中點(diǎn)坐標(biāo)法解決二次函數(shù)中平行四邊形存在性問題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上另辟蹊徑 解決二次函數(shù)中平行四邊形存在性問題 以二次函數(shù)為載體的平行四邊形存在性問題是近年來中考的熱點(diǎn)，其圖形復(fù)雜，知識覆蓋面廣，綜合性較強(qiáng)，對學(xué)生分析問題和解決問題的能力要求高對這類題，常規(guī)解法是先畫出平行四邊形，再依據(jù)“平行四邊形的一組對邊平行且相等”或“平行四邊形的對角線互相平分”來解決由于先要畫出草圖，若考慮不周，很容易漏解為此，筆者另辟蹊徑，借助探究平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式來解決這一類題1 兩個結(jié)論，解題的切入點(diǎn)數(shù)學(xué)課標(biāo)，現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材中沒有線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式，也沒有平行四邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，我們可幫助學(xué)生來探究，這可作為解題的切入點(diǎn)。1.1 線段中點(diǎn)坐標(biāo)公

2、式平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為(x1,y1)，點(diǎn)B坐標(biāo)為(x2,y2)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(,).圖1證明 ： 如圖1，設(shè)AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xP,yP).由xP-x1=x2-xP，得xP=，同理yP=，所以線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(,).1.2 平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式圖2ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(xA,yA)、B(xB,yB)、C(xC,yC)、D(xD,yD)，則：xA+xC=xB+xD；yA+yC=yB+yD.證明： 如圖2，連接AC、BD，相交于點(diǎn)E點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，E點(diǎn)坐標(biāo)為(,).又點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，圖3E點(diǎn)坐標(biāo)為(,).xA+xC=xB+xD；yA+yC=yB+yD. 即平行四

3、邊形對角線兩端點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之和分別相等2 一個基本事實(shí)，解題的預(yù)備知識如圖3，已知不在同一直線上的三點(diǎn)A、B、C，在平面內(nèi)另找一個點(diǎn)D，使以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形答案有三種：以AB為對角線的ACBD1，以AC為對角線的ABCD2，以BC為對角線的ABD3C3 兩類存在性問題解題策略例析與反思3.1 三個定點(diǎn)、一個動點(diǎn)，探究平行四邊形的存在性問題例1 已知拋物線y=x2-2x+a(a0）與y軸相交于點(diǎn)A，頂點(diǎn)為M.直線y=x-a分別與x軸、y軸相交于B、C兩點(diǎn)，并且與直線AM相交于點(diǎn)N.(1)填空：試用含a的代數(shù)式分別表示點(diǎn)M與N的坐標(biāo)，則M( ), N( )；(2)如圖

4、4，將NAC沿y軸翻折，若點(diǎn)N的對應(yīng)點(diǎn)N恰好落在拋物線上，AN與x軸交于點(diǎn)D，連接CD，求a的值和四邊形ADCN的面積；(3)在拋物線y=x2-2x+a(a0）上是否存在一點(diǎn)P，使得以P、A、C、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由.解：(1)M(1,a-1)，N(,-)；(2)a=-；S四邊形ADCN=；(3)由已知條件易得A(0,a)、C(0,-a)、N(,-).設(shè)P(m,m2-2m+a).當(dāng)以AC為對角線時(shí)，由平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式（解題時(shí)熟練推導(dǎo)出），得：圖4,.P1(,-)；當(dāng)以AN為對角線時(shí)，得:,(不合題意，舍去).當(dāng)以CN為對角線時(shí)，得:,

5、.P2(-,).在拋物線上存在點(diǎn)P1(,-)和P2(-,)，使得以P、A、C、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.反思：已知三個定點(diǎn)的坐標(biāo)，可設(shè)出拋物線上第四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式列方程（組）求解.這種題型由于三個定點(diǎn)構(gòu)成的三條線段中哪條為對角線不清楚，往往要以這三條線段分別為對角線分類，分三種情況討論.3.2 兩個定點(diǎn)、兩個動點(diǎn)，探究平行四邊形存在性問題圖5例2 如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線A(-1,0),B(3,0),C(0,-1)三點(diǎn).（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)Q在y軸上，點(diǎn)P在拋物線上，要使以點(diǎn)Q、P、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件點(diǎn)P的坐標(biāo)

