數(shù)學1對1春季課程第15講四邊形中的證明與計算

1、數(shù)學數(shù)學1對對1春季課程春季課程第第15講講 四邊形中的證明與計算四邊形中的證明與計算1菱形的兩條對角線之比是2：3，面積是27，則兩條對角線的長分別是 和 2如圖，已知梯形ABCD的中位線為EF，且AEF的面積為6cm2，則梯形ABCD的面積為（ ）A、 12 cm2 B、 18 cm2 C、 24 cm2 D、30 cm23已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結論中不正確的是（ ）A、當ABBC時，它是菱形； B、當ACBD時，它是菱形；C、當ACBD時，它是正方形； D、當ABC900時，它是矩形.4下列說法：一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形或等腰梯形。一組對邊平行，一組

2、對角相等的四邊形是平行四邊形。兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。順次聯(lián)結等腰梯形各邊中點所得到的四邊形是菱形。其中正確的是（ ）A、 B、 C、 D、5.任意五邊形ABCDE中，M、N、P、Q分別是AB、CD、BC、DE的中點，K、L分別是MN、PQ的中點，求證：KLAE,且AE=4KL.例1：如圖在矩形ABCD中，延長CB到E，使得CECA，F(xiàn)是AE中點，聯(lián)結BF、DF（1）求證：BFDF； （2）如果AB3，BC4，求四邊形BFDC的面積參考答案：聯(lián)結BD交AC于O，聯(lián)結FO， 四邊形ABCD是矩形，ABC90，ACBD2AO2CO，AOCO， F為AE中點， FO CE，ACCE，F(xiàn)

3、O BD，即FOOBOD， OFDODF，OFBOBF，OFDODFOFBOBF180； OFDOFB90，即DFB90， BFDF；（2）解：ABC90，AB3，BC4，由勾股定理得：BDAC5CE，BE541， 在RtABE中，由勾股定理得：AE ，F(xiàn)為AE中點， BF AE ，在RtDFB中， 例2.已知：如圖，在ABCD中，點E、F分別是AB、CD的中點，CE、AF與對角線BD分別相交于點G、H如果ADBD，求證：四邊形EGFH是菱形參考答案：聯(lián)結EF，交BD于點O 四邊形ABCD是平行四邊形， AB/CD，ABCD點E、F分別是AB、CD的中點， AECF四邊形AECF為平行四邊形

4、AFCAECDFHGEBAB/CD， FDHEBG又DFBE； DFHBEG， DHBGAB/CD，ABCD，點E、F分別是AB、CD的中點，DFOBEO FOEO，DOBODHGB，OHOG四邊形EGFH是平行四邊形點E、O分別是AB、BD的中點， OE/ADADBD，EFGH HEGF是菱形【試一試】【試一試】1.如圖，ABC中，點D、E分別是邊BC、AC的中點，過點A作AF/BC交線段DE的延長線相交于F點，取AF的中點G，如果BC = 2 AB求證：（1）四邊形ABDF是菱形； （2）AC = 2DG（1）點D、E分別是邊BC、AC的中點 DE是ABC的中位線（三角形中位線的定義） D

5、E/AB，DE= AB （三角形中位線性質） AF/BC 四邊形ABCD是平行四邊形（平行四邊形定義） BC = 2 AB，又BC = 2 BD AB=BD 四邊形ABDF是菱形（2）四邊形ABDF是菱形 AF=AB=DF DE= AB EF= AF G是AF的中點 GF=AF GF=EF 在FGD和DAE中 ， FGD DAE GD=AE AC=2EC=2AE AC=2DG 2121EFGFFFAFDF212.如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別是邊AB、AD的中點，DE與CF相交于G，DE、CB的延長線相交于點H，點M是CG的中點 求證：（1）BM/GH； （2）BMCF證明：（1）在正

