雙曲線的性質(zhì)A知識講解

1、雙曲線的性質(zhì)編稿：希勇審稿：霞【學習目標】1. 理解雙曲線的對稱性、圍、定點、離心率、漸近線等簡單性質(zhì)2. 能利用雙曲線的簡單性質(zhì)求雙曲線的方程3. 能用雙曲線的簡單性質(zhì)分析解決一些簡單的問題【要點梳理】【高清課堂：雙曲線的性質(zhì)356749知識要點二】要點一、雙曲線的簡單幾何性質(zhì)2 2X y雙曲線一2y21 (a> 0, b> 0)的簡單幾何性質(zhì)a b圍21 X21即 X2a2ax a或 xa雙曲線上所有的點都在兩條平行直線 足 xw -a 或 x>a.對稱性x=-a和x=a的兩側(cè)，是無限延伸的。因此雙曲線上點的橫坐標滿2x對于雙曲線標準方程 一2a2 y b2(a>0

2、, b > 0),把x換成-x，或把y換成-y，或把x、y同時換成-x、-y，方程都不變，所以雙曲線2X2 a2y21 (a>0, b>0)是以x軸、y軸為對稱軸的軸對稱圖形，且是以b原點為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為雙曲線的中心。 頂點 雙曲線與它的對稱軸的交點稱為雙曲線的頂點。2 2雙曲線：2A （-a，0），A2 （ a，0)，頂點是雙曲線兩支上的點中距離最近的點。1 (a>0, b> 0)與坐標軸的兩個交點即為雙曲線的兩個頂點，坐標分別為兩個頂點間的線段AA叫作雙曲線的實軸；設Bi (0, -b ), B2 (0, b)為y軸上的兩個點，則線段

3、叫做雙曲線的虛軸。實軸和虛軸的長度分別為|AiA2|=2a, |BiEb|=2b。 a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長。雙曲線只有兩個頂點，而橢圓有四個頂點，不能把雙曲線的虛軸與橢圓的短軸混淆。 雙曲線的焦點總在實軸上。 實軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線。離心率雙曲線的焦距與實軸長的比叫做雙曲線的離心率，用e表示，記作e2c c2a a因為c>a> 0，所以雙曲線的離心率 e C 1 oa由 c2=a2+b2，可得a2 2c a2a(c)2 i . e2 i，所以b決定雙曲線的開口大小,aab越大，e也a越大，雙曲線開口就越開闊。所以離心率可以用來表示雙曲線開口的大

4、小程度。等軸雙曲線a b，所以離心率e漸近線經(jīng)過點A Ai作y軸的平行線x=± a，圖)，矩形的兩條對角線所在直線的方程是經(jīng)過點Bi、B2作x軸的平行線y=± b,四條直線圍成一個矩形(如bX oa我們把直線| MN |x叫做雙曲線的漸近線;a鄉(xiāng)雙曲線與它的漸近線無限接近，但永不相交。aox x2 a2【高清課堂：雙曲線的性質(zhì)356749知識要點一、3】要點二、雙曲線兩個標準方程幾何性質(zhì)的比較標準方程2 2x y 2r 1 (a 0,b0)a b22yx21 (a 0,b 0)ab圖形yi/bA21 i-r fi0x性質(zhì)焦占八 '、八、R( c,0) , F2(c,

5、0)R(0, c) , F2(0,c)焦距|F,F2 | 2c(c Ja2 b2)| F1F21 2c (c Ja2 b2)圍x xa或x a, y Ry ya或y a , x R對稱性關于x軸、y軸和原點對稱頂點(a,0)(0, a)軸實軸長=2a，虛軸長=2b離心率e (e 1) a漸近線方程by- xaay - x b要點詮釋：雙曲線的焦點總在實軸上，因此已知標準方程，判斷焦點位置的方法是：看x2、y2的系數(shù),如果x2項的系數(shù)是正的，那么焦點在 x軸上；如果y2項的系數(shù)是正的，那么焦點在y軸上。對于雙曲線，a不一定大于b,因此不能像橢圓那樣通過比較分母的大小來判定焦點在哪一條坐標軸上。要

