202X版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十九章計(jì)數(shù)原理19.2二項(xiàng)式定理課件

1、19.2二項(xiàng)式定理高考數(shù)學(xué)高考數(shù)學(xué) (江蘇省專用)五年高考A A組組 自主命題自主命題江蘇卷江蘇卷題組題組考點(diǎn)二項(xiàng)式定理考點(diǎn)二項(xiàng)式定理(2019江蘇,22,10分)設(shè)(1+x)n=a0+a1x+a2x2+anxn,n4,nN*,已知=2a2a4.(1)求n的值;(2)設(shè)(1+)n=a+b,其中a,bN*,求a2-3b2的值.23a33解析解析本題主要考查二項(xiàng)式定理、組合數(shù)等基礎(chǔ)知識,考查分析問題能力與運(yùn)算求解能力.滿分10分.(1)因?yàn)?1+x)n=+x+x2+xn,n4,所以a2=,a3=,a4=.因?yàn)?2a2a4,所以=2.解得n=5.(2)由(1)知,n=5.(1+)n=(1+)5=+(

2、)2+()3+()4+()5=a+b.解法一:因?yàn)閍,bN*,所以a=+3+9=76,b=+3+9=44,0Cn1Cn2CnCnn2Cn(1)2n n3Cn(1)(2)6n nn4Cn(1)(2)(3)24n nnn23a2(1)(2)6n nn(1)2n n(1)(2)(3)24n nnn3305C15C325C335C345C355C3305C25C45C15C35C55C從而a2-3b2=762-3442=-32.解法二:(1-)5=+(-)+(-)2+(-)3+(-)4+(-)5=-+()2-()3+()4-()5.因?yàn)閍,bN*,所以(1-)5=a-b.因此a2-3b2=(a+b)(

3、a-b)=(1+)5(1-)5=(-2)5=-32.305C15C325C335C345C355C305C15C325C335C345C355C3333333B B組統(tǒng)一命題、省組統(tǒng)一命題、省( (區(qū)、市區(qū)、市) )卷題組卷題組考點(diǎn)二項(xiàng)式定理考點(diǎn)二項(xiàng)式定理1.(2019課標(biāo)全國理改編,4,5分)(1+2x2)(1+x)4的展開式中x3的系數(shù)為.答案答案12解析解析本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,通過求解二項(xiàng)展開式中指定項(xiàng)的系數(shù)考查學(xué)生對公式的運(yùn)用能力,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).(1+x)4的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為Tk+1=xk(k=0,1,2,3,4),故(1+2x2)(1+x)4的展開式中x3的系數(shù)為

4、+2=12.4Ck34C14C解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵掌握多項(xiàng)式乘法的展開式,熟記二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是解決本題的關(guān)鍵.2.(2019天津理,10,5分)的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.83128xx答案答案28解析解析本題考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng),通過二項(xiàng)展開式中指定項(xiàng)的求解考查學(xué)生的運(yùn)算能力,從而體現(xiàn)運(yùn)算法則及運(yùn)算對象選擇的素養(yǎng)要素.二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為Tk+1=(2x)8-k=(-1)k28-k2-3kx8-4k=(-1)k28-4kx8-4k,令8-4k=0,得k=2,即T3=(-1)220=28,故常數(shù)項(xiàng)為28.8Ck318kx8Ck8Ck28C28C解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵熟記二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式是求解本題的關(guān)鍵

5、.3.(2019浙江,13,6分)在二項(xiàng)式(+x)9的展開式中,常數(shù)項(xiàng)是,系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個數(shù)是.2答案答案16;52解析解析本題主要考查二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式的運(yùn)用,通過通項(xiàng)公式的化簡和運(yùn)算確定其中的特定項(xiàng),以此考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力和核心素養(yǎng),以及用方程思想解決求值問題的能力.(+x)9展開式的通項(xiàng)Tr+1=()9-rxr=xr(r=0,1,2,9),令r=0,得常數(shù)項(xiàng)T1=x0=16,要使系數(shù)為有理數(shù),則只需Z,則r必為奇數(shù),滿足條件的r有1,3,5,7,9,共五種,故系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個數(shù)是5.29Cr29Cr922r09C922922292r解后反思解后反思二項(xiàng)式的展開式中特定項(xiàng)的

