202X屆高考數(shù)學一輪復習第十章圓錐曲線與方程10.4直線與圓錐曲線的位置關系課件

1、10.4直線與圓錐曲線的位置關系高考數(shù)學高考數(shù)學 (浙江專用)A A組自主命題組自主命題浙江卷題組浙江卷題組五年高考1.(2015浙江文,19,15分)如圖,已知拋物線C1:y=x2,圓C2:x2+(y-1)2=1,過點P(t,0)(t0)作不過原點O的直線PA,PB分別與拋物線C1和圓C2相切,A,B為切點.(1)求點A,B的坐標;(2)求PAB的面積.注:直線與拋物線有且只有一個公共點,且與拋物線的對稱軸不平行,則稱該直線與拋物線相切,稱該公共點為切點. 14解析解析(1)由題意知直線PA的斜率存在,故可設直線PA的方程為y=k(x-t),由消去y,整理得x2-4kx+4kt=0,由于直線

2、PA與拋物線相切,得k=t.因此,點A的坐標為(2t,t2).設圓C2的圓心為D(0,1),點B的坐標為(x0,y0),由題意知,點B,O關于直線PD對稱,故解得因此,點B的坐標為.(2)由(1)知|AP|=t,和直線PA的方程tx-y-t2=0.2(),14yk xtyx00001,220,yxtx ty 022022,12.1txttyt22222,11tttt21 t點B到直線PA的距離是d=,設PAB的面積為S(t),所以S(t)=|AP|d=.221tt1232t評析評析 本題主要考查拋物線的幾何性質,直線與圓的位置關系,直線與拋物線的位置關系等基礎知識.考查解析幾何的基本思想方法和

3、綜合解題能力.2.(2015浙江,19,15分)已知橢圓+y2=1上兩個不同的點A,B關于直線y=mx+對稱.(1)求實數(shù)m的取值范圍;(2)求AOB面積的最大值(O為坐標原點). 22x12解析解析(1)由題意知m0,可設直線AB的方程為y=- x+b.由消去y,得x2-x+b2-1=0.因為直線y=-x+b與橢圓+y2=1有兩個不同的交點,所以=-2b2+2+0,將AB中點的M代入直線方程y=mx+,解得b=-.由得m.(2)令t=,則|AB|=,1m221,21xyyxbm 2112m2bm1m22x24m2222,22mbm bmm122222mm63631m6,0260,221t 4

4、22322212ttt且O到直線AB的距離為d=.設AOB的面積為S(t),所以S(t)=|AB|d=.當且僅當t2=時,等號成立.故AOB面積的最大值為.22121tt1212221222t221222考點直線與圓錐曲線的位置關系考點直線與圓錐曲線的位置關系B B組統(tǒng)一命題、省（區(qū)、市）卷題組組統(tǒng)一命題、?。▍^(qū)、市）卷題組1.(2018課標全國理,8,5分)設拋物線C:y2=4x的焦點為F,過點(-2,0)且斜率為的直線與C交于M,N兩點,則=()A.5 B.6 C.7 D.823FMFN答案答案D本題主要考查直線與拋物線的位置關系及平面向量的數(shù)量積的運算.設M(x1,y1),N(x2,y2

5、).由已知可得直線的方程為y=(x+2),即x=y-2,由得y2-6y+8=0.由根與系數(shù)的關系可得y1+y2=6,y1y2=8,x1+x2=(y1+y2)-4=5,x1x2=4,F(1,0),=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=4-5+1+8=8,故選D.233224 ,322yxxy32212()16y yFMFN2.(2017課標全國文,12,5分)過拋物線C:y2=4x的焦點F,且斜率為的直線交C于點M(M在x軸的上方),l為C的準線,點N在l上且MNl,則M到直線NF的距離為()A. B.2 C.2 D.3 35233答案答案C本題考查直線與

6、拋物線的位置關系,點到直線的距離.解法一:由題意知MF:y=(x-1),與拋物線y2=4x聯(lián)立得3x2-10 x+3=0,解得x1=,x2=3,所以M(3,2),因為MNl,所以N(-1,2),又因為F(1,0),所以NF:y=-(x-1).所以M到直線NF的距離為=2.解法二:由題意知直線FM的傾斜角為60,又|FM|=|MN|,所以MNF為正三角形,于是直線NF與準線l成30角,從而|NF|=2p=4,則M到直線NF的距離為MNF的邊NF上的高,d=|NF|=2.31333322|3(3 1)2 3 |( 3)13sin30p323方法總結方法總結 涉及拋物線的焦點和準線時,應充分利用拋物

7、線的定義.3.(2017課標全國理,10,5分)已知F為拋物線C:y2=4x的焦點,過F作兩條互相垂直的直線l1,l2,直線l1與C交于A,B兩點,直線l2與C交于D,E兩點,則|AB|+|DE|的最小值為()A.16 B.14 C.12 D.10答案答案A本題考查拋物線的方程與幾何性質以及最值的求解,考查學生的邏輯思維能力和運算求解能力以及數(shù)形結合思想的應用.解法一:由拋物線的方程可知焦點F的坐標為(1,0),設A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4),過點F的直線l1的方程為x=my+1(m0),由得y2-4my-4=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4,

