函數(shù)對稱性、周期性全解析

1、精選文檔函數(shù)的對稱性和奇偶性函數(shù) 函數(shù)對稱性、周期性基本知識一、 同一函數(shù)的周期性、對稱性問題(即函數(shù)自身)1、 周期性：對于函數(shù)，如果存在一個不為零的常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有都成立，那么就把函數(shù)叫做周期函數(shù)，不為零的常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期。如果所有的周期中存在著一個最小的正數(shù)，就把這個最小的正數(shù)叫做最小正周期。2、 對稱性定義（略），請用圖形來理解。3、 對稱性：我們知道：偶函數(shù)關于y（即x=0）軸對稱，偶函數(shù)有關系式 奇函數(shù)關于（0，0）對稱，奇函數(shù)有關系式 上述關系式是否可以進行拓展？答案是肯定的 探討：（1）函數(shù)關于對稱 也可以寫成 或 簡證：設點在上，通過可知，

2、即點上，而點與點關于x=a對稱。得證。 若寫成：，函數(shù)關于直線 對稱 （2）函數(shù)關于點對稱 或 簡證：設點在上，即，通過可知，所以，所以點也在上，而點與關于對稱。得證。 若寫成：，函數(shù)關于點 對稱 （3）函數(shù)關于點對稱:假設函數(shù)關于對稱，即關于任一個值，都有兩個y值與其對應，顯然這不符合函數(shù)的定義，故函數(shù)自身不可能關于對稱。但在曲線c(x,y)=0，則有可能會出現(xiàn)關于對稱，比如圓它會關于y=0對稱。4、 周期性： （1）函數(shù)滿足如下關系系，則 A、 B、 C、或（等式右邊加負號亦成立） D、其他情形 （2）函數(shù)滿足且，則可推出即可以得到的周期為2(b-a)，即可以得到“如果函數(shù)在定義域內(nèi)關于垂

3、直于x軸兩條直線對稱，則函數(shù)一定是周期函數(shù)” （3）如果奇函數(shù)滿足則可以推出其周期是2T，且可以推出對稱軸為，根據(jù)可以找出其對稱中心為（以上） 如果偶函數(shù)滿足則亦可以推出周期是2T，且可以推出對稱中心為，根據(jù)可以推出對稱軸為 （以上） （4）如果奇函數(shù)滿足（），則函數(shù)是以4T為周期的周期性函數(shù)。如果偶函數(shù)滿足（），則函數(shù)是以2T為周期的周期性函數(shù)。定理3：若函數(shù)在R上滿足，且（其中），則函數(shù)以為周期. 定理4：若函數(shù)在R上滿足，且（其中），則函數(shù)以為周期. 定理5：若函數(shù)在R上滿足，且（其中），則函數(shù)以為周期.二、 兩個函數(shù)的圖象對稱性1、 與關于X軸對稱。換種說法：與若滿足，即它們關于對稱。

4、2、 與關于Y軸對稱。換種說法：與若滿足，即它們關于對稱。3、 與關于直線對稱。換種說法：與若滿足，即它們關于對稱。4、 與關于直線對稱。換種說法：與若滿足，即它們關于對稱。5、 關于點(a,b)對稱。換種說法：與若滿足，即它們關于點(a,b)對稱。6、 與關于直線對稱。7、 函數(shù)的軸對稱：定理1：如果函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關于直線對稱.推論1：如果函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關于直線對稱.推論2：如果函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關于直線（y軸）對稱.特別地，推論2就是偶函數(shù)的定義和性質(zhì).它是上述定理1的簡化.8、 函數(shù)的點對稱：定理2：如果函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關于點對稱.推論3：如果函數(shù)滿足，則函數(shù)的

5、圖象關于點對稱.推論4：如果函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關于原點對稱.特別地，推論4就是奇函數(shù)的定義和性質(zhì).它是上述定理2的簡化.三、試題1已知定義為R的函數(shù)滿足，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.如果，且，則的值（A ）.A恒小于0 B恒大于0 C可能為0 D可正可負.分析：形似周期函數(shù)，但事實上不是，不過我們可以取特殊值代入，通過適當描點作出它的圖象來了解其性質(zhì).或者，先用代替，使變形為.它的特征就是推論3.因此圖象關于點對稱.在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上也單調(diào)遞增.我們可以把該函數(shù)想象成是奇函數(shù)向右平移了兩個單位.，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，又由，有，.選A.當然，如果已經(jīng)作出大致圖象后，用特殊值代人也可

6、猜想出答案為A.2：在R上定義的函數(shù)是偶函數(shù)，且.若在區(qū)間上是減函數(shù)，則( B )A.在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)B.在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)C.在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)D.在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)分析：由可知圖象關于對稱，即推論1的應用.又因為為偶函數(shù)圖象關于對稱，可得到為周期函數(shù)且最小正周期為2，結合在區(qū)間上是減函數(shù)，可得如右草圖.故選B3.定義在R上的函數(shù)既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)，是它的一個正周期.若將方程在閉區(qū)間上的根的個數(shù)記為，則可能為（ D ） A.0 B.1C.3D.5 分析：， ，則可能為5，選D.4已知函數(shù)的圖象關于直線和都對稱，且當時，.

