




版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進行舉報或認領(lǐng)
文檔簡介
1、第二節(jié)二、反函數(shù)的求導法則二、反函數(shù)的求導法則 三、復合函數(shù)求導法則三、復合函數(shù)求導法則 四、初等函數(shù)的求導問題四、初等函數(shù)的求導問題 一、四則運算求導法則一、四則運算求導法則 函數(shù)的求導法則 第二章 解決求導問題的思路解決求導問題的思路:xxfxxfxfx)()(lim)(0( 構(gòu)造性定義 )求導法則求導法則其他基本初等其他基本初等函數(shù)求導公式函數(shù)求導公式0 xcosx1 )(C )sin(x )ln(x證明中利用了兩個重要極限初等函數(shù)求導問題初等函數(shù)求導問題本節(jié)內(nèi)容一、四則運算求導法則一、四則運算求導法則 定理定理1.的和、 差、 積、 商 (除分母為 0的點外) 都在點 x 可導, 且下
2、面分三部分加以證明,并同時給出相應的推論和例題 .可導都在點及函數(shù)xxvvxuu)()()()(xvxu及)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu)0)(xv此法則可推廣到任意有限項的情形.證證: 設(shè) 則vuvu )() 1 (故結(jié)論成立.例如, )()()(xvxuxfhxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0hxuhxuh)()(lim0hxvhxvh)()(lim0)()(xvxuwvuwvu)(2)vuvuvu )(證證
3、: 設(shè), )()()(xvxuxf則有hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0故結(jié)論成立.)()()()(xvxuxvxuhhxuh )(lim0)(xu)(hxvhxv)( )(xu)(hxv推論推論: )() 1uC )()2wvuuC wvuwvuwvu )log()3xaaxlnlnaxln1( C為常數(shù) )例例1. 解解:xsin41(21)1sin, )1sincos4(3xxxy.1xyy 及求 y)(xx)1sincos4(213xxx23( xx)1xy1cos4)1sin43( 1cos21sin2727)1sincos4(3x
4、x)1sincos4(3xx)()( lim0 xvhxvh)()()()()()(xvhxvhxvxuxvhxuh)()(xvxu(3)2vvuvuvu證證: 設(shè))(xf則有hxfhxfxfh)()(lim)(0hh lim0,)()(xvxu)()(hxvhxu)()(xvxuhhxu )( )(xu)(xvhhxv )( )(xu)(xv故結(jié)論成立.)()()()()(2xvxvxuxvxu推論推論:2vvCvC( C為常數(shù) ) )(cscxxsin1x2sin)(sinxx2sin例例2. 求證,sec)(tan2xx證證: .cotcsc)(cscxxxxxxcossin)(tan
5、x2cosxx cos)(sin)(cossinxx x2cosx2cosx2sinx2secxcosxxcotcsc類似可證:,csc)(cot2xx.tansec)(secxxx )( xf二、反函數(shù)的求導法則二、反函數(shù)的求導法則 定理定理2. y 的某鄰域內(nèi)單調(diào)可導, ,)()(1的反函數(shù)為設(shè)yfxxfy在)(1yf0 )(1yf且 ddxy或yxdd1 )(1yf11例例3. 求反三角函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的導數(shù).解解: 1) 設(shè),arcsin xy 則,sin yx , )2,2(y)(arcsinx)(sinyycos1y2sin11211x類似可求得?)(arccosx,11)(arct
6、an2xx211)arccot(xx211xxxarcsin2arccos利用0cosy, 則2) 設(shè), )1,0(aaayx則),0(,logyyxa)(xa)(log1ya 1ayln1aylnaaxlnxxe)e( )arcsin(x211x )arccos(x211x )arctan(x211x )cotarc(x211xaaaxxln)(xxe)e(特別當ea時,小結(jié)小結(jié):在點 x 可導,三、復合函數(shù)求導法則三、復合函數(shù)求導法則定理定理3.)(xgu )(ufy 在點)(xgu 可導復合函數(shù) fy )(xg且)()(ddxgufxy在點 x 可導,例如,)(, )(, )(xvvuu
7、fyxydd)()()(xvufyuvxuyddvuddxvdd關(guān)鍵: 搞清復合函數(shù)結(jié)構(gòu), 由外向內(nèi)逐層求導.推廣推廣:此法則可推廣到多個中間變量的情形.例例4. 求下列導數(shù):. )(sh)3(;)()2(;)() 1 (xxxx解解: (1)(e)(lnxxxlne)ln(xxx1x)(e)(lnxxxxxx lne)ln(xxxx)1ln(x(2)(3)2ee)(shxxx2 xexexch說明說明: 類似可得;sh)(chxxaxxalne)(thx)(xaxxxchshth2eeshxxx;ch12x.lnaax例例5. 設(shè), )cos(elnxy 求.ddxy解解:xydd)cos(
