雙曲線導(dǎo)學(xué)案及答案

1、2014級(jí)高三理科數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案平面解析幾何編制：高春芳第二講雙曲線（2課時(shí)）【考試說(shuō)明】1.了雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)審閱：厲強(qiáng)班級(jí)姓名（范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率、）2.理解數(shù)形結(jié)合的思想.3. 了解雙曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用【知識(shí)聚焦】（必須清楚、必須牢記）1. 雙曲線定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) F1,尸2的 等于常數(shù)（小于1尸2|）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做,兩焦點(diǎn)間的距離叫做 集合PAMAMFAMFA=2a,尸滬2|=2&其中a, c為常數(shù)且a0, 00.（ 1）當(dāng) 時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是雙曲線；（2）當(dāng) 時(shí)，戶點(diǎn)的軌跡是兩條射線;（3）當(dāng)時(shí)，P點(diǎn)不存在.2. 雙曲線的標(biāo)

2、準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程，=l(a0, QO)2 2事一春 -1(。0, Z?0)圖形性質(zhì)范圍對(duì)稱性頂點(diǎn)漸近線離心率實(shí)虛軸線段AIA2 nq做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng) |/1旬|=;線段B血叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)1角位1=: a叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)力叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)a、 b、c 的關(guān)系2c =(ca0, cb0)條漸近線互相垂直雙曲一般可設(shè)其方程線X2 一心率入W雙。曲線為等軸雙曲線的充要條件，且等軸雙曲線兩4. 巧設(shè)雙曲線方程（1）與雙曲線分一分 =1 （ a0, 30 ）有共同漸近線的方程可表示為，一去=頃夭0）2 2（2）過(guò)已知兩個(gè)點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為*+%= 1 （mn 0)的漸近線

3、方程為 3x戈*=0,則。的值為()A.4B.3C.2D.12 2 2 27 ( 2013 ?湖北)已知0。號(hào)則雙曲線 Ci：鹽-蠢=1與C2 :念-昴翥詼=1的()A.實(shí)軸長(zhǎng)相等B.虛軸長(zhǎng)相等C.焦距相等D.離心率相等2 28. 已知曲線方程土 7一土 T=l ，若方程表示雙曲線，則人的取值范圍是 人十 2 乂十 1 【課堂考點(diǎn)探究】探究點(diǎn)一雙曲線定義的應(yīng)用例1 1.已知圓C1: 3 + 3) 2+ ,2= 1和圓。2 : ( X 3) 2+ ,2 = 9,動(dòng)圓M同時(shí)與圓 G及圓相外切，則動(dòng)圓圓心的軌 跡 方程為 .2,設(shè)P是雙曲線 _ 士的一點(diǎn)，F(xiàn)1F2分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，若為 =9則

4、|辨2| =()A.l B.17C.1 或 17 D .以上答案均不對(duì)總結(jié)反思探究點(diǎn)二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法例 2 1. 根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)虛軸長(zhǎng)為 12,離心率為 j；(2)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn) 03,2寸)和 06 點(diǎn)， -7). 222 .(2014 ?天津)已知雙曲線會(huì)一|i=l(a0, Q0)的一條漸近線平行于直線/: ，-2X+10,雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線I 上，則雙曲線的方程為()x2 v2x2 y23x2 3y23x2 3y220 - 1B.赤一；=1C.赤一D-T00 -2?=1總結(jié)反思變式題(l)2015? 課標(biāo)全國(guó)II )已知雙曲線過(guò)點(diǎn)(4, 3) ，且漸近線方