7、求的值.分析：由推論1可知，的圖象關于直線對稱，即，同樣，滿足，現(xiàn)由上述的定理3知是以4為周期的函數(shù).，同時還知是偶函數(shù)，所以.5，則，中最多有（ B ）個不同的值.A.165B.177C.183D.199 分析：由已知.又有，于是有周期352，于是能在中找到.又的圖像關于直線對稱，故這些值可以在中找到.又的圖像關于直線對稱，故這些值可以在中找到.共有177個.選B. 6：已知，則（ A ）.A. B. C. D.3 分析：由，知，.為迭代周期函數(shù)，故，.選A.7：函數(shù)在R上有定義，且滿足是偶函數(shù)，且，是奇函數(shù)，則的值為 .解：，令，則，即有，令，則，其中，. 或有，得.8設函數(shù)為奇函數(shù)，則（

8、 c ）A0B1CD5分析：答案為B。先令f（1）= f（-1+2）=f（-1）+f（2）=1/2，根據(jù)奇函數(shù)的定義可求得f（-1）=-1/2，所以，f（2）=1，f（5）=f（3）+f（2）=f（1）+f（2）+f（2）=5/2，所以，答案為c。9 設f（x）是定義在R上以6為周期的函數(shù)，f（x）在(0,3)內(nèi)單調(diào)遞減，且y=f（x）的圖象關于直線x=3對稱，則下面正確的結論是 （ B ）(A)； (B)；(C)； (D)分析：答案為B。做這種帶周期性、單調(diào)性的試題，通常的做法是將f（x）設成正弦或余弦函數(shù)，具體到本題，可將f（x）設成正弦函數(shù)或余弦函數(shù)，令其周期為6，通過平移使其滿足在（0

9、,3）內(nèi)單調(diào)遞減，根據(jù)圖像，即可求出，答案為B。10設函數(shù)與的定義域是,函數(shù)是一個偶函數(shù)，是一個奇函數(shù)，且，則等于（C）A. B. C. D.分析：答案為C. 本題是考察函數(shù)奇偶性的判定，并不難，根據(jù)奇偶性的定義，即可得出答案為C 高考資源網(wǎng) 11：已知函數(shù)f(x)在(1，1)上有定義，f()=1,當且僅當0x1時f(x)0,且對任意x、y(1,1)都有f(x)+f(y)=f(),試證明: (1)f(x)為奇函數(shù)；(2)f(x)在(1，1)上單調(diào)遞減. 證明: (1)由f(x)+f(y)=f()可令x=y=0,得f(0)=0,令y=x,得f(x)+f(x)=f()=f(0)=0. f(x)=f

10、(x). f(x)為奇函數(shù). (2)先證f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減. 令0x1x21,則f(x2)f(x1)=f(x2)+f(x1)=f()0x1x20,1x1x20，0,又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1)0，x2x11x2x1,01,由題意知f()0，即f(x2)f(x1). f(x)在(0，1)上為減函數(shù)，又f(x)為奇函數(shù)且f(0)=0 f(x)在(1，1)上為減函數(shù).12. 已知函數(shù)yf (x)是定義在上的周期函數(shù)，周期T=5，函數(shù)是奇函數(shù)又知yf (x)在0,1上是一次函數(shù)，在1,4上是二次函數(shù)，且在x=2時函數(shù)取得最小值. 證明：；求的解析式；求在4,9上的解

11、析式.解：f (x)是以為周期的周期函數(shù)，又是奇函數(shù)，當時，由題意可設，由得，是奇函數(shù)，又知yf (x)在0,1上是一次函數(shù)，可設，而，當時，f (x)=-3x，從而當時，故時，f (x)= -3x，.當時，有，0. 當時，13設（）是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關于直線對稱對任意，都有（）（）（），且f(1)=()求；()證明（）是周期函數(shù)；（）記（），求()解：因為對，都有（）（）（x）,所以（）0， ()證明：依題設（）關于直線對稱，故（）（），即（）（），R又由（）是偶函數(shù)知（）（），R，（）（），R，將上式中以代換，得（）（），這表明（）是R上的周期函數(shù)，且2是它的一個周期. （）解：

12、由()知（）， （）的一個周期是2（）=（）,因此an=函數(shù)對稱性與周期性幾個重要結論賞析對稱性和周期性是函數(shù)的兩個重要性質(zhì)，下面總結這兩個性質(zhì)的幾個重要結論及運用它們解決抽象型函數(shù)的有關習題。一、幾個重要的結論（一）函數(shù)圖象本身的對稱性（自身對稱）1、函數(shù)滿足（T為常數(shù)）的充要條件是的圖象關于直線對稱。2、函數(shù)滿足（T為常數(shù)）的充要條件是的圖象關于直線對稱。3、函數(shù)滿足的充要條件是圖象關于直線對稱。4、如果函數(shù)滿足且，（和是不相等的常數(shù)），則是以為為周期的周期函數(shù)。5、如果奇函數(shù)滿足（），則函數(shù)是以4T為周期的周期性函數(shù)。6、如果偶函數(shù)滿足（），則函數(shù)是以2T為周期的周期性函數(shù)。（二）兩個函