8、e1x)sin(e(xxe)tan(eexx思考思考: 若)(uf 存在 , 如何求)cos(e(lnxf的導數(shù)?xfdd)(f ) )cos(e(lnx)cos(eln)(xuuf這兩個記號含義不同)cos(elnx例例6. 設(shè), )1(ln2xxy.y求解解:112xxy11212xx2112x記, )1(lnarsh2xxx則 )(arsh x112x(反雙曲正弦)其他反雙曲函數(shù)的導數(shù)看參考書自推. 2eeshxxx的反函數(shù)雙曲正弦四、初等函數(shù)的求導問題四、初等函數(shù)的求導問題 1. 常數(shù)和基本初等函數(shù)的導數(shù) (P95) )(C0 )(x1x )(sin xxcos )(cosxxsin
9、)(tan xx2sec )(cot xx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(exxe )(log xaaxln1 )(lnxx1 )(arcsin x211x )(arccosx211x )(arctan x211x )cot(arcx211x2. 有限次四則運算的求導法則 )(vuvu )( uCuC )( vuvuvuvu2vvuvu( C為常數(shù) )0( v3. 復合函數(shù)求導法則)(, )(xuufyxydd)()(xuf4. 初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導, )(C0 )(sin xxcos )(ln xx1由
10、定義證 ,說明說明: 最基本的公式uyddxudd其他公式用求導法則推出.且導數(shù)仍為初等函數(shù)且導數(shù)仍為初等函數(shù)例例7. 求解解:,1111xxxxy.y21222xxy12xx1 y1212x)2( x112xx例例8. 設(shè)),0( aaaxyxaaaxa解解:1aaaxayaaaxln1axaaaxaln求.yaaxln先化簡后求導例例9. 求解解:,1arctane2sin2xyx.y1arctan)(2xy ) (e2sin x2sinex2cos xx221x1212xx2x21arctan2x2sinex2cos x2sinex112xx關(guān)鍵關(guān)鍵: 搞清復合函數(shù)結(jié)構(gòu) 由外向內(nèi)逐層求導
11、例例10. 設(shè)求,1111ln411arctan21222xxxy.y解解: y22)1(1121x21xx) 11ln() 11ln(22xx111412x21xx1112x21xx2121xx221x21x231)2(1xxx內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)求導公式及求導法則 (見P95 P96)注意注意: 1),)(vuuvvuvu2) 搞清復合函數(shù)結(jié)構(gòu) , 由外向內(nèi)逐層求導 .41143x1.xx1431x思考與練習思考與練習對嗎?2114341xx2. 設(shè), )()()(xaxxf其中)(x在ax 因)()()()(xaxxxf故)()(aafaxafxfafax)()(lim)(axxaxax)()(lim)(limxax)(a正確解法:)(af 時, 下列做法是否正確?在求處連續(xù),由于 f (a) = 0,故3. 求下列函數(shù)的導數(shù)解解: (1)1bxaby2xa1bbxba(2) y)(x(1);(2).bxaayyxbxbabalnxabbaln或xabyababxln4. 設(shè)),99()2)(1()(xxxxxf).0(f 求解解: 方法方法1 利用導數(shù)定義.0)0()(lim)0(0 xfxffx)99()2)(1(lim0 xxxx!99方法方法2 利用求導公式.)(xf)(xx )99()2)(1(xxx)99()2)(1(xxx!99)0(
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預覽,若沒有圖紙預覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負責。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 2025年中國旋轉(zhuǎn)套鉆數(shù)據(jù)監(jiān)測報告
- 2025年中國數(shù)字式感應考勤門禁監(jiān)控系統(tǒng)市場調(diào)查研究報告
- 2025至2031年中國純天然小麥胚芽行業(yè)投資前景及策略咨詢研究報告
- 2025-2030年中國3g視頻通話市場運營競爭力分析及投資預測研究報告
- 2025-2030年中國LNG液化天然氣市場應用前景及投資競爭戰(zhàn)略研究報告
- 2025-2030家用安防行業(yè)市場深度分析及發(fā)展策略研究報告
- 2025-2030年中國IGBT絕緣柵雙極型晶體管市場發(fā)展研究及投資戰(zhàn)略研究報告
- 徐州生物工程職業(yè)技術(shù)學院《數(shù)字系統(tǒng)設(shè)計》2023-2024學年第二學期期末試卷
- 2025至2031年中國生產(chǎn)制造檢測非標設(shè)備行業(yè)投資前景及策略咨詢研究報告
- 三亞鳳凰水城09暖冬營銷雷霆行動
- 2024年家政服務職業(yè)技能大賽家庭照護賽項決賽試理論題庫1000題
- 2025勞動合同范本下載打印
- 微生物檢驗的基礎(chǔ)知識試題及答案
- 2025年北京市三類人員安全員c3證考試題庫及答案
- (四調(diào))武漢市2025屆高中畢業(yè)生四月調(diào)研考試 地理試卷(含答案)
- GB/T 45434.3-2025中國標準時間第3部分:公報
- 北京市消防條例解讀
- 2025年中國城市軌道交通維修行業(yè)投資潛力分析及行業(yè)發(fā)展趨勢報告
- 公司轉(zhuǎn)讓租賃合同樣本
- 大概念視角下的初中數(shù)學函數(shù)單元整體教學設(shè)計研究與實踐
- 建筑工程檢測行業(yè)市場現(xiàn)狀分析及未來三到五年發(fā)展趨勢報告
評論
0/150
提交評論