高等數(shù)學(xué)級數(shù)第一節(jié)

1、第十一章第十一章 級數(shù)級數(shù)第一節(jié)第一節(jié) 無窮級數(shù)的概念及性質(zhì)無窮級數(shù)的概念及性質(zhì) nuuuu321 nkknnuuuuS121 2部分和：部分和：、,11uS ,212uuS ,3213uuuS ,21nnuuuS 則則稱稱和和是是一一給給定定的的數(shù)數(shù)列列，設(shè)設(shè)無無窮窮級級數(shù)數(shù)：、 1nu，記為記為 1 nnu即：即：對應(yīng)一個部分和數(shù)列對應(yīng)一個部分和數(shù)列，給定級數(shù)給定級數(shù)顯然，顯然， , 1nnnSu .稱為級數(shù)的一般項稱為級數(shù)的一般項而而nu, nnnuuuuu3211即即.為無窮級數(shù)為無窮級數(shù).稱稱為為無無窮窮級級數(shù)數(shù)的的部部分分和和無無窮窮級級數(shù)數(shù)的的收收斂斂與與發(fā)發(fā)散散一一、 ，存存在

2、在極極限限的的部部分分和和數(shù)數(shù)列列若若級級數(shù)數(shù)SSunnn1 1收斂，收斂，則稱級數(shù)則稱級數(shù) nnu，即即SSnn lim 記為記為稱為該級數(shù)的和，稱為該級數(shù)的和，且極限且極限 S.211Suuuunnn .1發(fā)散發(fā)散則稱級數(shù)則稱級數(shù) nnunnSSr 21nnuu 1nkku級數(shù)收斂：級數(shù)收斂：、 3級數(shù)發(fā)散：級數(shù)發(fā)散：、 4余項：余項：、 5則則稱稱收收斂斂，設(shè)設(shè)級級數(shù)數(shù) 1 nnu不不存存在在，若若極極限限nnS lim.lim 1存在存在收斂收斂級數(shù)級數(shù)說明：說明：nnnnSu .lim1不不存存在在發(fā)發(fā)散散級級數(shù)數(shù)nnnnSu .1的余項的余項為級數(shù)為級數(shù) nnu且且，產(chǎn)生的誤差為產(chǎn)

3、生的誤差為代替和代替和這時用這時用 nnrSS. 0)(limlim nnnnSSrnnSSr 21nnuu 1nkku余項：余項：、 5則則稱稱收收斂斂，設(shè)設(shè)級級數(shù)數(shù) 1 nnu.1的余項的余項為級數(shù)為級數(shù) nnu.lim 1存在存在收斂收斂級數(shù)級數(shù)說明：說明：nnnnSu .lim1不不存存在在發(fā)發(fā)散散級級數(shù)數(shù)nnnnSu )1(1321211 nnSn解：解：1113121211 nn)111(limlim nSnnn，111 n. 1 . 1 S且且和和. )1(1321211)1(1 11若若收收斂斂求求其其和和的的斂斂散散性性，判判斷斷、例例 nnnnn收斂，收斂，故故 1)1(1

4、 nnn12 nnaqaqaqaS解解：.1 1)1( 時時當(dāng)當(dāng)， qqqan 1時，時，當(dāng)當(dāng) q，qaSnn 1lim時，時，當(dāng)當(dāng)1 q， nnSlim 收收斂斂，故故級級數(shù)數(shù) 11 nnaq. 11發(fā)發(fā)散散故故級級數(shù)數(shù) nnaq.1qa 且和為且和為.)0()( 21211的斂散性的斂散性幾何級數(shù)幾何級數(shù)討論等比級數(shù)討論等比級數(shù)、例例 aaqaqaqaaqnnn,1時時當(dāng)當(dāng) q不不存存在在，nnS lim . 12 , 2, 0knaknSn，時時當(dāng)當(dāng)，1 qna時，時，當(dāng)當(dāng)1 q， nnSlim . 11發(fā)發(fā)散散故故級級數(shù)數(shù) nnaq. 11發(fā)發(fā)散散故故級級數(shù)數(shù) nnaq. 11發(fā)發(fā)散散

