第一節(jié)不定積分的概念及其計(jì)算法概述

1、第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的概念及其不定積分的概念及其計(jì)算法概述計(jì)算法概述一、原函數(shù)與不定積分的概念一、原函數(shù)與不定積分的概念二、基本積分表二、基本積分表三、不定積分的性質(zhì)及簡(jiǎn)單計(jì)算三、不定積分的性質(zhì)及簡(jiǎn)單計(jì)算四、小結(jié)四、小結(jié)例例 xxcossin xsin是是xcos的的原原函函數(shù)數(shù). )0(1ln xxxxln是是x1在區(qū)間在區(qū)間), 0( 內(nèi)的原函數(shù)內(nèi)的原函數(shù).如果在區(qū)間如果在區(qū)間I內(nèi)，內(nèi)，定義：定義：可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù))(xF的的即即Ix ，都都有有)()(xfxF 或或dxxfxdF)()( ，那那么么函函數(shù)數(shù))(xF就就稱稱為為)(xf導(dǎo)函數(shù)為導(dǎo)函數(shù)為)(xf，或或dxxf)(在在區(qū)區(qū)間

2、間 I內(nèi)內(nèi)的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù). . 一、原函數(shù)與不定積分的概念一、原函數(shù)與不定積分的概念 原函數(shù)原函數(shù)關(guān)于原函數(shù)有以下三個(gè)問題：關(guān)于原函數(shù)有以下三個(gè)問題：1) 滿足什么條件滿足什么條件 , 其原函數(shù)一定存在？其原函數(shù)一定存在？)(xf原函數(shù)存在定理：原函數(shù)存在定理： 若若 在區(qū)間在區(qū)間 I 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù) , 則在區(qū)間則在區(qū)間 I 內(nèi)一定存在內(nèi)一定存在 的原函數(shù)的原函數(shù).)(xf)(xf簡(jiǎn)言之：簡(jiǎn)言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).2) 若若f(x)有原函數(shù)有原函數(shù) ,原函數(shù)是否唯一？原函數(shù)是否唯一？例例 xxcossin xsin是是xcos的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù), xsi

3、n+C 也也是是xcos的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù). 即即: 若若 f(x) 有原函數(shù)有原函數(shù) ,則則 f(x) 的原函數(shù)有無的原函數(shù)有無窮多個(gè)窮多個(gè).3) f(x)的全體原函數(shù)如何表示的全體原函數(shù)如何表示?（1）若）若 ，則對(duì)于任意常數(shù)，則對(duì)于任意常數(shù) ，)()(xfxF CCxF )(都都是是)(xf的的原原函函數(shù)數(shù).（2）若）若 和和 都是都是 的原函數(shù)，的原函數(shù)，)(xF)(xG)(xf則則CxGxF )()(（ 為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）C關(guān)于原函數(shù)的兩個(gè)說明：關(guān)于原函數(shù)的兩個(gè)說明： 若若 F(x) 是是f(x)的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù) ,則則 f(x) 的全體的全體原函數(shù)可表示為原函數(shù)

4、可表示為F(x) +C. (C為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）任意常數(shù)任意常數(shù)積分號(hào)積分號(hào)被積函數(shù)被積函數(shù) 不定積分的定義：不定積分的定義：CxFdxxf )()(被積表達(dá)式被積表達(dá)式積分變量積分變量 若若 F(x) 是是f(x)在區(qū)間在區(qū)間 I 內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)內(nèi)的一個(gè)原函數(shù) ,則則 f(x)在區(qū)間在區(qū)間 I 內(nèi)的內(nèi)的全體全體原函數(shù)稱為原函數(shù)稱為f(x)在區(qū)在區(qū)間間 I 內(nèi)的內(nèi)的不定積分不定積分, dxxf)(記為記為例例1 1 求求.5dxx 解解,656xx .665Cxdxx 解解例例2 2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 Cxdxx函函數(shù)數(shù))(xf的的原原

5、函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形稱稱為為)(xf的的積積分分曲曲線線. 不定積分的幾何意義不定積分的幾何意義 不定積分稱為積分曲線族不定積分稱為積分曲線族 , 且在橫坐標(biāo)且在橫坐標(biāo)相同的每條曲線上的切線斜率相等相同的每條曲線上的切線斜率相等.為平面上的為平面上的 一條曲線一條曲線.)(xFy 為平面上的為平面上的 一族曲線一族曲線.CxFy )(設(shè)設(shè) F(x) 是是 f(x) 的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)0 xy)(xFy CxFy)(相平行。作切線，則這些切線互處曲線上橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)顯然，若在每一條積分 ),(d)(xfxxf ,d)(d)( dxxfxxf 或或,)(d)( CxFxxF.)()(d Cx

