系根據(jù)以上信息，解答以下問題：(1)求二次函數(shù)解析式；(2)該公司

10、準備購進兩種產(chǎn)品共10噸，請設(shè)計一個營銷方案，使銷售兩種產(chǎn)品獲得的利潤之和最大，最大利潤是多少？4為鼓勵大學畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，某市政府出臺了相關(guān)政策：由政府協(xié)調(diào)，本市企業(yè)按本錢價提供產(chǎn)品給大學畢業(yè)生自主銷售，本錢價與出廠價之間的差價由政府承擔李明按照相關(guān)政策投資銷售本市生產(chǎn)的一種新型節(jié)能燈這種節(jié)能燈的本錢價為每件10元，出廠價為每件12元，每月銷售量件與銷售單價元之間的關(guān)系近似滿足一次函數(shù)：1李明在開始創(chuàng)業(yè)的第一個月將銷售單價定為20元，那么政府這個月為他承擔的總差價為多少元？2設(shè)李明獲得的利潤為元，當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？3物價部門規(guī)定，這種節(jié)能燈的銷售單價不得高于25元如

11、果李明想要每月獲得的利潤不低于3000元，那么政府為他承擔的總差價最少為多少元？5某文具店銷售一種進價為10元/個的簽字筆，物價部門規(guī)定這種簽字筆的售價不得高于14元/個，根據(jù)以往經(jīng)驗：以12元/個的價格銷售，平均每周銷售簽字筆100個；假設(shè)每個簽字筆的銷售價格每提高1元，那么平均每周少銷售簽字筆10個. 設(shè)銷售價為x元/個.1該文具店這種簽字筆平均每周的銷售量為 個用含x的式子表示；2求該文具店這種簽字筆平均每周的銷售利潤w元與銷售價x元/個之間的函數(shù)關(guān)系式；3當x取何值時，該文具店這種簽字筆平均每周的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？6一汽車租賃公司擁有某種型號的汽車100輛公司在經(jīng)營中發(fā)現(xiàn)

12、每輛車的月租金x(元)與每月租出的車輛數(shù)(y)有如下關(guān)系：x3000320035004000y1009690801觀察表格，用所學過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)或二次函數(shù)的有關(guān)知識求出每月租出的車輛數(shù)y輛與每輛車的月租金x元之間的關(guān)系式.2租出的車每輛每月需要維護費150元，未租出的車每輛每月需要維護費50元用含xx3000的代數(shù)式填表:租出的車輛數(shù) 未租出的車輛數(shù) 租出每輛車的月收益 所有未租出的車輛每月的維護費 3假設(shè)你是該公司的經(jīng)理，你會將每輛車的月租金定為多少元，才能使公司獲得最大月收益？請求出公司的最大月收益是多少元初中數(shù)學專項訓練：實際問題與二次函數(shù)參考答案一、11y=2x2-2ax+a

13、2 (2) 有.當點E是AB的中點時，面積最大.【解析】此題考查了二次函數(shù)的應用.1先由AAS證明AEFDHE，得出AE=DH=x米，AF=DE=a-x米，再根據(jù)勾股定理，求出EF2，即可得到S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；2先將1中求得的函數(shù)關(guān)系式運用配方法寫成頂點式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解解：四邊形ABCD是邊長為a米的正方形，A=D=90°，AD= a米四邊形EFGH為正方形，F(xiàn)EH=90°，EF=EH在AEF與DHE中，A=D，AEF=DHE=90°-DEH，EF=EHAEFDHEAAS，AE=DH=x米，AF=DE=a-x米，y=EF2=AE2+AF2=x

14、2+a-x2=2x2-2ax+ a2，即y=2x2-2ax+ a2；2y=2x2-2ax+ a2=2x-2+，當x=時，S有最大值故當點E是AB的中點時，面積最大2、 練習11 2 3【解析】此題考查了二次函數(shù)的應用.1此題需先根據(jù)條件把x=0代入拋物線的解析式，從而得出y的值，即可求出答案2通過拋物線的頂點坐標求得3此題需先根據(jù)條件把y=0代入拋物線求出所要求的式子，再得出x的值，即可求出答案解：1把x=0代入拋物線的解析式得：y=，即柱子OA的高度是2由題意得：當x=時，y=,即水流距水平面的最大高度3把y=0代入拋物線得：=0，解得，x1=(舍去，不合題意)，x2=故水池的半徑至少要米才

