初中數(shù)學(xué)人教版第二十二章二次函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)和典型例題

1、初中數(shù)學(xué)人教版第二十二章二次函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)和典型例題初中數(shù)學(xué)人教版第二十二章二次函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)和典型例題:² 相關(guān)概念及定義Ø 二次函數(shù)的概念：一般地，形如是常數(shù)，的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù)，而可以為零二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)Ø 二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征： 等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量的二次式，的最高次數(shù)是2 是常數(shù)，是二次項(xiàng)系數(shù)，是一次項(xiàng)系數(shù)，是常數(shù)項(xiàng)² 二次函數(shù)各種形式之間的變換Ø 二次函數(shù)用配方法可化成：的形式，其中.Ø 二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：；.² 二次函數(shù)解析

2、式的表示方法Ø 一般式：，為常數(shù)，；Ø 頂點(diǎn)式：，為常數(shù)，；Ø 兩根式：，是拋物線與軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo).Ø 注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，只有拋物線與軸有交點(diǎn)，即時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.² 二次函數(shù)圖象的畫法Ø 五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，確定其開口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱軸兩側(cè)，左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫圖.一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)、以及關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)，假設(shè)與軸沒有交點(diǎn)，那么取兩組關(guān)

3、于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn).Ø 畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)，與軸的交點(diǎn).² 二次函數(shù)的性質(zhì)的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上軸時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，有最小值向下軸時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值² 二次函數(shù)的性質(zhì)的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上軸時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，有最小值向下軸時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值² 二次函數(shù)的性質(zhì)：的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上X=h時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，有最小值向下X=h時(shí)，隨的增

4、大而減小；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值² 二次函數(shù)的性質(zhì)的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上X=h時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，有最小值向下X=h時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值² 拋物線的三要素：開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn).Ø 的符號(hào)決定拋物線的開口方向：當(dāng)時(shí)，開口向上；當(dāng)時(shí)，開口向下；相等，拋物線的開口大小、形狀相同.Ø 對(duì)稱軸：平行于軸或重合的直線記作.特別地，軸記作直線.Ø 頂點(diǎn)坐標(biāo)：Ø 頂點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是

5、頂點(diǎn)的位置不同.² 拋物線中，與函數(shù)圖像的關(guān)系Ø 二次項(xiàng)系數(shù)二次函數(shù)中，作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然 當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，越大，開口越小，反之的值越小，開口越大； 當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，越小，開口越小，反之的值越大，開口越大總結(jié)起來(lái)，決定了拋物線開口的大小和方向，的正負(fù)決定開口方向，的大小決定開口的大小Ø 一次項(xiàng)系數(shù) 在二次項(xiàng)系數(shù)確定的前提下，決定了拋物線的對(duì)稱軸 在的前提下，當(dāng)時(shí)，即拋物線的對(duì)稱軸在軸左側(cè)；當(dāng)時(shí)，即拋物線的對(duì)稱軸就是軸；當(dāng)時(shí)，即拋物線對(duì)稱軸在軸的右側(cè) 在的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當(dāng)時(shí)，即拋物線的對(duì)稱軸在軸右側(cè)；當(dāng)時(shí)，即拋物線的對(duì)稱軸就是軸；當(dāng)時(shí)，

6、即拋物線對(duì)稱軸在軸的左側(cè)總結(jié)起來(lái)，在確定的前提下，決定了拋物線對(duì)稱軸的位置總結(jié)：Ø 常數(shù)項(xiàng) 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸上方，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正； 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為； 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸下方，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù) 總結(jié)起來(lái)，決定了拋物線與軸交點(diǎn)的位置 總之，只要都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的² 求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法Ø 公式法：，頂點(diǎn)是，對(duì)稱軸是直線.Ø 配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點(diǎn)為(,)，對(duì)稱軸是直線.Ø 運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性：由于

7、拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形，所以對(duì)稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對(duì)稱軸，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn). 用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬(wàn)無(wú)一失.² 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式Ø 一般式：.圖像上三點(diǎn)或三對(duì)、的值，通常選擇一般式.Ø 頂點(diǎn)式：.圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式.Ø 交點(diǎn)式：圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、，通常選用交點(diǎn)式：.² 直線與拋物線的交點(diǎn)Ø 軸與拋物線得交點(diǎn)為(0, ).Ø 與軸平行的直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)(,).Ø 拋物線與軸的交點(diǎn):二次函數(shù)的圖像與軸的兩個(gè)交

8、點(diǎn)的橫坐標(biāo)、，是對(duì)應(yīng)一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定： 有兩個(gè)交點(diǎn)拋物線與軸相交； 有一個(gè)交點(diǎn)頂點(diǎn)在軸上拋物線與軸相切； 沒有交點(diǎn)拋物線與軸相離.Ø 平行于軸的直線與拋物線的交點(diǎn) 可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為，那么橫坐標(biāo)是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.Ø 一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點(diǎn)，由方程組 的解的數(shù)目來(lái)確定：方程組有兩組不同的解時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn); 方程組只有一組解時(shí)與只有一個(gè)交點(diǎn)；方程組無(wú)解時(shí)與沒有交點(diǎn).Ø 拋物線與軸兩交點(diǎn)之間的距離：假設(shè)拋物線與軸兩交點(diǎn)為，由于