8、所以|y1-y2|=4,所以|AB|=|y1-y2|=4(1+m2);同理可得|DE|=4,因此|AB|+|DE|=4(1+m2)+416,當且僅當m=1時,等號成立.所以|AB|+|DE|的最小值為16,故選A.解法二:由題意知焦點F的坐標為(1,0),直線l1,l2的斜率不存在時,不合題意.設A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4),過F的直線l1的方程為y=k1(x-1),直線l2的方程為y=k2(x-1),則k1k2=-1,聯(lián)立直線l1的方程與拋物線方程,得,消去y,得x2-2x-4x+=0,所以x1+x2= .同理,直線l2與拋物線的交點滿足x3+x4=

9、.21,4xmyyx21212()4yyy y21m 21m211m211m214 ,(1)yxyk x21k21k21k212124kk222224kk由拋物線定義可知|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+2p=+4=+82+8=16,當且僅當k1=-k2=1或-1時,取得等號.所以|AB|+|DE|的最小值為16,故選A.解法三:如圖所示,設直線AB的傾斜角為,過A,B分別作準線的垂線,垂足為A1,B1,則|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,過點F向AA1引垂線FG,得=cos ,則|AF|=,同理,|BF|=,則|AB|=|AF|+|BF|=,即|AB|=,因l1與l2垂直

10、,故直線DE的傾斜角為+或-,212124kk222224kk214k224k221216k k|AGAF|AFpAF1cosp1cosp22sinp24sin 22則|DE|=,則|AB|+|DE|=+=,則易知|AB|+|DE|的最小值為16.故選A.24cos 24sin 24cos 224sincos241sin22216sin 2方法總結方法總結 利用幾何方法求拋物線的焦半徑.如圖,在拋物線y2=2px(p0)中,AB為焦點弦,若AF與拋物線對稱軸的夾角為,則在FEA中,cos =cosEAF=,則可得到焦半徑|AF|=,同理,|BF|=,熟悉這種求拋物線焦半徑的方法,對于求拋物線的

11、焦點弦長,焦點弦中的定值,如:+=等有很大幫助.|AEAF|AFpAF1cosp1cosp1|AF1|BF2p4.(2015江蘇,12,5分)在平面直角坐標系xOy中,P為雙曲線x2-y2=1右支上的一個動點.若點P到直線x-y+1=0的距離大于c恒成立,則實數(shù)c的最大值為 .答案答案 22解析解析雙曲線x2-y2=1的一條漸近線為直線y=x,顯然直線y=x與直線x-y+1=0平行,且兩直線之間的距離為=.因為點P為雙曲線x2-y2=1的右支上一點,所以點P到直線y=x的距離恒大于0,結合圖形(圖略)可知點P到直線x-y+1=0的距離恒大于,結合已知可得c的最大值為.22|0 1|1( 1)

12、2222225.(2019天津文,19,14分)設橢圓+=1(ab0)的左焦點為F,左頂點為A,上頂點為B.已知|OA|=2|OB|(O為原點).(1)求橢圓的離心率;(2)設經(jīng)過點F且斜率為的直線l與橢圓在x軸上方的交點為P,圓C同時與x軸和直線l相切,圓心C在直線x=4上,且OCAP.求橢圓的方程.22xa22yb334解析解析本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線方程、圓等基礎知識.考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質.考查運算求解能力,以及用方程思想、數(shù)形結合思想解決問題的能力.滿分14分.(1)設橢圓的半焦距為c,由已知有a=2b.又由a2=b2+c2,消去b得a2=+c2,解得=

13、.所以,橢圓的離心率為.(2)由(1)知,a=2c,b=c,故橢圓方程為+=1.由題意,F(-c,0),則直線l的方程為y=(x+c).點P的坐標滿足消去y并化簡,得到7x2+6cx-13c2=0,解得x1=c,x2=-.代入到l的方程,解得y1=c,y2=-c.3232aca12123224xc223yc3422221,433(),4xyccyxc137c32914因為點P在x軸上方,所以P.由圓心C在直線x=4上,可設C(4,t).因為OCAP,且由(1)知A(-2c,0),故=,解得t=2.則C(4,2).因為圓C與x軸相切,所以圓的半徑長為2,又由圓C與l相切,得=2,可得c=2.所以

14、,橢圓的方程為+=1.3,2cc4t322ccc23(4)24314c216x212y思路分析思路分析 (1)由已知條件,得a與b的比例關系,代入a2=b2+c2,得a與c的齊次關系,進而求得離心率.(2)設出直線方程(含參數(shù)c),聯(lián)立直線與橢圓方程(含參數(shù)c),得交點P的坐標(含參數(shù)c),由kAP=kOC,求得C點坐標以及圓的半徑r,最后由圓心到直線距離等于半徑列出關于c的方程,求得c的值,最終確定橢圓方程.6.(2019課標全國文,20,12分)已知F1,F2是橢圓C:+=1(ab0)的兩個焦點,P為C上的點,O為坐標原點.(1)若POF2為等邊三角形,求C的離心率;(2)如果存在點P,使