5、級級數(shù)數(shù) nnaq時時，因因此此當(dāng)當(dāng)1 q收收斂斂；級級數(shù)數(shù) 11 nnaq時，時，當(dāng)當(dāng)1 q時，時，當(dāng)當(dāng)1 q， nnSlim 收收斂斂，故故級級數(shù)數(shù) 11 nnaq. 11發(fā)發(fā)散散故故級級數(shù)數(shù) nnaq.1qa 且和為且和為,1時時當(dāng)當(dāng) q不不存存在在，nnS lim . 12 , 2, 0knaknSn，時，時，當(dāng)當(dāng)1 q， nnSlim . 11發(fā)發(fā)散散故故級級數(shù)數(shù) nnaq.)0()( 21211的的斂斂散散性性幾幾何何級級數(shù)數(shù)討討論論等等比比級級數(shù)數(shù)、例例 aaqaqaqaaqnnn級數(shù)的基本性質(zhì)級數(shù)的基本性質(zhì)二、二、 ，、的的部部分分和和分分別別為為、設(shè)設(shè)級級數(shù)數(shù)證證：nnnnn

6、nSkuu 11 nnkukuku 21 則則)(limlimnnnnkS nnSk lim.kS . 1kSkunn且且和和為為收收斂斂，故故級級數(shù)數(shù) . )( 2111 SvuSvunnnnnnn且且其其和和為為也也收收斂斂，則則級級數(shù)數(shù)，、分分別別收收斂斂于于、設(shè)設(shè)級級數(shù)數(shù)、，、的的部部分分和和分分別別為為、設(shè)設(shè)級級數(shù)數(shù)證證：nnnnnnSvu 11 . 111kSkuSunnnn且且和和為為收收斂斂，則則級級數(shù)數(shù)，收收斂斂于于設(shè)設(shè)級級數(shù)數(shù)、 ,nkS )(21nuuuk . 0 11的斂散性相同的斂散性相同與與級數(shù)級數(shù)時，時，當(dāng)當(dāng)說明：說明： nnnnkuuk級數(shù)的基本性質(zhì)級數(shù)的基本性

7、質(zhì)二、二、 . )( 2111 SvuSvunnnnnnn且且其其和和為為也也收收斂斂，則則級級數(shù)數(shù)，、分分別別收收斂斂于于、設(shè)設(shè)級級數(shù)數(shù)、，、的的部部分分和和分分別別為為、設(shè)設(shè)級級數(shù)數(shù)證證：nnnnnnSvu 11 . 111kSkuSunnnn且且和和為為收收斂斂，則則級級數(shù)數(shù)，收收斂斂于于設(shè)設(shè)級級數(shù)數(shù)、 )(1的部分和為的部分和為則級數(shù)則級數(shù) nnnvu)()()(2211nnnvuvuvu )()(2121nnvvvuuu ，nnS )(limlimnnnnnS . S. )(1 Svunnn且且和和為為收收斂斂，故故級級數(shù)數(shù)級數(shù)的基本性質(zhì)級數(shù)的基本性質(zhì)二、二、 . )( 2111 S

8、vuSvunnnnnnn且且其其和和為為也也收收斂斂，則則級級數(shù)數(shù)，、分分別別收收斂斂于于、設(shè)設(shè)級級數(shù)數(shù)、. 111kSkuSunnnn且且和和為為收收斂斂，則則級級數(shù)數(shù)，收收斂斂于于設(shè)設(shè)級級數(shù)數(shù)、 . 逐項相減逐項相減收斂級數(shù)可逐項相加與收斂級數(shù)可逐項相加與說明：說明：發(fā)散嗎？發(fā)散嗎？兩個發(fā)散級數(shù)的和一定兩個發(fā)散級數(shù)的和一定問題：問題： . 不一定發(fā)散不一定發(fā)散答案：答案：都都發(fā)發(fā)散散，、等等比比級級數(shù)數(shù)例例如如、 111)1( )1( nnnn. )1()1(11收收斂斂但但級級數(shù)數(shù) nnn和一定發(fā)散嗎？和一定發(fā)散嗎？收斂級數(shù)與發(fā)散級數(shù)的收斂級數(shù)與發(fā)散級數(shù)的問題：問題： . 一一定定發(fā)發(fā)散

9、散答答案案：級數(shù)的基本性質(zhì)級數(shù)的基本性質(zhì)二、二、 . )( 2111 SvuSvunnnnnnn且且其其和和為為也也收收斂斂，則則級級數(shù)數(shù)，、分分別別收收斂斂于于、設(shè)設(shè)級級數(shù)數(shù)、. 3其其和和一一般般是是改改變變的的但但在在收收斂斂時時，的的斂斂散散性性，不不改改變變級級數(shù)數(shù)項項，增增加加或或改改變變級級數(shù)數(shù)的的有有限限去去掉掉、)2( )1( 21121 nkkknkkkuuukuuuuu項項得得到到級級數(shù)數(shù)去去掉掉前前面面設(shè)設(shè)級級數(shù)數(shù)證證：nkkknuuu 21 則則，記記Ssnknnn lim lim . kSS 則則， knkSS . 同同時時收收斂斂或或同同時時發(fā)發(fā)散散與與時時，故故