9、、是方程的兩個(gè)根，故² 二次函數(shù)圖象的對(duì)稱:二次函數(shù)圖象的對(duì)稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)Ø 關(guān)于軸對(duì)稱 關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是； 關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是；Ø 關(guān)于軸對(duì)稱 關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是； 關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是；Ø 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是； 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是；Ø 關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱 關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是；關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是Ø 關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是Ø 總結(jié)：根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，顯然無(wú)論作何種對(duì)稱變換，拋物線的形狀一

10、定不會(huì)發(fā)生變化，因此永遠(yuǎn)不變求拋物線的對(duì)稱拋物線的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原那么，選擇適宜的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線或表達(dá)式的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，再確定其對(duì)稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其對(duì)稱拋物線的表達(dá)式² 二次函數(shù)圖象的平移Ø 平移步驟： 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)； 保持拋物線的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到處，具體平移方法如下：Ø 平移規(guī)律 在原有函數(shù)的根底上“值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減² 根據(jù)條件確定二次函數(shù)表達(dá)式的幾種根本思路。Ø 三點(diǎn)式。1，拋物線y

11、=ax2+bx+c 經(jīng)過(guò)A，0，B，0，C0，-3三點(diǎn)，求拋物線的解析式。2，拋物線y=a(x-1)+4 ， 經(jīng)過(guò)點(diǎn)A2，3，求拋物線的解析式。Ø 頂點(diǎn)式。1，拋物線y=x2-2ax+a2+b 頂點(diǎn)為A2，1，求拋物線的解析式。2，拋物線 y=4(x+a)2-2a 的頂點(diǎn)為3，1，求拋物線的解析式。Ø 交點(diǎn)式。1，拋物線與 x 軸兩個(gè)交點(diǎn)分別為3，0,(5,0),求拋物線y=(x-a)(x-b)的解析式。2，拋物線線與 x 軸兩個(gè)交點(diǎn)4，0，1，0求拋物線y=a(x-2a)(x-b)的解析式。Ø 定點(diǎn)式。1，在直角坐標(biāo)系中，不管a 取何值，拋物線經(jīng)過(guò)x 軸上一定點(diǎn)

12、Q，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q,求拋物線的解析式。2，拋物線y= x2 +(2m-1)x-2m與x軸的一定交點(diǎn)經(jīng)過(guò)直線y=mx+m+4，求拋物線的解析式。3，拋物線y=ax2+ax-2過(guò)直線y=mx-2m+2上的定點(diǎn)A，求拋物線的解析式。Ø 平移式。1， 把拋物線y= -2x2 向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到拋物線y=a( x-h)2 +k,求此拋物線解析式。2， 拋物線向上平移,使拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(0,2),求拋物線的解析式.Ø 距離式。1，拋物線y=ax2+4ax+1(a0)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為2，求拋物線的解析式。2，拋物線y=m x2+3mx-4m(m0)

13、與 x軸交于A、B兩點(diǎn)，與 軸交于C點(diǎn)，且AB=BC,求此拋物線的解析式。Ø 對(duì)稱軸式。1、拋物線y=x2-2x+(m2-4m+4)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，這兩點(diǎn)間的距離等于拋物線頂點(diǎn)到y(tǒng)軸距離的2倍，求拋物線的解析式。2、 拋物線y=-x2+ax+4, 交x軸于A,B點(diǎn)A在點(diǎn)B左邊兩點(diǎn)，交 y軸于點(diǎn)C,且OB-OA=OC，求此拋物線的解析式。Ø 對(duì)稱式。1， 平行四邊形ABCD對(duì)角線AC在x軸上，且A-10，0，AC=16，D2，6。AD交y 軸于E，將三角形ABC沿x 軸折疊，點(diǎn)B到B1的位置，求經(jīng)過(guò)A,B,E三點(diǎn)的拋物線的解析式。2， 求與拋物線y=x2+4x+3關(guān)于y軸或

14、x軸對(duì)稱的拋物線的解析式。Ø 切點(diǎn)式。1，直線y=ax-a2(a0) 與拋物線y=mx2 有唯一公共點(diǎn)，求拋物線的解析式。2， 直線y=x+a 與拋物線y=ax2 +k 的唯一公共點(diǎn)A2，1,求拋物線的解析式。Ø 判別式式。1、關(guān)于X的一元二次方程m+1x2+2(m+1)x+2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求拋物線y=-x2+(m+1)x+3解析式。2、 拋物線y=(a+2)x2-(a+1)x+2a的頂點(diǎn)在x軸上,求拋物線的解析式。3、拋物線y=(m+1)x2+(m+2)x+1與x軸有唯一公共點(diǎn)，求拋物線的解析式。二次函數(shù)測(cè)試題一、選擇題每題3分，共30分1.拋物線的對(duì)稱軸是 A