6、確定需寫出其通項(xiàng)公式,并化簡整理,根據(jù)特定項(xiàng)的特點(diǎn)列方程確定r的值,進(jìn)而可求解特定項(xiàng).4.(2018課標(biāo)全國理改編,5,5分)的展開式中x4的系數(shù)為.522xx答案答案40解析解析本題考查二項(xiàng)式定理.的展開式的通項(xiàng)Tr+1=(x2)5-r(2x-1)r=2rx10-3r,令10-3r=4,得r=2,所以x4的系數(shù)為22=40.522xx5Cr5Cr25C5.(2018天津理,10,5分)在的展開式中,x2的系數(shù)為.512xx答案答案52解析解析本題主要考查二項(xiàng)展開式特定項(xiàng)的系數(shù).由題意得Tr+1=x5-r=,令5-=2,得r=2,所以=.故x2的系數(shù)為.5Cr12rx12r5Cr352rx32

7、r12r5Cr21225C5252方法總結(jié)方法總結(jié)求二項(xiàng)展開式中的某一項(xiàng)的系數(shù)時(shí),直接利用展開式的通項(xiàng)Tr+1=an-rbr進(jìn)行求解.Crn6.(2018浙江,14,4分)二項(xiàng)式的展開式的常數(shù)項(xiàng)是.8312xx答案答案7解析解析本題考查二項(xiàng)式定理,二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)和相關(guān)計(jì)算.的展開式的通項(xiàng)Tk+1=x-k=,要使Tk+1為常數(shù),則=0,k=2,此時(shí)T3=7,故展開式的常數(shù)項(xiàng)為7.8312xx8Ck83kx12k12k8Ck8 43kx843k21228C思路分析思路分析(1)求出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng).(2)令通項(xiàng)中x的指數(shù)為0,得k的值.(3)計(jì)算此時(shí)的Tk+1.7.(2017課標(biāo)全國理改編,6,

8、5分)(1+x)6展開式中x2的系數(shù)為.211x答案答案30解析解析本題考查二項(xiàng)展開式中的系數(shù)問題,考查學(xué)生應(yīng)用二項(xiàng)式定理解決與展開式系數(shù)有關(guān)問題的能力和運(yùn)算求解能力.解法一:(1+x)6=1(1+x)6+(1+x)6,(1+x)6的展開式中的x2的系數(shù)為=15,(1+x)6的展開式中的x2的系數(shù)為=15,所以所求展開式中x2的系數(shù)為15+15=30.解法二:因?yàn)?1+x)6=,所以(1+x)6展開式中x2的系數(shù)等于(1+x2)(1+x)6展開式中x4的系數(shù),而(1+x2)(1+x)6展開式中x4的系數(shù)為+=30,故(1+x)6展開式中x2的系數(shù)為30.解法三:因?yàn)?1+x)6=-,所以(1+

9、x)6展開式中x2的系數(shù)為-2=30.211x21x26C21x46C211x262(1)(1)xxx211x46C26C211x211x2662(12)(1)2 (1)xxxxxx82(1) xx62(1) xx211x48C36C8.(2017課標(biāo)全國理改編,4,5分)(x+y)(2x-y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為.答案答案40解析解析本題考查二項(xiàng)式定理,求特定項(xiàng)的系數(shù).(2x-y)5的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=(2x)5-r(-y)r=(-1)r25-rx5-ryr.其中x2y3項(xiàng)的系數(shù)為(-1)322=-40,x3y2項(xiàng)的系數(shù)為(-1)223=80.于是(x+y)(2x-y)5的展開

10、式中x3y3的系數(shù)為-40+80=40.5Cr5Cr35C25C9.(2017山東理,11,5分)已知(1+3x)n的展開式中含有x2項(xiàng)的系數(shù)是54,則n=.答案答案4解析解析本題主要考查二項(xiàng)展開式.(1+3x)n的展開式的通項(xiàng)Tr+1=3rxr,含有x2項(xiàng)的系數(shù)為32=54,n=4.Crn2Cn10.(2017浙江,13,6分)已知多項(xiàng)式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,則a4=,a5=.答案答案16;4解析解析本題考查二項(xiàng)式定理,求指定項(xiàng)系數(shù),組合數(shù)計(jì)算,考查運(yùn)算求解能力.設(shè)(x+1)3=x3+b1x2+b2x+b3,(x+2)2=x2+c1x+c