13、數(shù)的圖象對稱性（相互對稱）（利用解析幾何中的對稱曲線軌跡方程理解）1、曲線與關于X軸對稱。2、曲線與關于Y軸對稱。3、曲線與關于直線對稱。4、曲線關于直線對稱曲線為。5、曲線關于直線對稱曲線為。6、曲線關于直線對稱曲線為。7、曲線關于點對稱曲線為。二、試試看，練練筆1、定義在實數(shù)集上的奇函數(shù)恒滿足，且時,則_。2、已知函數(shù)滿足，則圖象關于_對稱。3、函數(shù)與函數(shù)的圖象關于關于_對稱。4、設函數(shù)的定義域為R，且滿足，則的圖象關于_對稱。5、設函數(shù)的定義域為R，且滿足，則的圖象關于_對稱。圖象關于_對稱。6、設的定義域為R，且對任意，有，則圖象關于_對稱，關于_對稱。7、已知函數(shù)對一切實數(shù)x滿足，且

14、方程有5個實根，則這5個實根之和為（）A、5B、10C、15D、188、設函數(shù)的定義域為R，則下列命題中，若是偶函數(shù)，則圖象關于y軸對稱；若是偶函數(shù)，則圖象關于直線對稱；若，則函數(shù)圖象關于直線對稱；與圖象關于直線對稱，其中正確命題序號為_。9、函數(shù)定義域為R，且恒滿足和，當時，求解析式。10、已知偶函數(shù)定義域為R，且恒滿足，若方程在上只有三個實根，且一個根是4，求方程在區(qū)間中的根附參考答案：y軸即：y軸：C：方程的根為共9個根抽象函數(shù)的對稱性與周期性一、抽象函數(shù)的對稱性。性質(zhì)1、若函數(shù)yf(x)關于直線xa軸對稱，則以下三式成立且等價：（1）f(ax)f(ax)。（2）f(2ax)f(x)。（

15、3）f(2ax)f(x)。性質(zhì)2、若函數(shù)yf(x)關于點(a,0)中心對稱，則以下三式成立且等價：（1）f(ax)f(ax)。（2）f(2ax)f(x)。（3）f(2ax)f(x)。注：yf(x)為偶函數(shù)是性質(zhì)1當a0時的特例，f(x)f(x)。yf(x)為奇函數(shù)是性質(zhì)2當a0時的特例，f(x)-f(x)。二、復合函數(shù)的奇偶性。性質(zhì)1、復數(shù)函數(shù)yfg(x)為偶函數(shù)，則fg(x)fg(x)。復合函數(shù)yfg(x)為奇函數(shù)，則fg(x)fg(x)。性質(zhì)2、復合函數(shù)yf(xa)為偶函數(shù)，則f(xa)f(xa)；復合函數(shù)yf(xa)為奇函數(shù)，則f(xa)f(ax)。性質(zhì)3、復合函數(shù)yf(xa)為偶函數(shù)，

16、則yf(x)關于直線xa軸對稱。復合函數(shù)yf(xa)為奇函數(shù)，則yf(x)關于點(a,0)中心對稱。三、函數(shù)的周期性。性質(zhì)、若a是非零常數(shù)，若對于函數(shù)yf(x)定義域內(nèi)的任一變量x點，有下列條件之一成立，則函數(shù)yf(x)是周期函數(shù)，且2|a|是它的一個周期。f(xa)f(xa)，f(xa)f(x)，f(xa)1/f(x)，f(xa)1/f(x)。四、函數(shù)的對稱性與周期性。性質(zhì)1、若函數(shù)yf(x)同時關于直線xa與xb軸對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T2|ab|。性質(zhì)2、若函數(shù)yf(x)同時關于點（a，0）與點（b，0）中心對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T2|ab|。性質(zhì)3、若函數(shù)yf(x)既關于點（a，0）中心對稱，又關于直線xb軸對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T4|ab|。五、復合函數(shù)的對稱性。性質(zhì)1、已知函數(shù)yf(x)，則復合函數(shù)yf(ax)與yf(b-x)關于直線x(b-a)/2軸對稱。性質(zhì)2、已知函數(shù)yf(x)，則復合函數(shù)yf(ax)與y-f(b-x)關于點(b-a)/2,0)中心對稱。推論1、已知函數(shù)yf(x)，則復合函數(shù)yf(ax)與yf(ax)關于y軸軸對稱。推論2、已知函數(shù)yf(x)，則復合函數(shù)yf(ax)與yf(ax)關于原點中心對稱。六、鞏固練習1、函數(shù)yf(x)是定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，那么yf(x4)與yf(6x)的圖象（ ）。A關于直