高考數學數形結合的思想

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上數形結合的思想一、高考真題感悟已知函數f (x) 若a，b，c互不相等，且f (a)f (b)f (c)，則abc的取值范圍是_解：畫出函數f (x)的圖象，如下圖所示：由圖象知，要使f (a)f (b)f (c)，不妨設a<b<c，則lg alg bc6.lg alg b0，ab1，abcc.由圖知10<c<12，abc(10,12)考題分析本小題考查了分段函數的特征及性質、對數函數及其運算重點考查了解決問題的方法即數形結合的思想方法體現了對知識和能力的雙重考查易錯提醒(1)找不到問題解決的突破口，即想不到用數形結合(2)f(x)的圖象的特征

2、不清，忽視對(1,0)和(10,1)這兩個特殊點的分析(3)不會借助圖形進行分析二、思想方法概述1數形結合的數學思想：包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：一是借助形的生動性和直觀性來闡明數之間的聯系，即以“形”作為手段，“數”作為目的，比如應用函數的圖象來直觀地說明函數的性質；二是借助于數的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以“數”作為手段，“形”作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質2運用數形結合思想分析解決問題時，要遵循三個原則：(1)等價性原則在數形結合時，代數性質和幾何性質的轉換必須是等價的，否則解題將會出現漏洞有時，由于圖形的局限性

3、，不能完整的表現數的一般性，這時圖形的性質只能是一種直觀而淺顯的說明，要注意其帶來的負面效應(2)雙方性原則既要進行幾何直觀分析，又要進行相應的代數抽象探求，僅對代數問題進行幾何分析容易出錯(3)簡單性原則不要為了“數形結合”而數形結合具體運用時，一要考慮是否可行和是否有利；二要選擇好突破口，恰當設參、用參、建立關系、做好轉化；三要挖掘隱含條件，準確界定參變量的取值范圍，特別是運用函數圖象時應設法選擇動直線與定二次曲線3數形結合思想解決的問題常有以下幾種：(1)構建函數模型并結合其圖象求參數的取值范圍；(2)構建函數模型并結合其圖象研究方程根的范圍；(3)構建函數模型并結合其圖象研究量與量之間

4、的大小關系；(4)構建函數模型并結合其幾何意義研究函數的最值問題和證明不等式；(5)構建立體幾何模型研究代數問題；(6)構建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問題；(7)構建方程模型，求根的個數；(8)研究圖形的形狀、位置關系、性質等4數形結合思想是解答高考數學試題的一種常用方法與技巧，特別是在解填空題時發(fā)揮著奇特功效，這就要求我們在平時學習中加強這方面的訓練，以提高解題能力和速度具體操作時，應注意以下幾點：(1)準確畫出函數圖象，注意函數的定義域；(2)用圖象法討論方程(特別是含參數的方程)的解的個數是一種行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程兩邊的代數式看作是兩個函數的表達式(有

5、時可能先作適當調整，以便于作圖)，然后作出兩個函數的圖象，由圖求解5在運用數形結合思想分析問題和解決問題時，需做到以下四點：(1)要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數特征；(2)要恰當設參，合理用參，建立關系，做好轉化；(3)要正確確定參數的取值范圍，以防重復和遺漏；(4)精心聯想“數”與“形”，使一些較難解決的代數問題幾何化，幾何問題代數化，以便于問題求解三、熱點分類突破題型一數形結合思想在解決方程的根、不等式解集問題中的應用例1(1)設函數f(x)若f(4)f(0)，f(2)2，則函數yg(x)f(x)x的零點個數為_(2)使log2(x)<x1成立的x的取值范圍是_解(

6、1)由f(4)f(0)得164bcc.由f(2)2，得42bc2.聯立兩方程解得：b4，c2.于是，f(x)在同一直角坐標系內，作出函數yf(x)與函數yx的圖象，知它們有3個交點，進而函數亦有3個零點(2)在同一坐標系中，分別作出ylog2(x)，yx1的圖象，由圖可知，x的取值范圍是(1,0)變式訓練1 已知定義在R上的奇函數f (x)滿足f (x4)f (x)，且在區(qū)間0,2上是增函數，若方程f (x)m (m>0)在區(qū)間8,8上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，則x1x2x3x4_.解函數在0,2上是增函數，由函數f(x)為奇函數，可得f(0)0，函數圖象關于坐標原點對稱，這