11、2.則a4=b2c2+b3c1=1222+132=16,a5=b3c2=1322=4.23C12C11.(2015安徽,11,5分)的展開式中x5的系數(shù)是.(用數(shù)字填寫答案答案)731xx答案答案35解析解析展開式的通項(xiàng)為Tk+1=(x3)7-kx-k=x21-4k,令21-4k=5,得k=4,則展開式中x5的系數(shù)為=35.7Ck7Ck47C12.(2016四川理改編,2,5分)設(shè)i為虛數(shù)單位,則(x+i)6的展開式中含x4的項(xiàng)為.答案答案-15x4解析解析T3=x4i2=-15x4.26C易錯警示易錯警示易誤認(rèn)為i2=1而致錯.評析評析正確應(yīng)用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是解題的關(guān)鍵.13.(2015重

12、慶,12,5分)的展開式中x8的系數(shù)是(用數(shù)字作答).5312xx答案答案52解析解析二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為Tr+1=(x3)5-r=,令15-3r-=8,得r=2,于是展開式中x8的系數(shù)為=10=.5Cr12rx12r5Cr15 32rrx2r21225C145214.(2015陜西改編,4,5分)二項(xiàng)式(x+1)n(nN+)的展開式中x2的系數(shù)為15,則n=.答案答案6解析解析因?yàn)?x+1)n的展開式中x2的系數(shù)為,所以=15,即=15,亦即n2-n=30,解得n=6(n=-5舍).2Cnn2Cnn2Cn15.(2015湖南改編,6,5分)已知的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為30,則a=.5axx32

13、x答案答案-6解析解析的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=()5-r=(-a)r.依題意,令5-2r=3,得r=1,(-a)1=30,a=-6.5axx5Crxrax5Cr5 22rx15C16.(2015湖北改編,3,5分)已知(1+x)n的展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為.答案答案29解析解析(1+x)n的展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別為,=,得n=10.從而有+=210,又+=+,奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為+=29.3Cn7Cn3Cn7Cn010C110C210C310C1010C010C210C1010C110C310C910C010C210C1010C評析評

14、析本題考查求二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)及其性質(zhì)、組合數(shù)性質(zhì),考查運(yùn)算求解能力.1.(2014浙江改編,5,5分)在(1+x)6(1+y)4的展開式中,記xmyn項(xiàng)的系數(shù)為f(m,n),則f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=.C C組教師專用題組組教師專用題組答案答案120解析解析在(1+x)6的展開式中,xm的系數(shù)為,在(1+y)4的展開式中,yn的系數(shù)為,故f(m,n)=.從而f(3,0)=20,f(2,1)=60,f(1,2)=36,f(0,3)=4,所以f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=120.6Cm4Cn6Cm4Cn36C26C14C16C24C3

15、4C2.(2014安徽,13,5分)設(shè)a0,n是大于1的自然數(shù),的展開式為a0+a1x+a2x2+anxn.若點(diǎn)Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如圖所示,則a=.1nxa答案答案3解析解析根據(jù)題意知a0=1,a1=3,a2=4,結(jié)合二項(xiàng)式定理得即解得a=3.1221C3,1C4,nnaa3 ,81,3nana 3.(2014山東,14,5分)若的展開式中x3項(xiàng)的系數(shù)為20,則a2+b2的最小值為.62baxx答案答案2解析解析Tr+1=(ax2)6-r=a6-rbrx12-3r,令12-3r=3,則r=3.a3b3=20,即ab=1.a2+b22ab=2,即a2+b2的最小值為2.6C

