第1章 §4 數(shù)學(xué)歸納法

1、.§4數(shù)學(xué)歸納法1.理解數(shù)學(xué)歸納法的思想本質(zhì)，掌握數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟.重點(diǎn)2.體會(huì)歸納法原理，并能應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明簡(jiǎn)單的命題.重點(diǎn)、難點(diǎn)根底·初探教材整理數(shù)學(xué)歸納法閱讀教材P16P18，完成以下問題.1.數(shù)學(xué)歸納法的根本步驟數(shù)學(xué)歸納法是用來證明某些與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種方法.它的根本步驟是：1驗(yàn)證：當(dāng)n取第一個(gè)值n0如n01或2等時(shí)，命題成立；2在假設(shè)當(dāng)nknN，kn0時(shí)命題成立的前提下，推出當(dāng)nk1時(shí)，命題成立.根據(jù)12可以斷定命題對(duì)一切從n0開場(chǎng)的正整數(shù)n都成立.2.應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法注意的問題1用數(shù)學(xué)歸納法證明的對(duì)象是與正整數(shù)n有關(guān)的命題.2在用數(shù)學(xué)歸納法證明

2、中，兩個(gè)根本步驟缺一不可.3步驟2的證明必須以“假設(shè)當(dāng)nkkn0，kN時(shí)命題成立為條件.判斷正確的打“，錯(cuò)誤的打“×1與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明只能用數(shù)學(xué)歸納法.2數(shù)學(xué)歸納法的第一步n0的初始值一定為1.3數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟缺一不可.【答案】1×2×3質(zhì)疑·手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問記錄，并與“小伙伴們討論交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：小組合作型用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1用數(shù)學(xué)歸納法證明等式123n3 nN時(shí)，第一步驗(yàn)證n1時(shí)，左邊應(yīng)取的項(xiàng)是A.1B.12C.123D.12342用數(shù)學(xué)歸納法證明n1·n2·

3、83;nn2n×1×3××2n1nN，“從k到k1左端增乘的代數(shù)式為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：94210022】【自主解答】1當(dāng)n1時(shí)，左邊應(yīng)為1234，應(yīng)選D.2令fnn1n2nn，那么fkk1·k2kk，fk1k2k3kk2k12k2，所以22k1.【答案】1D222k1數(shù)學(xué)歸納法證題的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)1.驗(yàn)證是根底找準(zhǔn)起點(diǎn)，奠基要穩(wěn)，有些問題中驗(yàn)證的初始值不一定是1.2.遞推是關(guān)鍵數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)在于遞推，所以從“k到“k1的過程中，要正確分析式子項(xiàng)數(shù)的變化.關(guān)鍵是弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，弄清由nk到nk1時(shí)，等式的兩邊會(huì)增加多少項(xiàng)、增加怎樣的項(xiàng).3.利

4、用假設(shè)是核心在第二步證明nk1成立時(shí)，一定要利用歸納假設(shè)，即必須把歸納假設(shè)“nk時(shí)命題成立作為條件來導(dǎo)出“nk1，在書寫fk1時(shí)，一定要把包含fk的式子寫出來，尤其是fk中的最后一項(xiàng)，這是數(shù)學(xué)歸納法的核心，不用歸納假設(shè)的證明就不是數(shù)學(xué)歸納法.再練一題1.下面四個(gè)判斷中，正確的選項(xiàng)是A.式子1kk2knnN中，當(dāng)n1時(shí)，式子的值為1B.式子1kk2kn1nN中，當(dāng)n1時(shí)，式子的值為1kC.式子1nN中，當(dāng)n1時(shí)，式子的值為1D.設(shè)fnnN，那么fk1fk【解析】A中，n1時(shí)，式子1k；B中，n1時(shí)，式子1；C中，n1時(shí)，式子1；D中，fk1fk.故正確的選項(xiàng)是C.【答案】C用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