6、.解 ：（1）易求拋物線的表達(dá)式為y=；(2)由題意知點(diǎn)Q在y軸上，設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)為(0,t)；點(diǎn)P在拋物線上，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(m,).盡管點(diǎn)Q在y軸上，也是個動點(diǎn)，但可理解成一個定點(diǎn)，這樣就轉(zhuǎn)化為三定一動了當(dāng)以AQ為對角線時(shí)，由四個頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)公式得：-1+0=3+m，m=-4，P1(-4,7)；當(dāng)以BQ為對角線時(shí)，得：-1+m=3+0，m=4，P2(4,)；當(dāng)以AB為對角線時(shí)，得：-1+3=m+0，m=2，P3(2,-1).綜上，滿足條件的點(diǎn)P為P1(-4,7)、P2(4,)、P3(2,-1).反思：這種題型往往特殊，一個動點(diǎn)在拋物線上，另一個動點(diǎn)在x軸（y軸）或?qū)ΨQ軸或某一定直線上設(shè)出拋物線上

7、的動點(diǎn)坐標(biāo)，另一個動點(diǎn)若在x軸上，縱坐標(biāo)為0，則用平行四邊形頂點(diǎn)縱坐標(biāo)公式；若在y軸上，橫坐標(biāo)為0，則用平行四邊形頂點(diǎn)橫坐標(biāo)公式該動點(diǎn)哪個坐標(biāo)已知就用與該坐標(biāo)有關(guān)的公式本例中點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)t沒有用上，可以不設(shè)另外，把在定直線上的動點(diǎn)看成一個定點(diǎn)，這樣就轉(zhuǎn)化為三定一動了，分別以三個定點(diǎn)構(gòu)成的三條線段為對角線分類，分三種情況討論. 例3 如圖6，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)三點(diǎn)（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線上一動點(diǎn)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，AMB的面積為S求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；（3）若點(diǎn)P是拋物線上的動點(diǎn)，點(diǎn)Q是

8、直線y=-x上的動點(diǎn)，判斷有幾個位置能使以點(diǎn)P、Q、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)解：（1）易求拋物線的解析式為y=x2+x-4；（2）s=-m2-4m(-4m0)；s最大=4（過程略）；（3）盡管是直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，這里也寫出過程由題意知O(0,0)、B(0,-4).由于點(diǎn)Q是直線y=-x上的動點(diǎn)，設(shè)Q(s,-s)，把Q看做定點(diǎn)；設(shè)P(m,m2+m-4).當(dāng)以O(shè)Q為對角線時(shí)，圖6s=-2.Q1(-2+,2-)，Q2(-2-,2+)；當(dāng)以BQ為對角線時(shí)，s1=-4，s2=0(舍).Q3(-4,4)；當(dāng)以O(shè)B為對角線時(shí)，s1=4，s2=0(舍).Q4(4,-4).綜上，滿足條件的點(diǎn)Q為Q1(-2+,2-)、Q2(-2-,2+)、Q3(-4,4)、Q4(4,-4).反思：該題中的點(diǎn)Q是直線y=-x上的動點(diǎn)，設(shè)動點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(s,-s)，把Q看做定點(diǎn)，就可根據(jù)平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式列方程組了.4 問題總結(jié) 這種題型，關(guān)鍵是合理有序分類：無論是三定一動，還是兩定兩動，統(tǒng)統(tǒng)把拋物線上的動點(diǎn)作為第四個動點(diǎn)，其余三個作為定點(diǎn)，分別以這三個定點(diǎn)構(gòu)成的三條