16、rrbx6Cr36C評析評析本題考查二項(xiàng)式定理及基本不等式的綜合應(yīng)用.考查學(xué)生推理論證及運(yùn)算求解能力.4.(2014課標(biāo)全國,13,5分)(x+a)10的展開式中,x7的系數(shù)為15,則a=.(用數(shù)字填寫答案答案)答案答案12解析解析Tr+1=x10-rar,令10-r=7,得r=3,a3=15,即a3=15,a3=,a=.10Cr310C10 9 83 2 1 18125.(2014大綱全國,13,5分)的展開式中x2y2的系數(shù)為.(用數(shù)字作答)8xyyx答案答案70解析解析Tr+1=(-1)r,令得r=4.所以展開式中x2y2的系數(shù)為(-1)4=70.8Cr8 rxyryx8Cr16 32r

17、x382ry1632,2382,2rr48C6.(2013天津理,10,5分)的二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.61xx答案答案15解析解析通項(xiàng)Tr+1=x6-r(-1)r()r=(-1)r,令6-r=0,得r=4,所以常數(shù)項(xiàng)為(-1)4=15.6Cr12x6Cr362rx3246C7.(2013課標(biāo)全國理改編,9,5分)設(shè)m為正整數(shù),(x+y)2m展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a,(x+y)2m+1展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b.若13a=7b,則m=.答案答案6解析解析由題意得:a=,b=,所以13=7,=,=13,解得m=6,經(jīng)檢驗(yàn)為原方程的解.2Cmm21Cmm2Cmm21Cmm13 (2 )!

18、mm m7 (21)! (1)!mmm7(21)1mm8.(2013安徽理,11,5分)若的展開式中x4的系數(shù)為7,則實(shí)數(shù)a=.83axx答案答案12解析解析通項(xiàng)公式Tr+1=x8-r=ar,由8-r=4得r=3.故a3=7,解得a=.8Cr3rax8Cr483rx4338C12評析評析有關(guān)二項(xiàng)式定理的展開式的問題,要準(zhǔn)確地寫出通項(xiàng)公式,并注意二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)的區(qū)別.9.(2013遼寧理改編,7,5分)使(nN+)的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)的最小的n為.13nxx x答案答案5解析解析Tr+1=(3x)n-r=3n-r=3n-r(r=0,1,2,n),若Tr+1是常數(shù)項(xiàng),則有n-r=0,即2n=5r

19、(r=0,1,n),當(dāng)r=0,1時(shí),n=0,不滿足條件;當(dāng)r=2時(shí),n=5.故填5.Crn32rxCrn32n rrx Crn52rnx5252三年模擬A A組組 20172019 20172019年高考模擬年高考模擬考點(diǎn)基礎(chǔ)題組考點(diǎn)基礎(chǔ)題組考點(diǎn)二項(xiàng)式定理考點(diǎn)二項(xiàng)式定理1.(2019海安高級中學(xué)期中,22)若展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列,求:(1)展開式中所有x的有理項(xiàng);(2)展開式中系數(shù)的最大項(xiàng).412nxx解析解析易求得展開式前三項(xiàng)的系數(shù)為1,.根據(jù)題意得2=1+,解得n=8.(1)展開式的通項(xiàng)為Tr+1=()8-r=,要求r的有理項(xiàng),則r為4的倍數(shù),又0r8,r=0,4,8.故有理項(xiàng)為

20、T1=x4,T5=x,T9=.(2)設(shè)展開式中Tr+1項(xiàng)的系數(shù)最大,則,且.121Cn142Cn121Cn142Cn8Crx412rx12r8Cr16 34rx01208C16 3 04x 41248C16 3 44x 35881288C16 3 84x 21256x12r8Cr112r18Cr12r8Cr112r18Cr解得r=2或r=3.故展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T3=7和T4=7.21228C16 3 24x 52x31238C16 3 34x 74x2.(2019徐州期中,23)(1)證明:(1+)2n+(1-)2n為偶數(shù)(nN*);(2)證明:大于(1+)2n的最小整數(shù)能被2n+1整除

21、(nN*).333證明證明(1)因?yàn)?1+)2n+(1-)2n=2(+3+32+3n),所以(1+)2n+(1-)2n為偶數(shù)(nN*).(4分)(2)注意到0(1-)2n1,則大于(1+)2n的最小整數(shù)必為2(+3+32+3n),記為mN,又因?yàn)閙=(1+)2n+(1-)2n=+=2n(2+)n+(2-)n,(*)而由(1)同理可得(2+)n+(2-)n必為偶數(shù),記為2kN,所以m=2n+1k,即m能被2n+1整除,從而命題得證.(10分)3302Cn22Cn42Cn22Cnn333302Cn22Cn42Cn22Cnn332(13) n2(13) n33333.(2019揚(yáng)州中學(xué)3月檢測,23