10、當(dāng)當(dāng)nnkSn ，、的的部部分分和和分分別別為為、設(shè)設(shè)級級數(shù)數(shù)nnS )2( )1(. 其和一般會改變其和一般會改變故收斂時，故收斂時，級數(shù)的基本性質(zhì)級數(shù)的基本性質(zhì)二、二、 . 3其其和和一一般般是是改改變變的的但但在在收收斂斂時時，的的斂斂散散性性，不不改改變變級級數(shù)數(shù)項項，增增加加或或改改變變級級數(shù)數(shù)的的有有限限去去掉掉、)1( 211 nnnuuuu證證：設(shè)設(shè)級級數(shù)數(shù)nnmmS limlim 故故,93S ,nmS .S . , 4且且其其和和不不變變級級數(shù)數(shù)仍仍收收斂斂收收斂斂級級數(shù)數(shù)加加括括弧弧后后所所得得、)2( )()( 54321 uuuuu進(jìn)進(jìn)行行如如下下加加括括弧?。? 2

11、1S 則則,52S ，、的的部部分分和和分分別別為為、設(shè)設(shè)級級數(shù)數(shù)nnS )2( )1(，且且其其和和為為收收斂斂，級級數(shù)數(shù)S )2(.即其和不變即其和不變. 級級數(shù)數(shù)未未必必收收斂斂收收斂斂級級數(shù)數(shù)去去括括弧弧后后所所得得說說明明：. , 4且且其其和和不不變變級級數(shù)數(shù)仍仍收收斂斂收收斂斂級級數(shù)數(shù)加加括括弧弧后后所所得得、級數(shù)的基本性質(zhì)級數(shù)的基本性質(zhì)二、二、 )11()11()11( 1n例例如如、 11)1(1111 nn但但 收斂收斂 發(fā)散發(fā)散. 則則原原級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散發(fā)發(fā)散散，若若加加括括弧弧后后所所得得的的級級數(shù)數(shù)推推論論：. 級級數(shù)數(shù)未未必必收收斂斂收收斂斂級級數(shù)數(shù)去去括括弧弧后

12、后所所得得說說明明：設(shè)原級數(shù)收斂，設(shè)原級數(shù)收斂，證：證： 加括弧得到一級數(shù)，加括弧得到一級數(shù)，則按照已知條件的方式則按照已知條件的方式得該級數(shù)收斂，得該級數(shù)收斂，由性質(zhì)由性質(zhì)4.與已知矛盾與已知矛盾.故原級數(shù)發(fā)散故原級數(shù)發(fā)散級級數(shù)數(shù)收收斂斂的的必必要要條條件件三三、 . 0lim 1 nnnnuu則則收收斂斂，設(shè)設(shè)級級數(shù)數(shù)，的的部部分分和和為為證證：設(shè)設(shè)級級數(shù)數(shù)nnnSu 1，則則1 nnnSSu)(limlim1 nnnnnSSu且且SS . 0 .14332211 31的斂散性的斂散性判斷級數(shù)判斷級數(shù)、例例 nnnnn,limSSnn 且且1limlim nnnnSS1limlim nnu

13、nnn解：解：1 ，0 .1 1發(fā)發(fā)散散級級數(shù)數(shù) nnn級級數(shù)數(shù)收收斂斂的的必必要要條條件件三三、 . 0lim 11 nnnnuu則則收收斂斂，設(shè)設(shè)級級數(shù)數(shù)必必要要條條件件：、. 0lim 21發(fā)散發(fā)散則級數(shù)則級數(shù)，設(shè)設(shè)推論：推論：、 nnnnuau. 斷斷級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散的的方方法法上上述述推推論論給給出出了了一一個個判判說說明明：，顯顯然然01limlim nunnn,1312111 1 nnn調(diào)調(diào)和和級級數(shù)數(shù)例例如如，.11發(fā)發(fā)散散但但級級數(shù)數(shù) nn，且且其其和和為為收收斂斂，假假設(shè)設(shè)事事實實上上，Snn 1 1 .為部分和為部分和其中其中nS，則則SSnn lim，SSnn 2lim