5、程為 = 士，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為2)設(shè)橢圓 G 的離心率為吉，焦點(diǎn)在x軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 26,若曲線C2上的點(diǎn)到橢圓G 的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于 8,則曲線 G 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .探究點(diǎn)三雙曲線的幾何性質(zhì)2 2/, 與另一條漸近線交于點(diǎn) 若商 =2例3 (1)過(guò)雙曲線營(yíng)一 *=l (a 0,人 0)的一個(gè)焦點(diǎn)尸作一條漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)兩，則此雙曲線的離心率為()A應(yīng)B淚C. 22014 級(jí)高三理科數(shù)學(xué) 導(dǎo)學(xué)案 平面解析幾何 (2)(2015- 山東)平面直角坐標(biāo)系 xQv 中，雙曲線。:力一關(guān)D.y/5編制:高春芳2 2=l(a 0, Q0)的漸近線與拋物線審閱:厲強(qiáng)C2: x2=

6、2py(p 0)交于點(diǎn)O, A, 3若厶048的垂心為 G的焦點(diǎn)，貝U Ci的離心率為總結(jié)反思變式題(2015?重慶)設(shè)雙曲線食一=l(a 0, 3 0)的右焦點(diǎn)是尸，左，右頂點(diǎn)分別是 A.,過(guò)尸作&勺垂線與雙曲線交于B, C兩點(diǎn)，若AxBLA2C,則該雙曲線的漸近線的斜率為()A. B.-C. D.(2015-湖北)將離心率為ei的雙曲線Cj的實(shí)半軸長(zhǎng)a和虛半軸長(zhǎng)b(奸b)同時(shí)增加傾0)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到離心率 為的雙曲線G,貝M )A.對(duì)任意的b, C v e2B.當(dāng)時(shí)，e v e2;當(dāng)時(shí)，ei e?C.對(duì)任意的 Q, b,。1。2D.當(dāng) Q b 時(shí)，幻。2;當(dāng) QV/)時(shí)，C V e2探究

7、點(diǎn)四直線與雙曲線的綜合問(wèn)題2例4 (1)(2015-四川)過(guò)雙曲線x2-f=|的右焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于3兩點(diǎn)，則|如|等于()A.翠B. 2a3C. 6 D. 4A32(2)若雙曲線E:分一,2=1(已0)的離心率等于皿，直線 y=kx 1與雙曲線E的右支交于B兩點(diǎn). 求去的取值范圍； 若|/3|=60,點(diǎn)C是雙曲線上一點(diǎn)，且OC=m(OA + OB),求婦m的值.總結(jié)反思變式題己知雙曲線 C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為尸1( 2,0), F?(2, 0),雙曲線C上一點(diǎn)P到月，尸2的距離差的絕對(duì)值等于2.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程； 經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2,l)作直線/交雙曲線C的右支

8、于3兩點(diǎn)，且 M為施的中點(diǎn)，求直線/的方程； 已知定點(diǎn)G(l,2),點(diǎn)。是雙曲線 C右支上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值.2014 級(jí)高三理科數(shù)學(xué)【課后作業(yè)】導(dǎo)學(xué)案平面解析幾何編制：局春芳審閱：厲強(qiáng)1. （ 2015-廣東）己知雙曲線 C :為一春=1的離心率。=東 且其右焦點(diǎn)為尸2 （ 5,0），則雙曲線C的方程為（）2 2A 一 、 =1A4 3一1R 1 B9 16-i2 2 2 2 0 W=1 DE W=1 C16 IU3 I/, 3兩點(diǎn)， |48|為。的實(shí)軸長(zhǎng)的 2 倍， 則 C 的D. 3C的一條漸近線相交于點(diǎn) 4若以C的右焦點(diǎn)為圓心、實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、焦距也成等比數(shù)列，離心率為e2. 則 e】

9、 e2 等于()A#B. 1C.寸D. 22. 設(shè)直線 / 過(guò)雙曲線。的一個(gè)焦點(diǎn)，且與。的一條對(duì)稱軸垂直，與。交于離心率為（）A.A2B.寸C. 22 23. （ 2014-江西）過(guò)雙曲線 C:蘇一*= 1的右頂點(diǎn)作x軸的垂線，與半徑為4的圓經(jīng)過(guò)。兩點(diǎn)（0為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線C的方程為（）2 22 222 2 2A& 匕 =1B& 匕=1C-r=lD -A=1?4 127 98 812 44.( 2015-課標(biāo)全國(guó) I)已知Mg，園是雙曲線。2:上的一點(diǎn)，F(xiàn)i ，形是。的兩個(gè)焦點(diǎn)，若屐1?屈 V0, 則此的取值范圍是（）A(一辛平） B. 平, 刻C.一半翠|D.一半零2 22 25. 已知