22、)已知(1+x)2n=a0+a1x+a2x2+a2nx2n(nN*).求值:(1)a1-a2+a2n-1-a2n;(2)-+-.11a21a211na21na解析解析(1)令x=-1,得a0-a1+a2-+a2n=(1-1)2n=0,令x=0,得a0=1,所以a1-a2+a2n-1-a2n=1.(2)易知ak=,我們有+=+=,則=,因此-=.故-+-+-=2Ckn211Ckn1211Ckn!(21)!(21)!knkn (1)!(2)!(21)!knkn!(2)!(211)(21)!knknkkn !(2)!(22)(21)!knknn222(21)Cknnn21Ckn2122nn12121

23、11CCkknn21Ckn121Ckn2122nn2212111CCkknn11a21a31a41a211na21na2122nn13352121212121212121111111CCCCCCnnnnnnnn=-.2122nn121212111CCnnn2122nn1121n1nn4.(2017如皋教學(xué)質(zhì)量調(diào)研(三),24)已知二項(xiàng)式(1+x)n.(1)求展開式中的中間項(xiàng);(2)化簡:(n-2k)23k.0nkCkn解析解析(1)記展開式的第(k+1)項(xiàng)為Tk+1=xk.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),中間項(xiàng)為=和=,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),中間項(xiàng)為=.(2)等式(1+x)n=xk兩邊分別對x求導(dǎo),得n(1+x)n-1

24、=kxk-1,(*)令x=3,則有n4n-1=k3k-1,所以k3k=3n4n-1.(*)(*)式兩邊分別對x求導(dǎo),得n(n-1)(1+x)n-2=k(k-1)xk-2.令x=3,則有n(n-1)4n-2=k3k,Ckn112nT12Cnn12nx112nT12Cnn12nx12nT2Cnn2nx0nk Ckn0nkCkn0nkCkn0nkCkn0nkCkn22200200C 3C 311C 399nnkkkknnkknnkknkkkkk Ckn由(*)得,k23k=(9n2+3n)4n-2.所以(n-2k)23k=n23k-4nk3k+4k23k=n24n-4n(3n4n-1)+4(9n2+

25、3n)4n-2=(n2+3n)4n-1.0nkCkn0nkCkn0nk Ckn0nkCkn0nkCkn解答題(共60分)B B組組 20172019 20172019年高考模擬年高考模擬專題綜合題組專題綜合題組(時(shí)間：45分鐘 分值：50分)1.(2019金陵中學(xué)期初聯(lián)合調(diào)研,23)在集合A=1,2,3,2n中,任取m(mn,m,nN*)個元素構(gòu)成集合Am.若Am的所有元素之和為偶數(shù),則稱Am為A的偶子集,其個數(shù)記為f(m);若Am的所有元素之和為奇數(shù),則稱Am為A的奇子集,其個數(shù)記為g(m).令F(m)=f(m)-g(m).(1)當(dāng)n=2時(shí),求F(1),F(2)的值;(2)求F(m).解析解

26、析(1)當(dāng)n=2時(shí),集合A=1,2,3,4,當(dāng)m=1時(shí),偶子集有2,4,奇子集有1,3,則f(1)=2,g(1)=2,F(1)=0;當(dāng)m=2時(shí),偶子集有2,4,1,3,奇子集有1,2,1,4,2,3,3,4,則f(2)=2,g(2)=4,F(2)=-2.(2)當(dāng)m為奇數(shù)時(shí),偶子集的個數(shù)為f(m)= + + +,奇子集的個數(shù)為g(m)= + + ,所以f(m)=g(m),F(m)=f(m)-g(m)=0.當(dāng)m為偶數(shù)時(shí),偶子集的個數(shù)為f(m)= + + + ,奇子集的個數(shù)為g(m)= + +,所以F(m)=f(m)-g(m)= - + - +-+ .一方面,(1+x)m(1-x)m=(+x+x2+