15、得PF1PF2,且F1PF2的面積等于16,求b的值和a的取值范圍.22xa22yb解析解析本題主要考查橢圓的定義、簡單的幾何性質;考查數(shù)形結合的數(shù)學思想和邏輯思維能力與運算求解能力;體現(xiàn)了邏輯推理與數(shù)學運算的核心素養(yǎng).(1)連接PF1.由POF2為等邊三角形可知在F1PF2中,F1PF2=90,|PF2|=c,|PF1|=c,于是2a=|PF1|+|PF2|=(+1)c,故C的離心率e=-1.(2)由題意可知,滿足條件的點P(x,y)存在,當且僅當|y|2c=16,=-1,+=1,即c|y|=16,x2+y2=c2,33ca312yxcyxc22xa22yb+=1.由及a2=b2+c2得y2

16、=,又由知y2=,故b=4.由得x2=(c2-b2),所以c2b2,22xa22yb42bc2216c22ac從而a2=b2+c22b2=32,故a4.當b=4,a4時,存在滿足條件的點P.所以b=4,a的取值范圍為4,+).222思路分析思路分析 第(1)問中由平面幾何知識可知PF1F2是F1PF2=90的直角三角形,且|PF2|=c,|PF1|=c,再利用橢圓的定義找出a與c的等量關系,進而求離心率.第(2)問中設出P點坐標,利用=16,PF1PF2以及+=1得到方程,消元化簡可求b的值和a的取值范圍.31 2PFFS22xa22yb一題多解一題多解 (2)設|PF1|=r1,|PF2|=

17、r2,由橢圓的定義可得r1+r2=2a,=r1r2=16,r1r2=32.又PF1PF2,+=4c2,(r1+r2)2=+2r1r2=4c2+64=4a2,4a2-4c2=64,b=4,又+2r1r2,4c2232,c4,a2=b2+c2=16+c232,b的值為4,a的取值范圍為4,+).1 2PFFS1221r22r21r22r21r22r27.(2019課標全國理,19,12分)已知拋物線C:y2=3x的焦點為F,斜率為的直線l與C的交點為A,B,與x軸的交點為P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;(2)若=3,求|AB|.32APPB解析解析本題主要考查拋物線的定義、幾何性質

18、、直線與拋物線相交的綜合問題等內(nèi)容,考查學生運算求解的能力,以及用方程思想、數(shù)形結合思想解決問題的能力,體現(xiàn)了直觀想象與數(shù)學運算的核心素養(yǎng).設直線l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由題設得F,故|AF|+|BF|=x1+x2+,由題設可得x1+x2=.由可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,則x1+x2=-.從而-=,得t=-.所以l的方程為y=x-.323,04325223,23yxtyx12(1)9t 12(1)9t 52783278(2)由=3可得y1=-3y2.由可得y2-2y+2t=0.所以y1+y2=2.從而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.A

19、PPB23,23yxtyx代入C的方程得x1=3,x2=.故|AB|=.134 133思路分析思路分析 (1)由|AF|+|BF|=4確定A、B兩點橫坐標之和,聯(lián)立直線l的方程(含參)與拋物線方程,由根與系數(shù)的關系得A、B兩點橫坐標之和的含參表達式.兩者相等,列方程求出參數(shù).(2)P點在x軸上,由=3知A、B兩點縱坐標的比例關系,由根與系數(shù)的關系得A、B兩點縱坐標之和,二者聯(lián)立,確定A、B的縱坐標,進而確定A、B的坐標,從而求得|AB|.APPB8.(2019江蘇,17,14分)如圖,在平面直角坐標系xOy中,橢圓C:+=1(ab0)的焦點為F1(-1,0),F2(1,0).過F2作x軸的垂線

20、l,在x軸的上方,l與圓F2:(x-1)2+y2=4a2交于點A,與橢圓C交于點D.連接AF1并延長交圓F2于點B,連接BF2交橢圓C于點E,連接DF1.已知DF1=.(1)求橢圓C的標準方程;(2)求點E的坐標. 22xa22yb52解析解析本小題主要考查直線方程、圓的方程、橢圓方程、橢圓的幾何性質、直線與圓及橢圓的位置關系等基礎知識,考查推理論證能力、分析問題能力和運算求解能力.滿分14分.(1)設橢圓C的焦距為2c.因為F1(-1,0),F2(1,0),所以F1F2=2,c=1.又因為DF1=,AF2x軸,所以DF2=.因此2a=DF1+DF2=4,從而a=2.由b2=a2-c2,得b2

21、=3.因此,橢圓C的標準方程為+=1.(2)解法一:由(1)知,橢圓C:+=1,a=2.因為AF2x軸,所以點A的橫坐標為1.將x=1代入圓F2的方程(x-1)2+y2=16,解得y=4.因為點A在x軸上方,所以A(1,4).又F1(-1,0),所以直線AF1:y=2x+2.5222112DFFF225223224x23y24x23y由得5x2+6x-11=0,解得x=1或x=-.將x=-代入y=2x+2,得y=-.因此B.又F2(1,0),所以直線BF2:y=(x-1).由得7x2-6x-13=0,解得x=-1或x=.又因為E是線段BF2與橢圓的交點,所以x=-1.將x=-1代入y=(x-1