6、點三、雙曲線的漸近線(1)已知雙曲線方程求漸近線方程:2 22 2若雙曲線方程為X2打一1，則其漸近線方程為X?打0a ba b已知雙曲線方程，將雙曲線方程中的“常數(shù)”換成“ 0”，然后因式分解即得漸近線方程。(2)已知漸近線方程求雙曲線方程:，根據(jù)已知條件，求出即若雙曲線漸近線方程為 mx ny 0,則可設雙曲線方程為 m2x2 n2y2 可。2 2(3 )與雙曲線X2- y2-1有公共漸近線的雙曲線a b2與雙曲線x_a2 y b21有公共漸近線的雙曲線方程可設為2；2 (0)(0，焦點在x軸上,0，焦點在y軸上)(4)等軸雙曲線的漸近線等軸雙曲線的兩條漸近線互相垂直，為y x，因此等軸雙

7、曲線可設為x2y2(0).要點四、雙曲線中a,b,c的幾何意義及有關線段的幾何特征：雙曲線標準方程中，a、b、c三個量的大小與坐標系無關，是由雙曲線本身的形狀大小所確定的，分別表示雙曲線的實半軸長、虛半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關系為：c> b>0, c>a>0，且2.2 2c =b +a。2 2雙曲線x2 y21 (a 0,b0)，如圖：a b(1)實軸長IAAJ 2a，虛軸長2b,焦距IRF2I 2c,(2 )離心率:|PR| IPF2I lARI|PMj IPM2I 兩|I A2F2 |人&|(3)頂點到焦點的距離:lAFIAF2I c a,

8、 IAF2I IafJ a c ；PF1F2中結(jié)合定義PF1PF22a與余弦定理，將有關線段|pfJ、PF2、RF2I和角結(jié)合(5)與焦點三角形 PF1F2有關的計算問題時，?？紤]到用雙曲線的定義及余弦定理(或勾股定理)三角形面積公式s pFlF22PF|PF2SinF,PF相結(jié)合的方法進行計算與解題，將有關線段PFi、PF?|、|FiF2|， 有關角 RPF2結(jié)合起來，建立|PF2| |pf2|> |pfJ|pf2|之間的關系.【典型例題】類型一：雙曲線的簡單幾何性質(zhì)【高清課堂：雙曲線的性質(zhì)356749例1】例1.求雙曲線16x2 9y2 144的實軸長和虛軸長、頂點坐標、焦點坐標、漸

9、近線方程與離心率【解析】把方程化為標準方程x2161 ,由此可知實半軸長 a 3 ,虛半軸長b 4 , ca2 b2 5雙曲線的實軸長2a 6，虛軸長2b8，頂點坐標(0, 3), (0,3)，焦點坐標(0, 5) , (0,5),c 5離心率e，漸近線方程為ya 3【總結(jié)升華】在幾何性質(zhì)的討論中要注意3_x4a和2a, b和2b的區(qū)別，另外也要注意焦點所在軸的不同,幾何量也有不同的表示舉一反三：【變式1】雙曲線mX+ y2= 1的虛軸長是實軸長的A.14【答案】A2倍，則m等于()B.C. 41D.4【變式2】已知雙曲線2 28kx ky =2的一個焦點為(0, |)，貝U k的值等于()A

10、.- 2 B . 1 C【答案】C類型二：雙曲線的漸近線例2.已知雙曲線方程，求漸近線方程。2(1) X92y6 1 ；(2)2y16【解析】(1)雙曲線2 2x y1的漸近線方程為:2 2x- -y- 0916(2)雙曲線2 2x y 1的漸近線方程為:9162L 0164 _x3【總結(jié)升華】雙曲線2x2a2y21 (a 0,b0)的漸近線方程為b雙曲線2y2a2xb2線方程為x-y，即 a-x ;若雙曲線的方程為b2x2m2y2nm、o,0，焦點在1的漸近x軸上，0,焦點在y軸上)，則其漸近線方程為2x2m2y2n舉一反三:【變式1】求下列雙曲線方程的漸近線方程2(1 ) x162y36(