5、1用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式>n2，nN的過程中，由nk推導(dǎo)nk1時(shí)，不等式的左邊增加的式子是_.2證明：不等式1<2nN.【精彩點(diǎn)撥】1寫出當(dāng)nk時(shí)左邊的式子，和當(dāng)nk1時(shí)左邊的式子，比較即可.2在由nk到nk1推導(dǎo)過程中利用放縮法，在利用放縮時(shí)，注意放縮的度.【自主解答】1當(dāng)nk1時(shí)左邊的代數(shù)式是，增加了兩項(xiàng)與，但是少了一項(xiàng)，故不等式的左邊增加的式子是.【答案】2證明：當(dāng)n1時(shí)，左邊1，右邊2，左邊<右邊，不等式成立.假設(shè)當(dāng)nkk1且kN時(shí)，不等式成立，即1<2.那么當(dāng)nk1時(shí)，1<2<2.當(dāng)nk1時(shí)，不等式成立.由可知，原不等式對(duì)任意nN都成立.再練一題2

6、.試用數(shù)學(xué)歸納法證明上例1中的不等式.【證明】當(dāng)n2時(shí)，>.假設(shè)當(dāng)nkk2且kN時(shí)不等式成立，即>，那么當(dāng)nk1時(shí)，>>.這就是說，當(dāng)nk1時(shí)，不等式也成立.由可知，原不等式對(duì)任意大于1的正整數(shù)都成立.歸納猜測(cè)證明數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，其中an且a1.1求a2，a3；2猜測(cè)數(shù)列an的通項(xiàng)公式，并證明.【精彩點(diǎn)撥】1令n2，3可分別求a2，a3.2根據(jù)a1，a2，a3的值，找出規(guī)律，猜測(cè)an，再用數(shù)學(xué)歸納法證明.【自主解答】1a2，a1，那么a2，類似地求得a3.2由a1，a2，a3，猜得：an.證明：當(dāng)n1時(shí)，由1可知等式成立；假設(shè)當(dāng)nk時(shí)猜測(cè)成立，即ak，那么，當(dāng)

7、nk1時(shí)，由題設(shè)an，得ak，ak1，所以Skk2k1akk2k1，Sk1k12k1ak1，ak1Sk1Skk12k1ak1.因此，k2k3ak1，所以ak1.這就證明了當(dāng)nk1時(shí)命題成立.由可知命題對(duì)任何nN都成立.1.“歸納猜測(cè)證明的一般環(huán)節(jié)2.“歸納猜測(cè)證明的主要題型1數(shù)列的遞推公式，求通項(xiàng)或前n項(xiàng)和.2由一些恒等式、不等式改編的一些探究性問題，求使命題成立的參數(shù)值是否存在.3給出一些簡(jiǎn)單的命題n1，2，3，猜測(cè)并證明對(duì)任意正整數(shù)n都成立的一般性命題.再練一題3.數(shù)列an滿足Sn2nanSn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，先計(jì)算數(shù)列的前4項(xiàng)，再猜測(cè)an，并證明.【解】由a12a1，得a11；由a1

8、a22×2a2，得a2；由a1a2a32×3a3，得a3；由a1a2a3a42×4a4，得a4.猜測(cè)an.下面證明猜測(cè)正確：1當(dāng)n1時(shí)，由上面的計(jì)算可知猜測(cè)成立.2假設(shè)當(dāng)nk時(shí)猜測(cè)成立，那么有ak，當(dāng)nk1時(shí)，Skak12k1ak1，ak12k1Skk1，所以，當(dāng)nk1時(shí)，等式也成立.由1和2可知，an對(duì)任意正整數(shù)n都成立.探究共研型用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題探究1數(shù)學(xué)歸納法的第一步n的初始值是否一定為1?【提示】不一定，如證明n邊形的內(nèi)角和為n2·180°時(shí)，第一個(gè)值為n03.探究2數(shù)學(xué)歸納法兩個(gè)步驟之間有怎樣的聯(lián)絡(luò)？【提示】第一步是驗(yàn)證命題