6、FxF或或結(jié)論：結(jié)論：求不定積分的運(yùn)算與微分運(yùn)算是求不定積分的運(yùn)算與微分運(yùn)算是的的. 不定積分與微分不定積分與微分( (導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)) )的關(guān)系的關(guān)系:,)(d)(則有則有的原函數(shù)的原函數(shù)是是xfxxf :,)()(則有則有的原函數(shù)的原函數(shù)是是xFxF 由此根據(jù)微分公式可得積分公式由此根據(jù)微分公式可得積分公式.實(shí)例實(shí)例 xx 11.11Cxdxx 啟示啟示能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？結(jié)論結(jié)論既然積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，既然積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式.)1( 二、二、 基本積分表基本積分表基基本本積

7、積分分表表 kCkxkdx()1(是常數(shù)是常數(shù)););1(1)2(1 Cxdxx;ln)3( Cxxdx說明：說明： , 0 x,ln Cxxdx )ln(, 0 xx,1)(1xxx ,)ln( Cxxdx,|ln Cxxdx簡(jiǎn)寫為簡(jiǎn)寫為.ln Cxxdx dxx211)4(;arctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx xdx2cos)8( xdx2sec;tanCx xdx2sin)9( xdx2csc;cotCx xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(

8、;Cex dxax)13(;lnCaax 例例3 3 求積分求積分.2dxxx 解解dxxx 2dxx 25Cx 125125.7227Cx 根據(jù)積分公式（根據(jù)積分公式（2）Cxdxx 11 dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf證證 dxxgdxxf)()( dxxgdxxf)()().()(xgxf 等式成立等式成立.（此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況）（此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況）三、三、 不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì)及簡(jiǎn)單計(jì)算及簡(jiǎn)單計(jì)算 dxxkf)()2(.)( dxxfk（k是是常常數(shù)數(shù)，)0 k例例4 4 求積分求積分解解.)1213(22dxxx

9、dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 C 根據(jù)不定積分的運(yùn)算性質(zhì)和基本函數(shù)的根據(jù)不定積分的運(yùn)算性質(zhì)和基本函數(shù)的積分公式積分公式,可計(jì)算簡(jiǎn)單函數(shù)的不定積分可計(jì)算簡(jiǎn)單函數(shù)的不定積分.例例5 5 求積分求積分解解.)1(122dxxxxx dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112xxlnarctan C 例例6 6 求積分求積分解解.)1(21222dxxxx dxxxx )1(21222dxxxxx )1(12222dxxdxx 22111.arctan1Cxx 例例7 求積分求積分解解.

10、)32(2dxxx dxxx 2)32(dxxxxx )33222(22dxxxx )9624(Cxxx 9ln96ln624ln4例例8 8 求積分求積分解解.)112(242dxxxx .)112(242dxxxx .11112242 dxxxdxx.1111arcsin2242 dxxxdxxx.31arctanarcsin23Cxxxx 例例9 9 求積分求積分解解.2cos11 dxx dxx2cos11 dxx1cos2112 dxx2cos121.tan21Cx 例例1010 求積分求積分解解.sincos2cos dxxxx.sincos2cos dxxxx.sincossin

11、cos22 dxxxxx.)sin(cos dxxxCxx cossin例例1111 求積分求積分解解說明：說明： 以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等變形，才能使用基本積分表恒等變形，才能使用基本積分表.2sin2 dxx dxx2sin2.2cos1 dxxsin.2xxC注意注意: 1) 導(dǎo)數(shù)是唯一的導(dǎo)數(shù)是唯一的 , 但不定積分不唯一但不定積分不唯一. 2) 任一初等函數(shù)都可求導(dǎo)數(shù)任一初等函數(shù)都可求導(dǎo)數(shù) , 且導(dǎo)數(shù)一般且導(dǎo)數(shù)一般也為初等函數(shù)也為初等函數(shù) , 但一些初等函數(shù)的不定積分就但一些初等函數(shù)的不定積分就不能用初等函數(shù)來表示不能用初等函數(shù)來表示 .這些不定積分的原函數(shù)存在這些不定積分的原函數(shù)存在 , 但不能用初等函但不能用初等函數(shù)來表示數(shù)來表