11、2)x2 2y2(3)2x272【答案】(1)3 -x2(2)y(3)2x【變式2】中心在坐標原點,離心率為55的圓錐曲線的焦點在3y軸上，則它的漸近線方程為()A. y【答案】5-x B4D例3.根據(jù)下列條件,求雙曲線方程。x2(1)與雙曲線92y1有共同的漸近線，且過點16(3,2 .3)(2)漸近線方程為3x 2y 0,且雙曲線過點M (8,6 . 3)【解析】(1)解法一:當焦點在x軸上時，設雙曲線的方程為2x2a2 y b2由題意，得aL2a433)2(2_3)2b2，解得a2b24所以雙曲線的方程為4x22當焦點在y軸上時，設雙曲線的方程為y x a2 b2由題意，得17去舍綜上所

12、得，雙曲線的方程為 4x9解法二：設所求雙曲線方程為2y160),將點(3,2.3)代入得x2所以雙曲線方程為92y164x29(2)依題意知雙曲線兩漸近線的方程是0.x2故設雙曲線方程為一4點M (8,6 .3)在雙曲線上,，解得所求雙曲線方程為2y16 361.【總結(jié)升華】求雙曲線的方程，關鍵是求ax by 0 ,可設雙曲線方程為在解題過程中應熟悉各元素( a、b、c、e及準線)之間的關系，并注意方程思想的應用。若已知雙曲線的漸近線方程a2x2 b2y2(0).舉一反三：2【變式1】中心在原點，一個焦點在(0,3), 一條漸近線為yx的雙曲線方程是()3A. 5x25y21B.5x25y2

13、136543654J3x213y21D.13x213y2181368136【答案】D【變式2】過點(2 ,2-2）且與雙曲線x2y1有公共漸近線的雙曲線是（）2222 2A yx1B.x y1a. y2442222 2C. yx1D.x y14224【答案】A0）的漸近線方程為3x 2y 0，則a的值為D. 1A. 4B.3C.2【答案】C22222 2【變式3】設雙曲線x2 y i（aa 9【變式4】雙曲線X2y21與X2y2a b a b（0）有相同的（）D.以上都不對A.實軸 B .焦點 C.漸近線【答案】C類型三：求雙曲線的離心率或離心率的取值圍2x例4.已知h,F2是雙曲線 2a2

14、y b21(ab 0）的左、右焦點，過R且垂直于x軸的直線與雙曲線的左支交于A、B兩點，若 ABF2是正三角形，求雙曲線的離心率。【解析】t |卩店2 | 2c , ABF2是正三角形,-1 AR |2ctan30 2%,3| AF2 | 2c tan302c4*3ccos30 3-I AF2 |2-32.3 小c c 2a ,求雙曲線離心率的關鍵是由條件尋求【總結(jié)升華】雙曲線的離心率是雙曲線幾何性質(zhì)的一個重要參數(shù),a、c滿足的關系式，從而求出e舉一反三:【高清課堂：雙曲線的性質(zhì)356749 例 2】【變式1】2 2(1)已知雙曲線x2y2a b1(a 0,b0)的離心率 e23 ,3過點A(

15、0,-b)和B(a,0)的直線與原點間的距離為3，求雙曲線的方程.2(2)求過點(-1,3)，且和雙曲線2 2X y1有共同漸近線的雙曲線方程492【答案】(1) x_32 2(2) 4y- X- 1 273【變式2】等軸雙曲線的離心率為【答案】.2y2 1【變式3】已知a、b、c分別為雙曲線的實半軸長、虛半軸長、半焦距，且方程ax2 + bx+ c = 0 無實根,則雙曲線離心率的取值圍是 ()A. 1<e< 5 2 B . 1<e<2C. 1<e<3 D . 1<e<2+ . 5【答案】D類型五：雙曲線的焦點三角形例5 .已知雙曲線實軸長6,過左焦點F1的弦交左半支于 A、B兩點，且|AB| 8，設右焦點F2，求 ABF2 的周長【解析】由雙曲線的定義有:| AF21 | AF1 | 6, |BF2| |BF1 | 6 ,- (|AF2| |BF2|) (| AF1 | | BF1 |) 12.即(|AF2| |BF2|) |AB| 12二 | AF2 | |BF2| 12 | AB| 20.故 ABF2 的周長 L |AF2| |BF2 | | AB| 28.【總結(jié)升華】雙曲線的焦點三角形中涉及了雙曲線的特征幾何量，在雙曲線的焦點三角形