6、方形ABCD中，AD/BC，A=HBE，ADE=H，AE=BE，ADEBHE BH=AD=BCCM=GM，BM/GH （2）在正方形ABCD中，AB=AD=CD，A=ADC=90，又DF =AD，AE= AB，AE=DFAEDDFC ADE=DCF ADE+GDC=90，DCF+GDC=90DGC=90BM/GH，BMG=DGC=90，即BMCF2121例題3：如圖，在平行四邊形ABCD中，O為對角線的交點，點E為線段BC延長線上的一點，且CE BC過點E作EFCA，交CD于點F，聯(lián)結OF（1）求證：OFBC； （2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明（2）如果梯

7、形OBEF是等腰梯形，那么四邊形ABCD是矩形OFCE，EFCO，四邊形OCEF是平行四邊形EFCO又梯形OBEF是等腰梯形，BOEF OBOC四邊形ABCD是平行四邊形，AC2OC，BD2OB ACBD平行四邊形ABCD是矩形參考答案：（1）將線段BC的中點記為G，聯(lián)結OG，四邊形ABCD是平行四邊形， OBODOGCD； OGCFCEEFCA， OCGFECCG BC，CE BC， CGCE在OGC和FCE中， OGCFCE，CGCE，OCGFEC，OGCFCE（A.S.A）； OGFC又OGCF， 四邊形OGCF是平行四邊形OFGC 1212例題4：如圖，在正方形ABCD中，點P是射線B

8、C上的任意一點（點B與點C除外），聯(lián)結DP，分別過點C、A作直線DP的垂線，垂足為點E、F（1）當點P在BC的延長線上時，那么線段AF、CE、EF之間有怎樣的數(shù)量關系？請證明你的結論；（2）當點P在邊BC上時，正方形的邊長為2設CEx，AFy求y與x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；（3）在（2）的條件下，當x1時，求EF的長【鞏固練習】1.如圖，在RtABC中，ACB=90，A=60，點O是BC的中點，過點O的直線l從與BC重合的位置開始繞點O作順時針旋轉，交邊AB于點D，過點C作CE/AB交直線l于點E，設直線l的旋轉角為(1)當 _度時，四邊形EDAC是等腰梯形，此時BD的長為_。 當

9、_度時，四邊形EDAC是直角梯形，此時BD的長為_。(2)當 90時，判斷四邊形EDAC是否為菱形，如果是，請證明；如果不是，請說明理由。 D B C A E l O C B A【鞏固練習】如圖,在ABC中，點D是邊BC的中點，點E在ABC內，AE平分BAC內，CEAE,點F在邊AB上，EFBC.（1）求證：四邊形BDEF是平行四邊形；（2）線段BF、AB、AC的數(shù)量之間具有怎樣的關系？證明你所得到的結論.BFACDE1如圖，ABC中，點D、E分別是邊BC、AC的中點，過點A作AF/BC交線段DE的延長線相交于F點，取AF的中點G，如果BC 2 AB 求證：（1）四邊形ABDF是菱形； （2）

10、AC 2DG2已知，如圖，在ABC中，M是邊AB的中點，D是邊BC延長線上一點，BC2DC，作DNCM，交AC邊于點N（1）求證：四邊形MCDN是平行四邊形；（2）當ACB為何值時，四邊形BDNM是等腰梯形？并證明你的猜想1如圖，ABC中，點D、E分別是邊BC、AC的中點，過點A作AF/BC交線段DE的延長線相交于F點，取AF的中點G，如果BC 2 AB 求證：（1）四邊形ABDF是菱形； （2）AC 2DG3如圖，在正方形ABCD中，E是邊CD上一點，AFAE交CB的延長線于F，聯(lián)結DF，分別交AE、AB于點G、P（1）求證：AE=AF； （2）若BAF=BFD，求證：四邊形APED是矩形4如圖，在梯形ABCD中，ADBC，BD平分ABC，BAD平分線交BC于E，聯(lián)結ED（1）求證：四邊形ABED是菱形；（2）當ABC60，EC=BE時，證明：梯形ABCD是等腰梯形5.已知：如圖，在梯形ABCD中，ADBC，點E、F在邊BC上，DEAB，AF CD，且四邊形AEFD是平行四邊形（1）試判斷線段AD與BC的長度之間有怎樣的數(shù)量關系？并證明你的結論；（2）現(xiàn)有三個論斷：AD=AB；B