15、直線B直線C直線D直線2對(duì)于拋物線，以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是 A開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)B開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)C開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)D開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)3.假設(shè)A，B，C為二次函數(shù)的圖象上的三點(diǎn)，那么的大小關(guān)系是( ) ABCD4.二次函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)，那么的取值范圍是( )ABC D5拋物線向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得到的拋物線是( ) A B C D6煙花廠為揚(yáng)州三月經(jīng)貿(mào)旅游節(jié)特別設(shè)計(jì)制作一種新型禮炮，這種禮炮的升空高度與飛行時(shí)間的關(guān)系式是，假設(shè)這種禮炮在點(diǎn)火升空到最高點(diǎn)處引爆，那么從點(diǎn)火升空到引爆需要的時(shí)間為ABCDxy24820 7.如下列圖是二次函數(shù)的圖象在軸上方的一局部，對(duì)于這

16、段圖象與軸所圍成的陰影局部的面積，你認(rèn)為與其最接近的值是 A4BC D8.如圖，某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料，為節(jié)約資源，現(xiàn)要按圖中所示的方法從這些邊角料上截取矩形陰影局部鐵皮備用，當(dāng)截取的矩形面積最大時(shí)，矩形兩邊長(zhǎng)應(yīng)分別為 AB CD9如圖，當(dāng)0時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的圖象大致是 O1xy10.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖像如下列圖,以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是( )Aac0 B當(dāng)x=1時(shí),y0C方程ax2+bx+c=0(a0)有兩個(gè)大于1的實(shí)數(shù)根D存在一個(gè)大于1的實(shí)數(shù)x0,使得當(dāng)xx0時(shí),y隨x的增大而減小; 當(dāng)xx0時(shí),y隨x的增大而增大.二、填空題每題3分，共18分10.平移拋物線

17、，使它經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，寫出平移后拋物線的一個(gè)解析式 .11. 拋物線的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，那么 .xyO12.將化成的形式為 .13.某商店經(jīng)營(yíng)一種水產(chǎn)品，本錢為每千克40元的水產(chǎn)品，據(jù)市場(chǎng)分析，假設(shè)按每千克50元銷售，一個(gè)月能售出500千克；銷售價(jià)每漲1元，月銷售量就減少10千克，針對(duì)這種水產(chǎn)品的銷售情況，銷售單價(jià)定為 元時(shí)，獲得的利潤(rùn)最多.14.二次函數(shù)的圖象如下列圖，那么點(diǎn)在第 象限15.二次函數(shù)的局部圖象如右圖所示，那么關(guān)于的一元二次方程的解為 16老師給出一個(gè)二次函數(shù),甲,乙,丙三位同學(xué)各指出這個(gè)函數(shù)的一個(gè)性質(zhì)： 甲：函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)第一、二、四象限；乙：當(dāng)2時(shí)，隨的增大而減小.丙：函數(shù)的圖像與坐

18、標(biāo)軸只有兩個(gè)交點(diǎn).這三位同學(xué)表達(dá)都正確，請(qǐng)構(gòu)造出滿足上述所有性質(zhì)的一個(gè)函數(shù)_.三、解答題第17小題6分，第18、19小題各7分，共20分17.一拋物線與x軸的交點(diǎn)是、B1，0，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)C2，8。1求該拋物線的解析式；2求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)。18. 拋物線的局部圖象如下列圖.1求c的取值范圍；2假設(shè)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，試確定拋物線的解析式；19二次函數(shù)的圖象如下列圖，根據(jù)圖象解答以下問(wèn)題：1寫出方程的兩個(gè)根；2寫出隨的增大而減小的自變量的取值范圍；3假設(shè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍.四、第小題8分，共16分20.小李想用籬笆圍成一個(gè)周長(zhǎng)為60米的矩形場(chǎng)地，矩形面積S單位：平方米隨矩形一邊長(zhǎng)x單位：米的變化而變化1求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；2當(dāng)x是多少時(shí)，矩形場(chǎng)地面積S最大？最大面積是多少？21某商場(chǎng)將進(jìn)價(jià)為30元的書包以40元售出， 平均每月能售出600個(gè)，調(diào)查說(shuō)明：這種書包的售價(jià)每上漲1元，其銷售量就減少10個(gè)。1請(qǐng)寫出每月售出書包的利潤(rùn)y元與每個(gè)書包漲價(jià)x元間的函數(shù)關(guān)系式；2設(shè)每月的利潤(rùn)為10000的利潤(rùn)是否為該月最大利潤(rùn)？如果是，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不是，請(qǐng)求出最大利潤(rùn)，并指出此時(shí)書包的售價(jià)應(yīng)定為多少元。3請(qǐng)分析并答復(fù)售價(jià)在什么范圍內(nèi)商家就可獲得