9、遞推的根底，第二步是論證命題遞推的根據(jù)，這兩個(gè)步驟缺一不可，只完成步驟1而缺少步驟2就作出判斷，可能得出不正確的結(jié)論.因?yàn)閱慰坎襟E1，無法遞推下去，即n取n0以后的數(shù)列命題是否正確，我們無法斷定，同樣只有步驟2而缺少步驟1時(shí)，也可能得出不正確的結(jié)論，缺少步驟1這個(gè)根底，假設(shè)就失去了成立的前提，步驟2也就沒有意義了.用數(shù)學(xué)歸納法證明：n3n13n23能被9整除nN.【精彩點(diǎn)撥】在第二步時(shí)注意根據(jù)歸納假設(shè)進(jìn)展拼湊.【自主解答】1當(dāng)n1時(shí)，13233336能被9整除，所以結(jié)論成立；2假設(shè)當(dāng)nkkN，k1時(shí)結(jié)論成立，即k3k13k23能被9整除.那么當(dāng)nk1時(shí)，k13k23k33k3k13k23k33

10、k3k3k13k239k227k27k3k13k239k23k3.因?yàn)閗3k13k23能被9整除，9k23k3也能被9整除，所以k13k23k33也能被9整除，即nk1時(shí)結(jié)論也成立.由12知命題對(duì)一切nN成立.與正整數(shù)有關(guān)的整除性問題常用數(shù)學(xué)歸納法證明，證明的關(guān)鍵在于第二步中，根據(jù)歸納假設(shè)，將nk1時(shí)的式子進(jìn)展增減項(xiàng)、倍數(shù)調(diào)整等變形，使之能與歸納假設(shè)聯(lián)絡(luò)起來.再練一題4.用數(shù)學(xué)歸納法證明“n35n能被6整除的過程中，當(dāng)nk1時(shí)，對(duì)式子k135k1應(yīng)變形為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：94210023】【解析】由nk成立推證nk1成立時(shí)必須用上歸納假設(shè)，k135k1k35k3kk16.【答案】k35k3kk1

11、6構(gòu)建·體系1.用數(shù)學(xué)歸納法證明“凸n邊形的內(nèi)角和等于n2時(shí)，歸納奠基中n0的取值應(yīng)為A.1B.2C.3D.4【解析】邊數(shù)最少的凸n邊形為三角形，故n03.【答案】C2.用數(shù)學(xué)歸納法證明1aa2an1nN，a1，在驗(yàn)證n1成立時(shí)，左邊所得的項(xiàng)為A.1B.1aa2C.1aD.1aa2a3【解析】當(dāng)n1時(shí)，n12，故左邊所得的項(xiàng)為1aa2.【答案】B3.用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于n的恒等式時(shí)，當(dāng)nk時(shí)，表達(dá)式為1×42×7k3k1kk12，那么當(dāng)nk1時(shí)，表達(dá)式為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：94210024】【解析】當(dāng)nk1時(shí)，應(yīng)將表達(dá)式1×42×7k3k1kk12中的k更換為k1.【答案】1×42×7k3k1k13k4k1k224.以下是用數(shù)學(xué)歸納法證明“nN時(shí)，2nn2的過程，證明：1當(dāng)n1時(shí)，2112，不等式顯然成立.2假設(shè)當(dāng)nkkN時(shí)不等式成立，即2kk2.那么，當(dāng)nk1時(shí)，2k12×2k2k2kk2k2k22k1k12.即當(dāng)nk1時(shí)不等式也成立.根據(jù)1和2，可知對(duì)任何nN不等式都成立.其中錯(cuò)誤的步驟為_填序號(hào).【解析】在2k12×2k2k2kk2k2k22k1中用了k22k1，這是一個(gè)不確定的結(jié)論.如k2時(shí)，k22k1.【答案】25.用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)于任意正整數(shù)n，n212n222nn2