22、),得y=-.因此E.解法二:由(1)知,橢圓C:+=1.2222,(1)16,yxxy1151151251112,5534223(1),41,43yxxy137343231,2 24x23y如圖,連接EF1.因為BF2=2a,EF1+EF2=2a,所以EF1=EB,從而BF1E=B.因為F2A=F2B,所以A=B.所以A=BF1E,從而EF1F2A.因為AF2x軸,所以EF1x軸.因為F1(-1,0),由解得y=.又因為E是線段BF2與橢圓的交點,所以y=-.因此E. 221,1,43xxy 323231,2 9.(2019天津理,18,13分)設橢圓+=1(ab0)的左焦點為F,上頂點為B

23、.已知橢圓的短軸長為4,離心率為.(1)求橢圓的方程;(2)設點P在橢圓上,且異于橢圓的上、下頂點,點M為直線PB與x軸的交點,點N在y軸的負半軸上.若|ON|=|OF|(O為原點),且OPMN,求直線PB的斜率.22xa22yb55解析解析本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線方程等基礎知識.考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質.考查運算求解能力,以及用方程思想解決問題的能力.滿分13分.(1)設橢圓的半焦距為c,依題意,2b=4,=,又a2=b2+c2,可得a=,b=2,c=1.所以,橢圓的方程為+=1.(2)由題意,設P(xP,yP)(xP0),M(xM,0).設直線PB的斜率為k(k

24、0),又B(0,2),則直線PB的方程為y=kx+2,與橢圓方程聯(lián)立整理得(4+5k2)x2+20kx=0,可得xP=-,代入y=kx+2得yP=ca55525x24y222,1,54ykxxy22045kk,進而直線OP的斜率=.在y=kx+2中,令y=0,得xM=-.由題意得N(0,-1),所以直線MN的斜率為-.由OPMN,得=-1,化簡得k2=,從而k=.所以,直線PB的斜率為或-.228 1045kkPPyx24510kk2k2k24510kk2k2452 3052 3052 305思路分析思路分析 (1)根據(jù)條件求出基本量a,b得到橢圓方程.(2)要利用條件OPMN,必須求P點和M

25、、N點坐標.由直線PB的方程與橢圓方程聯(lián)立得到P點坐標,求出M及N點坐標,利用kOPkMN=-1求出kPB.10.(2019課標全國理,21,12分)已知曲線C:y=,D為直線y=-上的動點,過D作C的兩條切線,切點分別為A,B.(1)證明:直線AB過定點;(2)若以E為圓心的圓與直線AB相切,且切點為線段AB的中點,求四邊形ADBE的面積.22x1250,2解析解析本題考查直線與拋物線相切,弦的中點,直線與圓相切等知識點,通過直線與拋物線的方程運算,考查了學生在解析幾何中的運算求解能力,以直線與拋物線相切為背景考查了數(shù)學運算的核心素養(yǎng).(1)設D,A(x1,y1),則=2y1.由于y=x,所

26、以切線DA的斜率為x1,故=x1.整理得2tx1-2y1+1=0.設B(x2,y2),同理可得2tx2-2y2+1=0.故直線AB的方程為2tx-2y+1=0.所以直線AB過定點.1,2t21x1112yxt10,2(2)由(1)得直線AB的方程為y=tx+.由可得x2-2tx-1=0.1221,22ytxxy于是x1+x2=2t,x1x2=-1,y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1,|AB|=|x1-x2|=2(t2+1).設d1,d2分別為點D,E到直線AB的距離,則d1=,d2=.因此,四邊形ADBE的面積S=|AB|(d1+d2)=(t2+3).設M為線段AB的中點,則M.由于

27、,而=(t,t2-2),與向量(1,t)平行,所以t+(t2-2)t=0.解得t=0或t=1.當t=0時,S=3;當t=1時,S=4.因此,四邊形ADBE的面積為3或4.21 t21 t21212()4xxx x21t 221t 1221t 21,2t tEMABEMAB22解題關鍵解題關鍵 (1)設出A、B坐標,求導、列等式是解題的突破口.(2)由(1)得出AB的方程,用坐標表示出,求AB方程中的參數(shù)是關鍵.EMAB11.(2018課標全國文,20,12分)已知斜率為k的直線l與橢圓C:+=1交于A,B兩點,線段AB的中點為M(1,m)(m0).(1)證明:k-;(2)設F為C的右焦點,P為

28、C上一點,且+=0.證明:2|=|+|.24x23y12FPFAFBFPFAFB證明證明本題考查橢圓的幾何性質、直線與橢圓的位置關系.(1)設A(x1,y1),B(x2,y2),則+=1,+=1.兩式相減,并由=k得+k=0.由題設知=1,=m,于是k=-.由題設得0m,故k-.214x213y224x223y1212yyxx124xx123yy122xx122yy34m3212(2)由題意得F(1,0).設P(x3,y3),則(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).由(1)及題設得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m0.又點P在C上,所

29、以m=,從而P,|=.于是|=2-.3431,2FP32FA2211(1)xy2211(1)3 14xx12x同理|=2-.所以|+|=4-(x1+x2)=3.故2|=|+|.FB22xFAFB12FPFAFB思路分析思路分析 (1)利用“點差法”求得斜率k,利用AB中點坐標建立k與m的關系式,由m的范圍得到k的范圍.(2)根據(jù)題設+=0及點P在C上確定m,進一步得出|、|、|的關系.FPFAFBFPFAFB解后反思解后反思 1.解決直線與橢圓的位置關系的常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消元、化簡,然后利用根與系數(shù)的關系建立方程,解決相關問題.2.題中涉及弦的中點坐標,可以采取“點差法”