27、xm)-x+x2+(-1)mxm,所以(1+x)m(1-x)m中xm的系數(shù)為 - + - +-+ ,0CnCmn2Cn2Cmn4Cn4Cmn1Cmn1Cn1Cn1Cmn3Cn3CmnCmn0Cn0CnCmn2Cn2Cmn4Cn4CmnCmn0Cn1Cn1Cmn3Cn3Cmn1Cmn1Cn0CnCmn1Cn1Cmn2Cn2Cmn3Cn3Cmn1Cmn1CnCmn0Cn0Cm1Cm2CmCmm0Cm1Cm2CmCmm0CmCmm1Cm1Cmm2Cm2Cmm3Cm3Cmm1Cmm1CmCmm0Cm另一方面,(1+x)m(1-x)m=(1-x2)m,(1-x2)m中xm的系數(shù)為(-1,故F(m)=(-

28、1,綜上,F(m)=2)m2Cmm2)m2Cmm22( 1) C ,0,.mmmmm為偶數(shù)為奇數(shù)2.(2019蘇中、蘇北七大市三模,22)設(shè)Pn=,Qn=.(1)求2P2-Q2的值;(2)化簡nPn-Qn.20ni2( 1)Ciin21nj2( 1)Cjjnj解析解析(1)由于P2=-+-+=,Q2=-+-+=,所以2P2-Q2=0.(2分)(2)設(shè)T=nPn-Qn,則T=-=-+-+.(6分)因?yàn)?,所以T=-+-+=-+-+.+得,2T=0,即T=nPn-Qn=0,所以nPn-Qn=0.(10分)041C141C241C341C441C53141C242C343C444C103012222

29、22CCCCnnnnnnnnn123222221232CCCCnnnnnn02Cnn121Cnn222Cnn323Cnn22Cnnn2Ckn22Cn kn22Cnnn2121Cnnn2222Cnnn2323Cnnn02Cnn02Cnn121Cnn222Cnn323Cnn22Cnnn3.(2019揚(yáng)州中學(xué)檢測,24)設(shè)(1-x)n=a0+a1x+a2x2+anxn,xN*,n2.(1)設(shè)n=11,求|a6|+|a7|+|a8|+|a9|+|a10|+|a11|的值;(2)設(shè)bk=ak+1(kN,kn-1),Sm=b0+b1+b2+bm(mN,mn-1),求的值.1knk1CmmnS解析解析(1)

30、由題意知ak=(-1)k,當(dāng)n=11時(shí),|a6|+|a7|+|a8|+|a9|+|a10|+|a11|=+=(+)=210=1024.(2)bk=ak+1=(-1)k+1=(-1)k+1,當(dāng)1kn-1時(shí),bk=(-1)k+1=(-1)k+1(+)=(-1)k+1+(-1)k+1=(-1)k-1-(-1)k.當(dāng)m=0時(shí),=1.當(dāng)1mn-1時(shí),Sm=-1+(-1)k-1-(-1)k=-1+1-(-1)m=-(-1)m,所以=1.綜上,=1.Ckn611C711C811C911C1011C1111C12011C111C1011C1111C1knk1knk1CknCknCkn1Ckn11Ckn11Ck

31、n1Ckn11Ckn1Ckn1CmmnS001Cnb1mk11Ckn1Ckn1Cmn1Cmn1CmmnS1CmmnS思路分析思路分析(1)由二項(xiàng)式定理可得ak=(-1)k,再由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),可得所求和為210;(2)由組合數(shù)的階乘公式可得bk=(-1)k+1,再由組合數(shù)的性質(zhì),可得當(dāng)1kn-1時(shí),bk=(-1)k+1=(-1)k+1(+)=(-1)k-1-(-1)k,討論m=0和1mn-1時(shí),化簡即可得到所求值.CknCknCkn1Ckn11Ckn11Ckn1Ckn4.(2019南通期末三縣聯(lián)考,23)設(shè)(q+x)n=a0+a1x+a2x2+arxr+anxn,其中qR,nN*.(1)當(dāng)q