7、樣就得到了函數在2,2上的特征圖象，由f(x4)f(x)f(4x)f(x)，故函數圖象關于直線x2對稱，這樣就得到了函數在2,6上的特征圖象，根據f(x4)f(x)可得 f(x8)f(x4)f(x)，函數以8為周期，即得到了函數在一個周期上的特征圖象，就不難根據周期性得到函數在8,8上的特征圖象(如圖所示)，根據圖象不難看出方程f(x)m (m>0)的四個根中，有兩根關于直線x2對稱，另兩根關于直線x6對稱，故四個根的和為2×(6)2×28.題型二數形結合思想在求參數、代數式取值范圍問題中的應用例2已知函數f(x)若函數g(x)f(x)m有3個零點，則實數m的取值范圍

8、為_思維啟迪 作出分段函數f(x)的圖象，觀察圖象與ym的交點個數解函數f(x)畫出其圖象如圖所示又由函數g(x)f(x)m有3個零點，知yf(x)與ym有3個交點，則實數m的取值范圍是(0,1)探究提高 解決函數的零點問題，通常是轉化為方程的根，進而轉化為函數的圖象的交點問題在解決函數圖象的交點問題時，常用數形結合，以“形”助“數”，直觀簡潔變式訓練2 若不等式logax>sin 2x (a>0，a1)對任意x都成立，則a的取值范圍為_解記y1logax，y2sin 2x，原不等式相當于y1>y2，作出兩個函數的圖象，如圖所示，知當y1logax過點A時，a，所以當<

9、a<1時，x都有y1>y2.題型三數形結合思想在求幾何量中最值問題中的應用例3 已知P是直線3x4y80上的動點，PA、PB是圓x2y22x2y10的兩條切線，A、B是切點，C是圓心，求四邊形PACB面積的最小值思維啟迪 在同一坐標系中畫出直線與圓作出圓的切線PA、PB，則四邊形PACB的面積S四邊形PACBSPACSPBC2SPAC.把S四邊形PACB轉化為2倍的SPAC可以有以下多條數形結合的思路解方法一從運動的觀點看問題，當動點P沿直線3x4y80向左上方或向右下方無窮遠處運動時，直角三角形PAC的面積RtPACPA·ACPA越來越大，從而S四邊形PACB也越來越大

10、；當點P從左上、右下兩個方向向中間運動時，S四邊形PACB變小，顯然,當點P到達一個最特殊的位置，即CP垂直直線時，S四邊形PACB應有唯一的最小值，此時PC3，從而PA2.(S四邊形PACB)min2××PA×AC2.方法二利用等價轉化的思想，設點P的坐標為(x，y)，則PC，由勾股定理及AC1，得PA，從而S四邊形PACB2SPAC2·PA·ACPA，從而欲求S四邊形PACB的最小值，只需求PA的最小值，只需求PC2(x1)2(y1)2的最小值，即定點C(1,1)與直線上動點P(x，y)距離的平方的最小值，它也就是點C(1,1)到直線3x4

11、y80的距離的平方，這個最小值d2()29，(S四邊形PACB)min2.方法三利用函數思想，將方法二中S四邊形PACB中的y由3x4y80解出，代入化為關于x的一元二次函數，進而用配方法求最值，也可得(S四邊形PACB)min2.探究提高 本題的解答運用了多種數學思想方法:數形結合思想，運動變化的思想，等價轉化的思想以及函數思想，靈活運用數學思想方法，能使數學問題快速得以解決變式訓練3 圓C的方程為(x2)2y24，圓M的方程為(x25cos )2(y5sin )21 (R)過圓M上任意一點P作圓C的兩條切線PE、PF，切點分別為E、F，則·的最小值是_解由題意，可知圓心M (25cos ，5sin )，設則可得圓心M的軌跡方程為(x2)2y225，如下圖所示：由圖分析可知，只有當P、M、C三點共線時，才能夠使·最小,此時PC4,EC2,則PEPF2，且EPF2EPC2×30°60°，故·(2)2×cos 60°6.四、規(guī)律方法總結1利用數形結合解題，只需把圖象大致形狀畫出即可，不需要精確圖象2數形結合思想是解決高考數學試題的一種常用方法與技