30、求解,設出點A、B的坐標,代入橢圓方程并作差,再將弦AB的中點坐標代入所得的差式中,即可得直線AB的斜率.12.(2018課標全國理,19,12分)設橢圓C:+y2=1的右焦點為F,過F的直線l與C交于A,B兩點,點M的坐標為(2,0).(1)當l與x軸垂直時,求直線AM的方程;(2)設O為坐標原點,證明:OMA=OMB.22x解析解析(1)由已知得F(1,0),l的方程為x=1,由已知可得,點A的坐標為或.所以AM的方程為y=-x+或y=x-.(2)證明:當l與x軸重合時,OMA=OMB=0,當l與x軸垂直時,直線OM為AB的垂直平分線,所以OMA=OMB.當l與x軸不重合也不垂直時,設l的

31、方程為y=k(x-1)(k0),A(x1,y1),B(x2,y2),21,221,2222222則x1,x20,x20.由得ky2-2y-4k=0,可知y1+y2=,y1y2=-4.直線BM,BN的斜率之和為12122(2),2yk xyx2kkBM+kBN=+=.將x1=+2,x2=+2及y1+y2,y1y2的表達式代入式分子,可得x2y1+x1y2+2(y1+y2)=0.所以kBM+kBN=0,可知BM,BN的傾斜角互補,所以ABM=ABN.綜上,ABM=ABN.112yx 222yx 211212122()(2)(2)x yx yyyxx1yk2yk121224 ()y yk yyk88

32、k 方法總結方法總結 直線與圓錐曲線的位置關系的常見題型及解題策略:(1)求直線方程.先尋找確定直線的兩個條件.若缺少一個可設出此量,利用題設條件尋找關于該量的方程,解方程即可.(2)求線段長度或線段之積(和)的最值.可依據(jù)直線與圓錐曲線相交,利用弦長公式求出弦長或弦長關于某個量的函數(shù),然后利用基本不等式或函數(shù)的有關知識求其最值;也可利用圓錐曲線的定義轉化為兩點間的距離或點到直線的距離.(3)證明題.圓錐曲線中的證明問題多涉及定點、定值、角相等、線段相等、點在定直線上等,有時也涉及一些否定性命題,常采用直接法或反證法給予證明.借助于已知條件,將直線與圓錐曲線聯(lián)立,尋找待證明式子的表達式,結合根

33、與系數(shù)的關系及整體代換思想化簡即可得證.失分警示失分警示 (1)由于忽略點M,N位置的轉換性,使直線BM方程缺失,從而導致失分;(2)由于不能將“ABM=ABN”正確轉化為“kBM+kBN=0”,從而思路受阻,無法完成后續(xù)內(nèi)容.2.(2018北京文,20,14分)已知橢圓M:+=1(ab0)的離心率為,焦距為2.斜率為k的直線l與橢圓M有兩個不同的交點A,B.(1)求橢圓M的方程;(2)若k=1,求|AB|的最大值;(3)設P(-2,0),直線PA與橢圓M的另一個交點為C,直線PB與橢圓M的另一個交點為D.若C,D和點Q共線,求k.22xa22yb6327 1,4 4解析解析(1)由題意得解得

34、a=,b=1.所以橢圓M的方程為+y2=1.(2)設直線l的方程為y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2).由得4x2+6mx+3m2-3=0.所以x1+x2=-,x1x2=.|AB|=.當m=0,即直線l過原點時,|AB|最大,最大值為.222,6,322 2,abccac323x22,13yxmxy32m2334m 222121()()xxyy2212()xx212122()4xxx x21232m6(3)設A(x1,y1),B(x2,y2).由題意得+3=3,+3=3.直線PA的方程為y=(x+2).由得(x1+2)2+3x2+12x+12-3(x1+2)2=0.設C(xC,yC)

35、.所以xC+x1=.所以xC=-x1=.所以yC=(xC+2)=.設D(xD,yD).同理得xD=,yD=.記直線CQ,DQ的斜率分別為kCQ,kDQ,21x21y22x22y112yx 1122(2),233,yyxxxy21y21y21y21221112(2)3yxy21141247xx21141247xx1112747xx112yx 1147yx 2212747xx2247yx 則kCQ-kDQ=-=4(y1-y2-x1+x2).因為C,D,Q三點共線,所以kCQ-kDQ=0.故y1-y2=x1-x2.所以直線l的斜率k=1.111114741277474yxxx222214741277

36、474yxxx1212yyxx3.(2018江蘇,18,14分)如圖,在平面直角坐標系xOy中,橢圓C過點,焦點F1(-,0),F2(,0),圓O的直徑為F1F2.(1)求橢圓C及圓O的方程;(2)設直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點P.若直線l與橢圓C有且只有一個公共點,求點P的坐標;直線l與橢圓C交于A,B兩點.若OAB的面積為,求直線l的方程. 13,2332 67解析解析本題主要考查直線方程、圓的方程、圓的幾何性質、橢圓方程、橢圓的幾何性質、直線與圓及橢圓的位置關系等知識,考查分析問題能力和運算求解能力.解法一:(1)因為橢圓C的焦點為F1(-,0),F2(,0),所以可設橢圓C的方程為