15、能使噴出的水流不至于落在池外21；10；214.5；【解析】試題分析：1利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；根據(jù)題意得出y=3時，求出x的值即可；2構(gòu)造直角三角形利用BW2=BC2+CW2，求出即可；在RTWGF中，由題可知，WF=14.5，WG=14.51=13.5，根據(jù)勾股定理知：GF2=WF2WG2，求出即可試題解析：1設(shè)拋物線解析式為：，橋下水面寬度AB是20米，高CD是4米，A10，0，B10，0，D0，4，解得：，拋物線解析式為：；要使高為3米的船通過，那么，解得：，EF=10米；2設(shè)圓半徑r米，圓心為W，BW2=BC2+CW2，解得：；在RTWGF中，由題可知，WF=14.5，WG=

16、14.51=13.5，根據(jù)勾股定理知：GF2=WF2WG2，即GF2=14.5213.52=28，所以GF=，此時寬度EF=米考點：1二次函數(shù)的應用；2垂徑定理的應用三、1(1y=-3x+240；(2)w=-3x2+360x-9600；(3)定價為55元時，可以獲得最大利潤是1125元.【解析】試題分析：1根據(jù)題意知銷售量y(只)與銷售價x(元只)之間的函數(shù)關(guān)系式為y=90-3x-50=-3x+240；(2)根據(jù)“總利潤=每件商品的利潤×銷售量可知w=x-40y=x-40-3x+240=-3x2+360x-9600；(3)求獲得最大利潤，也就是求函數(shù)w=-3x2+360x-9600的

17、最大值.試題解析：( 1y=90-3x-50即y=-3x+240； 2w=x-40y=x-40-3x+240=-3x2+360x-9600；(3)當x60，y隨x的增大而減小，當x=55時，w最大=1125所以定價為55元時，可以獲得最大利潤是1125元.考點：1一次函數(shù)；2二次函數(shù)21；2該產(chǎn)品銷售價定為每千克30元時，每天銷售利潤最大，最大銷售利潤200元.【解析】試題分析：1根據(jù)銷售額=銷售量×銷售價單x，列出函數(shù)關(guān)系式；2用配方法將2的函數(shù)關(guān)系式變形，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值.試題解析：1由題意得：，w與x的函數(shù)關(guān)系式為：.2，20，當x=30時，w有最大值w最大值為200

18、.答：該產(chǎn)品銷售價定為每千克30元時，每天銷售利潤最大，最大銷售利潤200元.考點：1.二次函數(shù)的應用；2.由實際問題列函數(shù)關(guān)系式；3.二次函數(shù)的最值.3見解析【解析】試題分析：1因為當x=1時，y=1.4；當x=3時，y=3.6，代入得 解得 ，所以，二次函數(shù)解析式為y=-0.1x2+1.5x； 2設(shè)購進A產(chǎn)品m噸，購進B產(chǎn)品10-m噸，銷售A、B兩種產(chǎn)品獲得的利潤之和為W元，根據(jù)題意可列函數(shù)關(guān)系式為：W=-0.1m2+1.5m+0.310-m=-0.1m2+1.2m+3=-0.1m-62+6.6，因為-0.10，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)知當m=6時，W有最大值6.6， 試題解析：1當x=1時，y

19、=1.4；當x=3時，y=3.6， 解得 ，所以，二次函數(shù)解析式為y=-0.1x2+1.5x； 3分2設(shè)購進A產(chǎn)品m噸，購進B產(chǎn)品10-m噸，銷售A、B兩種產(chǎn)品獲得的利潤之和為W元，那么W=-0.1m2+1.5m+0.310-m=-0.1m2+1.2m+3=-0.1m-62+6.6，-0.10，當m=6時，W有最大值6.6， 購進A產(chǎn)品6噸，購進B產(chǎn)品4噸，銷售A、B兩種產(chǎn)品獲得的利潤之和最大，最大利潤是6.6萬元 考點：1.待定系數(shù)法求解析式.2.二次函數(shù)性質(zhì).41政府這個月為他承擔的總差價為600元；2當銷售單價定為30元時，每月可獲得最大利潤4000；3銷售單價定為25元時，政府每個月為

20、他承擔的總差價最少為500元.【解析】試題分析：1根據(jù)每月銷售量件與銷售單價元之間的關(guān)系可求得每月銷售量，又由單價和本錢間關(guān)系得到每件節(jié)能燈的差價，那么可得到總差價.2求每月可獲得最大利潤，即為求該二次函數(shù)的最大值，將二次函數(shù)配方法，可得該函數(shù)的最大值.3同時滿足，根據(jù)函數(shù)圖象的性質(zhì)知道，隨的增大而減小，當時，該函數(shù)有最大值時，有最小值500.試題解析：1當時，政府這個月為他承擔的總差價為600元。2依題意得，當時，有最大值4000.當銷售單價定為30元時，每月可獲得最大利潤40003由題意得：，解得：，.，拋物線開口向下，結(jié)合圖象可知：當時，.又，當時，w3000.設(shè)政府每個月為他承擔的總差價為