高數(shù)中的重要定理與公式及其證明(一)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高數(shù)中的重要定理與公式及其證明（一）考研數(shù)學(xué)中最讓考生頭疼的當(dāng)屬證明題，而征服證明題的第一關(guān)就是教材上種類(lèi)繁多的定理證明。如果本著嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶?duì)待數(shù)學(xué)的態(tài)度，一切定理的推導(dǎo)過(guò)程都是應(yīng)該掌握的。但考研數(shù)學(xué)畢竟不是數(shù)學(xué)系的考試，很多時(shí)候要求沒(méi)有那么高。而有些定理的證明又過(guò)于復(fù)雜，硬要要求自己掌握的話(huà)很多時(shí)候可能是又費(fèi)時(shí)又費(fèi)力，最后還弄得自己一頭霧水。因此，在這方面可以有所取舍?，F(xiàn)將高數(shù)中需要掌握證明過(guò)程的公式定理總結(jié)如下。這些證明過(guò)程，或是直接的考點(diǎn)，或是蘊(yùn)含了重要的解題思想方法，在復(fù)習(xí)的初期，先掌握這些證明過(guò)程是必要的。1）常用的極限，【點(diǎn)評(píng)】：這幾個(gè)公式大家在計(jì)算極限的過(guò)程

2、中都再熟悉不過(guò)了，但有沒(méi)有人想過(guò)它們的由來(lái)呢？事實(shí)上，這幾個(gè)公式都是兩個(gè)重要極限與的推論，它們的推導(dǎo)過(guò)程中也蘊(yùn)含了計(jì)算極限中一些很基本的方法技巧。證明：由極限兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)即得。：在等式中，令，則。由于極限過(guò)程是，此時(shí)也有，因此有。極限的值與取極限的符號(hào)是無(wú)關(guān)的，因此我們可以吧式中的換成，再取倒數(shù)即得。：利用對(duì)數(shù)恒等式得，再利用第二個(gè)極限可得。因此有。：利用對(duì)數(shù)恒等式得上式中同時(shí)用到了第一個(gè)和第二個(gè)極限。：利用倍角公式得。2）導(dǎo)數(shù)與微分的四則運(yùn)算法則【點(diǎn)評(píng)】：這幾個(gè)求導(dǎo)公式大家用得也很多，它們的證明需要用到導(dǎo)數(shù)的定義。而導(dǎo)數(shù)的證明也恰恰是很多考生的薄弱點(diǎn)，通過(guò)這幾個(gè)公式可以強(qiáng)化相關(guān)的概念，避免

3、到復(fù)習(xí)后期成為自己的知識(shí)漏洞。具體的證明過(guò)程教材上有，這里就不贅述了。3）鏈?zhǔn)椒▌t設(shè)，如果在處可導(dǎo)，且在對(duì)應(yīng)的處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在處可導(dǎo)可導(dǎo)，且有：【點(diǎn)評(píng)】：同上。4）反函數(shù)求導(dǎo)法則設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)，在點(diǎn)處可導(dǎo)且，并令其反函數(shù)為，且所對(duì)應(yīng)的的值為，則有：【點(diǎn)評(píng)】：同上。5）常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)， ，【點(diǎn)評(píng)】：這些求導(dǎo)公式大家都很熟悉，但很少有人想過(guò)它們的由來(lái)。實(shí)際上，掌握這幾個(gè)公式的證明過(guò)程，不但可以幫助我們強(qiáng)化導(dǎo)數(shù)的定義這個(gè)薄弱點(diǎn)，對(duì)極限的計(jì)算也是很好的練習(xí)?，F(xiàn)選取其中典型予以證明。證明：導(dǎo)數(shù)的定義是，代入該公式得。最后一步用到了極限。注意，這里的推導(dǎo)過(guò)程僅適用于的情形。的情形需要另行推導(dǎo)，這種情況很簡(jiǎn)單，留給大家。：利用導(dǎo)數(shù)定義，由和差化積公式得。的證明類(lèi)似。：利用導(dǎo)