14、. 0)(lim2 SSSSnnn級級數(shù)數(shù)收收斂斂的的必必要要條條件件三三、 . 0lim 11 nnnnuu則則收收斂斂，設(shè)設(shè)級級數(shù)數(shù)必必要要條條件件：、.0lim 1收收斂斂級級數(shù)數(shù)由由說說明明： nnnnuu，顯顯然然01limlim nunnn,1312111 1 nnn調(diào)調(diào)和和級級數(shù)數(shù)例例如如，.11發(fā)發(fā)散散但但級級數(shù)數(shù) nn，SSnn 2lim. 0)(lim2 SSSSnnn級級數(shù)數(shù)收收斂斂的的必必要要條條件件三三、 . 0lim 11 nnnnuu則則收收斂斂，設(shè)設(shè)級級數(shù)數(shù)必必要要條條件件：、.0lim 1收收斂斂級級數(shù)數(shù)由由說說明明： nnnnuunnnSSnn2121112

15、 又又nnn212121 ，0)(lim2 nnnSS.)1( 矛盾矛盾與與.21 )1(.11發(fā)發(fā)散散故故級級數(shù)數(shù) nn第十一章第十一章 級數(shù)級數(shù)第二節(jié)第二節(jié) 正正項級數(shù)的審斂法項級數(shù)的審斂法有有界界部部分分和和數(shù)數(shù)列列收收斂斂正正項項級級數(shù)數(shù)1nnnSu 收收斂斂，設(shè)設(shè)”“證證 1 :nnu.有有界界nS,單調(diào)增加單調(diào)增加nS收收斂斂，nS.1收收斂斂故故正正項項級級數(shù)數(shù) nnu. 0 11為正項級數(shù)為正項級數(shù)則稱級數(shù)則稱級數(shù)，設(shè)設(shè)正項級數(shù)：正項級數(shù)：、 nnnuu收斂，收斂，則數(shù)列則數(shù)列nS有界，有界，”設(shè)”設(shè)“nS，0 nu，nnSS 1. !1 11的的斂斂散散性性判判斷斷級級數(shù)數(shù)、

16、例例 nnnn 211!1 解解：2211 要條件要條件正項級數(shù)收斂的充分必正項級數(shù)收斂的充分必、 2!1! 21! 11nSn ，121 n. 0 11為正項級數(shù)為正項級數(shù)則稱級數(shù)則稱級數(shù)，設(shè)設(shè)正項級數(shù)：正項級數(shù)：、 nnnuu. !1 11的的斂斂散散性性判判斷斷級級數(shù)數(shù)、例例 nnnn 211!1 解解：2211 要條件要條件正項級數(shù)收斂的充分必正項級數(shù)收斂的充分必、 2!1! 21! 11nSn ，121 n!1! 21! 11 nSn 有有界界，得得由由0nnSS 121211 n1212 n. 2 211211 n.!1 1收收斂斂因因此此級級數(shù)數(shù) nn上上述述解解題題主主要要是是

17、利利用用：，1)21(!1 nn 11.) 21(nn收收斂斂而而，、的的部部分分和和分分別別為為、設(shè)設(shè)證證：nnnnnnSvu 11 .1收收斂斂故故 nnu，且且均均為為正正項項級級數(shù)數(shù)，和和設(shè)設(shè)nnnnnnvuvu 11也也收收斂斂；則則收收斂斂，若若 11 )1(nnnnuv. )2(11也發(fā)散也發(fā)散則則發(fā)散，發(fā)散，若若 nnnnvu收斂，收斂，若若 1 )1(nnv，MSn . 11nnkknkknvuS 則則，則則Mn 發(fā)散，發(fā)散，若若 1)2(nnu.1發(fā)散發(fā)散故故 nnv無界，無界， n 無界，無界，則則nS比較判別法比較判別法、 3，且且均均為為正正項項級級數(shù)數(shù)，和和設(shè)設(shè)nn

18、nnnnvuvu 11也也收收斂斂；則則收收斂斂，若若 11 )1(nnnnuv. )2(11也發(fā)散也發(fā)散則則發(fā)散，發(fā)散，若若 nnnnvu比較判別法比較判別法、 3.) ()1(”可可改改為為“Nnvuvunnnn . (3)11未必收斂未必收斂收斂時，收斂時，當(dāng)當(dāng) nnnnvu. )4(11未未必必發(fā)發(fā)散散發(fā)發(fā)散散時時，當(dāng)當(dāng) nnnnuv幾點說明：幾點說明：.)0 ()2(”可可改改為為“ ccvuvunnnn時時，解解：當(dāng)當(dāng)1 p，因為因為nnp11 .11發(fā)散發(fā)散級數(shù)級數(shù)故故 npnp時時，當(dāng)當(dāng)1 poyx)1(1 pxyp1234，有有時時，當(dāng)當(dāng)ppxnnnx11 1 pppnnS1