32、=1時(shí),化簡:;(2)當(dāng)q=n時(shí),記An=,Bn=ar,試比較An與Bn的大小.0nr1rar 01()2n aa0nr解析解析(1)當(dāng)q=1時(shí),ar=,由于=,其中r=0,1,2,n.(2分)所以原式=(+)=.(4分)(2)解法一:當(dāng)q=n時(shí),ar=nn-r,所以a0=nn,a1=nn,所以An=nn+1,令x=1,得Bn=(n+1)n.(6分)當(dāng)n=1,2時(shí),nn+1(n+1)n,即n.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n3時(shí),n.()當(dāng)n=3時(shí),3=,()式成立.CrnC1rnr 11r !()!nr nr!(1)!()!nrnr11n(1)!(1)!()!nrnr11n11Crn11n11Cn

33、21Cn31Cn11Cnn1211nnCrn11nn11nn31136427假設(shè)當(dāng)n=k3,kN*時(shí),()式成立,即k,則n=k+1時(shí),()式右邊=k=+k.所以,當(dāng)n=1,2時(shí),AnBn.(10分)解法二:當(dāng)q=n時(shí),ar=nn-r,所以a0=nn,a1=nn,所以An=nn+1,令x=1,得Bn=(n+1)n.(6分)要比較An與Bn的大小,即可比較與的大小.設(shè)f(x)=,則f(x)=,由f(x)0,得0 xe,所以f(x)在(0,e)上遞增,11kk1111kk111k111kk111k11kk111k1kk 11nnCrnlnnnln(1)1nnlnxx21 ln xx由f(x)e,所

34、以f(x)在(e,+)上遞減,(8分)所以當(dāng)n=1,2時(shí),即An,即(n+1)lnnnln(n+1),即lnnn+1ln(n+1)n,即AnBn,綜上所述,當(dāng)n=1,2時(shí),AnBn.(10分)解法三:當(dāng)q=n時(shí),ar=nn-r,所以a0=nn,a1=nn,所以An=nn+1,令x=1,得Bn=(n+1)n.(6分)當(dāng)n=1,2時(shí),nn+1(n+1)n.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:nn+1(n+1)n,n3,nN*.(*)當(dāng)n=3時(shí),33+1=81,(3+1)3=64,因?yàn)?164,所以(*)式成立;設(shè)n=k3(kN*)時(shí),(*)式成立,即有kk+1(k+1)k,所以1(因?yàn)?k+1)k0).lnnn

35、ln(1)1nnlnnnln(1)1nnCrn1(1)kkkk又因?yàn)?k+1)2k(k+2),即,所以=1,即(k+1)k+2(k+2)k+1,所以當(dāng)n=k+1時(shí),(*)式也成立.綜合,對任何n3,nN*,nn+1(n+1)n都成立.所以,當(dāng)n=1,2時(shí),AnBn.(10分)12kk1kk 21(1)(2)kkkk12kkk2(1)2kk1kkk(2)2k kk1(1)kkkk5.(2019江都中學(xué)、華羅庚中學(xué)等13校聯(lián)考,23)在數(shù)學(xué)上,常用符號來表示算式,如記ai=a0+a1+a2+a3+an,其中iN,nN*.(1)若a0,a1,a2,an成等差數(shù)列,且a0=0,求證:(ai)=an2n

36、-1;(2)若(1+x)k=a0+a1x+a2x2+a2nx2n,bn=a2i,記dn=1+(-1)ibi,且不等式t(dn-1)bn恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.0ni0niCin21nk0ni1niCin解析解析(1)設(shè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a0+nd,其中d為公差,則(ai)=a0+a1+a2+an=a0(+)+d(+2+n),因?yàn)閗=n,所以+2+n=n(+).所以(ai)=a02n+nd2n-1=an2n-1.(4分)注:第(1)問也可以用倒序相加法證明.(2)令x=1,則ai=2+22+23+22n=24n-2,令x=-1,則(-1)iai=0,所以bn=a2i=(24n-2)=4n-1.根據(jù)已知條件可知,dn=-(4-1)+(42-1)-(43-1)+(-1)n(4n-1)=+(-4)+(-4)2+(-4)3+(-4