37、+=1(ab0).又點在橢圓C上,所以解得因此,橢圓C的方程為+y2=1.因為圓O的直徑為F1F2,所以其方程為x2+y2=3.(2)設直線l與圓O相切于P(x0,y0)(x00,y00),則+=3.所以直線l的方程為y=-(x-x0)+y0,即y=-x+.3322xa22yb13,22222311,43,abab224,1.ab24x20 x20y00 xy00 xy03y由消去y,得(4+)x2-24x0 x+36-4=0.(*)因為直線l與橢圓C有且只有一個公共點,所以=(-24x0)2-4(4+)(36-4)=48(-2)=0.因為x0,y00,所以x0=,y0=1.因此,點P的坐標為

38、(,1).因為三角形OAB的面積為,所以ABOP=,從而AB=.設A(x1,y1),B(x2,y2),由(*)得x1,2=,所以AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=.220001,43xyxyxyy 20 x20y20y20 x20y20y20y20 x222 67122 674 272200022002448(2)2(4)xyxxy20201xy22002220048(2)(4)yxxy因為+=3,所以AB2=,即2-45+100=0.解得=(=20舍去),則=,因此P的坐標為.則直線l的方程為y=-x+3.解法二:(1)由題意知c=,所以圓O的方程為x2+y2=3,因為點在橢圓上,

39、所以2a=+=4,所以a=2.因為a2=b2+c2,所以b=1,所以橢圓C的方程為+y2=1.(2)由題意知直線l與圓O和橢圓C均相切,且切點在第一象限,所以直線l的斜率k存在且k0,設直線l的方程為y=kx+m(k0),將直線l的方程代入圓O的方程,得x2+(kx+m)2=3,20 x20y2022016(2)(1)xx324940 x20 x20 x5220 x20y12102,2252313,2221( 33)02221( 33)0224x整理得(k2+1)x2+2kmx+m2-3=0,因為直線l與圓O相切,所以=(2km)2-4(k2+1)(m2-3)=0,整理得m2=3k2+3,將直

40、線l的方程代入橢圓C的方程,得+(kx+m)2=1,整理得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,因為直線l與橢圓C相切,所以=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)=0,整理得m2=4k2+1,所以3k2+3=4k2+1,因為k0,所以k=-,則m=3,將k=-,m=3代入(k2+1)x2+2kmx+m2-3=0,整理得x2-2x+2=0,解得x1=x2=,將x=代入x2+y2=3,解得y=1(y=-1舍去),所以點P的坐標為(,1).設A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m),由知m2=3k2+3,且k0,24x222222因為直線l和橢圓C相交,所以結合的過程知m24k

41、2+1,解得k-,將直線l的方程和橢圓C的方程聯(lián)立可得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,解得x1,2=,所以|x1-x2|=,因為AB=|x1-x2|=,O到l的距離d=,所以SOAB=,解得k2=5,因為kb0)的左焦點為F,上頂點為B.已知橢圓的離心率為,點A的坐標為(b,0),且|FB|AB|=6.(1)求橢圓的方程;(2)設直線l:y=kx(k0)與橢圓在第一象限的交點為P,且l與直線AB交于點Q.若=sinAOQ(O為原點),求k的值.22xa22yb532|AQPQ5 24解析解析(1)設橢圓的焦距為2c,由已知有=,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由已知可得,|

42、FB|=a,|AB|=b,由|FB|AB|=6,可得ab=6,從而a=3,b=2.所以,橢圓的方程為+=1.22ca592229x24y(2)設點P的坐標為(x1,y1),點Q的坐標為(x2,y2).由已知有y1y20,故|PQ|sinAOQ=y1-y2.又因為|AQ|=,而OAB=,故|AQ|=y2.由=sinAOQ,可得5y1=9y2.由方程組消去x,可得y1=.易知直線AB的方程為x+y-2=0,2sinyOAB42|AQPQ5 2422,1,94ykxxy2694kk 由方程組消去x,可得y2=.由5y1=9y2,可得5(k+1)=3,兩邊平方,整理得56k2-50k+11=0,解得k

43、=,或k=.所以,k的值為或.,20,ykxxy21kk 294k 121128121128解題關鍵解題關鍵 利用平面幾何知識將=sinAOQ轉化為點P、Q坐標間的關系是解決第(2)問的關鍵.|AQPQ5 24方法歸納方法歸納 求橢圓標準方程的基本方法:(1)定義法:根據(jù)橢圓的定義,確定a2,b2的值,結合焦點位置寫出橢圓方程;(2)待定系數(shù)法:這是求橢圓方程的常用方法,基本步驟為根據(jù)已知條件判斷焦點的位置;根據(jù)焦點的位置設出所求橢圓的方程;根據(jù)已知條件,建立關于a、b、c的方程組,注意c2=a2-b2的應用;解方程組,求得a、b的值,從而得出橢圓的方程.5.(2017天津理,19,14分)設

44、橢圓+=1(ab0)的左焦點為F,右頂點為A,離心率為.已知A是拋物線y2=2px(p0)的焦點,F到拋物線的準線l的距離為.(1)求橢圓的方程和拋物線的方程;(2)設l上兩點P,Q關于x軸對稱,直線AP與橢圓相交于點B(B異于點A),直線BQ與x軸相交于點D.若APD的面積為,求直線AP的方程.22xa22yb121262解析解析本題主要考查橢圓、拋物線的標準方程和幾何性質,直線方程等基礎知識.考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質.考查運算求解能力,以及用方程思想解決問題的能力.(1)設F的坐標為(-c,0).依題意,=,=a,a-c=,解得a=1,c=,p=2,于是b2=a2-c2=.所以,橢