19、31211 dxxdxxnnpp 121111dxxnp 111npxp11111 ，111 p發(fā)散，發(fā)散，又又 11nn.1 21的的斂斂散散性性級級數(shù)數(shù)判判斷斷、例例 npnpdxnnnnpp 111)11(1111 pnp.11 1nnpp 時時，當(dāng)當(dāng).11dxxnnp 時時，解解：當(dāng)當(dāng)1 p，因為因為nnp11 .11發(fā)散發(fā)散級數(shù)級數(shù)故故 npnp時時，當(dāng)當(dāng)1 poyx)1(1 pxyp1234，有有時時，當(dāng)當(dāng)ppxnnnx11 1 pppnnS131211 ，111 p發(fā)散，發(fā)散，又又 11nn.1 21的的斂斂散散性性級級數(shù)數(shù)判判斷斷、例例 npnpdxnnnnpp 111.11

20、1nnpp 時時，當(dāng)當(dāng).11dxxnnp 有界，有界，nS.11收斂收斂級數(shù)級數(shù)故故 npnp收斂，收斂，級數(shù)級數(shù)時，時，故當(dāng)故當(dāng) 11 1npnpp.1 11發(fā)發(fā)散散級級數(shù)數(shù)時時，當(dāng)當(dāng) npnpp，判斷下列級數(shù)的斂散性判斷下列級數(shù)的斂散性、例例 12)1(1)1( 3nnn收收斂斂，又又 1231nn.)1(1 12收斂收斂 nnn，解：解： 1)1(1 )1( 232nnn ，且且均均為為正正項項級級數(shù)數(shù)，和和設(shè)設(shè)nnnnnnvuvu 11也也收收斂斂；則則收收斂斂，若若 11 )1(nnnnuv. )2(11也發(fā)散也發(fā)散則則發(fā)散，發(fā)散，若若 nnnnvu比較判別法比較判別法、 3：比較判

21、別法的參考級數(shù)比較判別法的參考級數(shù)，等等比比級級數(shù)數(shù) 11nnaq.11 npnp級級數(shù)數(shù)，判斷下列級數(shù)的斂散性判斷下列級數(shù)的斂散性、例例 12)1(1)1( 3nnn 22311)2(nn，).0(11)3(1 aann.11 223發(fā)發(fā)散散 nn發(fā)發(fā)散散，又又 1321nn 111 )2(3232，nn )1(11 1)3(，時，時，當(dāng)當(dāng)nnaaa 收斂，收斂，而而 1)1( nna 1.11 nna收收斂斂故故111lim 1 nnaa時時，當(dāng)當(dāng) 1.11 nna發(fā)發(fā)散散故故，時，時，當(dāng)當(dāng)2111 1 naa 1.11nna發(fā)散發(fā)散故故 11 11收收斂斂；時時，因因此此當(dāng)當(dāng) nnaa.

22、11 11發(fā)發(fā)散散時時，當(dāng)當(dāng) nnaa，0 ，且且均均為為正正項項級級數(shù)數(shù)，和和設(shè)設(shè)lvuvunnnnnnn lim 11斂散性相同；斂散性相同；與與則則時，時，當(dāng)當(dāng) 11 0(1)nnnnvul收收斂斂；則則收收斂斂，且且時時，當(dāng)當(dāng) 11 0)2(nnnnuvl. )3(11發(fā)發(fā)散散則則發(fā)發(fā)散散，且且時時，當(dāng)當(dāng) nnnnuvl得得由由證：證： lim)1(lvunnn .2 0211llvuNnNlnn 有有時，時，當(dāng)當(dāng)，對對 ，即即nnnvluvl232 ，22llvulnn .11斂散性相同斂散性相同與與故由比較判別法可得故由比較判別法可得 nnnnvu比較判別法的極限形式比較判別法的極限形式、 4，且且均均為為正正項項級級數(shù)數(shù)，和和設(shè)設(shè)lvuvunnnnnnn lim 11斂散性相同；斂散性相同；與與則則時，時，當(dāng)當(dāng) 11 0(1)nnnnvul收收斂斂；則則收收斂斂，且且時時，當(dāng)當(dāng) 11 0)2(nnnnuvl. )3(11發(fā)發(fā)散散則則發(fā)發(fā)散散，且且時時，當(dāng)當(dāng) nnnnuvl比較判別法的極限形式比較判別法的極限形式、 4得得由由證證：0lim )2( nnnvu，nnvu . 11收收斂斂收收斂斂時時，故故當(dāng)當(dāng) nnnnuv. 10 0