45、圓的方程為x2+=1,拋物線的方程為y2=4x.(2)設直線AP的方程為x=my+1(m0),與直線l的方程x=-1聯(lián)立,可得點P,故Q.將x=my+1與x2+=1聯(lián)立,消去x,整理得(3m2+4)y2+6my=0,解得y=0或y=.由點B異于點A,可得點B.由Q,可得直線BQ的方程為(x+1)-=0,令y=0,解得x=,故D.所以|AD|=1-=.又因為APD的面積為,故=,整理得3m2-2|m|+2=0,解得|m|=,所以m=.所以,直線AP的方程為3x+y-3=0或3x-y-3=0.ca122p121234243y21,m 21,m243y2634mm222346,3434mmmm21,

46、m26234mmm2234134mm2ym222332mm2223,032mm222332mm22632mm 621222632mm 2|m626636366方法總結方法總結 1.利用待定系數(shù)法求圓錐曲線標準方程的三個步驟:(1)作判斷:根據(jù)焦點位置設方程;(2)找等量關系;(3)解方程得結果.2.解決直線與圓錐曲線位置關系問題的基本策略:(1)巧設直線方程:當已知直線與x軸交點固定時,常設為x=my+b的形式,這樣可避免對斜率是否存在的討論;(2)注意整體代入思想的應用,利用根與系數(shù)的關系可以簡化運算,提高運算的效率和正確率.6.(2016課標全國,20,12分)已知橢圓E:+=1的焦點在x

47、軸上,A是E的左頂點,斜率為k(k0)的直線交E于A,M兩點,點N在E上,MANA.(1)當t=4,|AM|=|AN|時,求AMN的面積;(2)當2|AM|=|AN|時,求k的取值范圍.2xt23y解析解析(1)設M(x1,y1),則由題意知y10.當t=4時,E的方程為+=1,A(-2,0).由已知及橢圓的對稱性知,直線AM的傾斜角為.因此直線AM的方程為y=x+2.(2分)將x=y-2代入+=1得7y2-12y=0.解得y=0或y=,所以y1=.(4分)因此AMN的面積SAMN=2=.(5分)24x23y424x23y1271271212712714449(2)由題意知,t3,k0,A(-

48、,0).將直線AM的方程y=k(x+)代入+=1得(3+tk2)x2+2tk2x+t2k2-3t=0.由x1(-)=得x1=,故|AM|=|x1+ |=.(8分)tt2xt23ytt22233t kttk22(3)3ttktkt21 k226(1)3tktk由題設,直線AN的方程為y=-(x+),故同理可得|AN|=.由2|AM|=|AN|得=,即(k3-2)t=3k(2k-1).當k=時上式不成立,因此t=.(10分)t3等價于=0,即0.由此得或解得k3,建立關于k的不等式,從而得出k的取值范圍.評析評析 本題主要考查橢圓的幾何性質,直線與橢圓的位置關系以及方程的思想方法的應用,考查學生的

49、運算求解能力及邏輯思維能力.注意挖掘題目中t3這一隱含條件,這是把等式轉化為不等式的關鍵.7.(2016江蘇,22,10分)如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知直線l:x-y-2=0,拋物線C:y2=2px(p0).(1)若直線l過拋物線C的焦點,求拋物線C的方程;(2)已知拋物線C上存在關于直線l對稱的相異兩點P和Q.求證:線段PQ的中點坐標為(2-p,-p);求p的取值范圍. 解析解析(1)拋物線C:y2=2px(p0)的焦點為,由點在直線l:x-y-2=0上,得-0-2=0,即p=4.所以拋物線C的方程為y2=8x.(2)設P(x1,y1),Q(x2,y2),線段PQ的中點M(x0,y0

50、).因為點P和Q關于直線l對稱,所以直線l垂直平分線段PQ,于是直線PQ的斜率為-1,則可設其方程為y=-x+b.證明:由消去x得y2+2py-2pb=0.(*)因為P和Q是拋物線C上的相異兩點,所以y1y2,從而=(2p)2-4(-2pb)0,化簡得p+2b0.方程(*)的兩根為y1,2=-p,從而y0=-p.因為M(x0,y0)在直線l上,所以x0=2-p.因此,線段PQ的中點坐標為(2-p,-p).因為M(2-p,-p)在直線y=-x+b上,02p,02p2p22,ypxyxb 22ppb122yy所以-p=-(2-p)+b,即b=2-2p.由知p+2b0,于是p+2(2-2p)0,所以

51、pb0)的左焦點為F(-c,0),離心率為,點M在橢圓上且位于第一象限,直線FM被圓x2+y2=截得的線段的長為c,|FM|=.(1)求直線FM的斜率;(2)求橢圓的方程;(3)設動點P在橢圓上,若直線FP的斜率大于,求直線OP(O為原點)的斜率的取值范圍.22xa22yb3324b4 332解析解析(1)由已知有=,即a2=3c2,又由a2=b2+c2,可得b2=2c2.設直線FM的斜率為k(k0),則直線FM的方程為y=k(x+c).由已知,有+=,解得k=.(2)由(1)得橢圓方程為+=1,直線FM的方程為y=(x+c),兩個方程聯(lián)立,消去y,整理得3x2+2cx-5c2=0,解得x=-

52、c或x=c.因為點M在第一象限,可得M的坐標為.由|FM|=,解得c=1,所以橢圓的方程為+=1.(3)設點P的坐標為(x,y),直線FP的斜率為t,得t=,即y=t(x+1)(x-1),與橢圓方程聯(lián)立得消去y,得2x2+3t2(x+1)2=6.又由已知,得t=,解得-x-1,或-1x0.22ca13221kck22c22b33223xc222yc33532 3,3cc222 3()03ccc4 3323x22y1yx 22(1),1,32yt xxy22623(1)xx232設直線OP的斜率為m,得m=,即y=mx(x0),與橢圓方程聯(lián)立,整理可得m2=-.當x時,有y=t(x+1)0,于是

53、m=,得m.當x(-1,0)時,有y=t(x+1)0,因此mb0)的一個焦點,C1與C2的公共弦的長為2.(1)求C2的方程;(2)過點F的直線l與C1相交于A,B兩點,與C2相交于C,D兩點,且與同向.(i)若|AC|=|BD|,求直線l的斜率;(ii)設C1在點A處的切線與x軸的交點為M,證明:直線l繞點F旋轉時,MFD總是鈍角三角形.22ya22xb6ACBD解析解析(1)由C1:x2=4y知其焦點F的坐標為(0,1).因為F也是橢圓C2的一個焦點,所以a2-b2=1.又C1與C2的公共弦的長為2,C1與C2都關于y軸對稱,且C1的方程為x2=4y,由此易知C1與C2的公共點的坐標為,所

54、以+=1.聯(lián)立得a2=9,b2=8.故C2的方程為+=1.(2)如圖,設A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).(i)因與同向,且|AC|=|BD|,所以=,從而x3-x1=x4-x2,即x1-x2=x3-x4,于是(x1+x2)2-4x1x2=(x3+x4)2-4x3x4.設直線l的斜率為k,則l的方程為y=kx+1.由得x2-4kx-4=0.而x1,x2是這個方程的兩根,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.由得(9+8k2)x2+16kx-64=0.而x3,x4是這個方程的兩根,所以x3+x4=-,x3x4=-.將代入,得16(k2+1)=+,636,22

55、94a26b29y28xACBDACBD21,4ykxxy221,189ykxxy21698kk26498k222216(98)kk24 6498k即16(k2+1)=,所以(9+8k2)2=169,解得k=,即直線l的斜率為.(ii)證明:由x2=4y得y=,所以C1在點A處的切線方程為y-y1=(x-x1),即y=-.令y=0,得x=,即M,所以=.而=(x1,y1-1),于是=-y1+1=+10,因此AFM是銳角,從而MFD=180-AFM是鈍角.故直線l繞點F旋轉時,MFD總是鈍角三角形.2222169(1)(98)kk64642x12x12x x214x12x1,02xFM1, 12

56、xFAFAFM212x214x考點直線與圓錐曲線的位置關系考點直線與圓錐曲線的位置關系三年模擬A A組組 20172019 20172019年高考模擬年高考模擬考點基礎題組考點基礎題組1.(2018浙江鎮(zhèn)海中學階段性測試,8)設從點P(a,b)分別向橢圓+y2=1與雙曲線x2-=1作兩條切線PA,PB和PC,PD,切點分別為A,B和C,D,若ABCD,則=()A.4 B.1 C.4 D.124x24yba答案答案D過點P(a,b)向橢圓+y2=1作兩條切線PA,PB,設切點A(x1,y1),B(x2,y2),則切線PA,PB的方程分別為+y1y=1,+y2y=1.把點P坐標代入兩切線方程中有+

57、by1=1和+by2=1,則AB的方程為ax+4by=4.同理,過點P(a,b)向雙曲線x2-=1作兩條切線PC,PD,則CD的方程為4ax-by=4,若ABCD,則a2=b2,故選D.24x14x x24x x14ax24ax24y2.(2018浙江新高考調(diào)研卷三(杭州二中),15)設O是坐標原點,若橢圓+=1與斜率為2的直線l交于A,B兩點,則OAB的面積最大值是 .24x22y答案答案 2解析解析設直線l:y=2x+b,代入x2+2y2=49x2+8bx+2b2-4=0,則|AB|=|x1-x2|=,d=,SOAB=|AB|d=,由0,解得b2b0)的離心率大于,且過點.點F為橢圓C的右焦點,B1,B2分別為橢圓C的下、上頂點,直線B2F與橢圓C交于點H,B2,且直線HB1的斜率為.(1)求橢圓C的標準方程;(2)設A1,A2為橢圓C的左、右頂點,P為直線x=4上一動點,直線A1P,A2P分別交橢圓C于另兩點M,N,求OMN面積的最大值. 22xa22yb1213,234解析解析(1)設H(x0,y0),則=,=,所以=-,而=-,因此=-=,故=,即=,即e2-e4=,故=0,解得e=(舍)或e=.由解得1HBk00ybx2HBk00ybx1HBk2HBk22020ybx220220bxax22