10、橢圓土 +%=1 （QiZ）i0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距成等比數(shù)列，離心率為幻；雙曲線土一%=1 （。20，力20）的U2 L?2為 C 上的點(diǎn) . 若 PQ 的長(zhǎng)等于虛軸長(zhǎng)的 2 倍，點(diǎn) A（5, 0）在線段2 26. 已知F為雙曲線C:蕓一東=1的左焦點(diǎn)，P，F(xiàn)Q上，則 PQF的周長(zhǎng)為.2 2 2 27. 已知雙曲線令一辦 =1 的一個(gè)焦點(diǎn)是（ 0,2） ,橢圓；一令 =1 的焦距等于 4,貝! =.8. 若點(diǎn)。和點(diǎn) 2,0）分別為雙曲線務(wù)一尸=1（。 0）的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)尸為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，則瀝?赤的取值范圍為 .9. （2014-浙江）設(shè)直線x3y+m=0 （口人0）與雙曲線

11、角一 *=|（a0, Z?0）的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A,若點(diǎn)P （乙0）滿足|0| = |PB|,則該雙曲線的離心率是 .210. 已知橢圓G的方程為孚+j，2=l,雙曲線。2的左、右焦點(diǎn)分別是 G的左、右頂點(diǎn)，而。 2的左、右頂點(diǎn)分別是 G的左、 右焦點(diǎn) .（1）求雙曲線 G 的方程 ;（ 2）若直線 /:y=kx+A2 與雙曲線 G 恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn) / 和且蕩?苞 2（其 中。為原點(diǎn)） ， 求 k 的取值范圍 .雙曲線參考答案【基礎(chǔ)回眸】1.答案 A 解析 由題意得 b=2a,又 a2+b2=c29 5a2=c. e =A= 5, e=y5.2. 答案A解析由雙曲線漸近線方程的求法知：

12、雙曲線x2-A-= 1的漸近線方程為=2x，故選A.2 23. 答案A解析 因?yàn)?EV9,所以兩條曲線都表示雙曲線.雙曲線方一衣=1的實(shí)半軸長(zhǎng)為5,虛半軸長(zhǎng)為仍二I焦距為2寸25 + （ 9 5=2434_奴離心率為 . 雙曲線？二廠 =1的實(shí)半軸長(zhǎng)為-25 1,虛半軸長(zhǎng)為3,焦距 DZD K為2寸（25T） +9=234f離心率為定故兩曲線只有焦距相等.故選A.a/25-A|4. 山解析 雙曲線。的標(biāo)準(zhǔn)方程為一 01 （仞），其漸近線方程為 =*、，即何=危，不妨選取右焦點(diǎn)V3m + 3 =F（yj3m+3,0）到其中一條漸近線x-yAiy= 0的距離求解，得 d=y/3.y/m+ 15.

13、七一 %= 1解析設(shè)雙曲線的方程為分一京=1 （。0）把點(diǎn)力（3, 1）代入，得a2=8 9故所求方程為令一 Y=L36. C解：由雙曲線方程可知漸近線方程為y= 土x,又 6z0,可知 a=2.故選 C.7.D解：易知雙曲線G實(shí)軸長(zhǎng)為2cos。，虛軸長(zhǎng)為2sin0,解得人 V 2 或 4 1.【典例精講】例 11. J親=i (.w 1)2.B1. 解析 如圖所示，設(shè)動(dòng)圓 M與圓G及圓G分別外切于/和 根據(jù)兩圓外切的條件，得 MQACi = MA, |A/C2|-BCa = MB,因?yàn)?MA = MB,所 nMC x-ACA = MCA-BCa,EP MC 2- |A/C 1 I = |5C

14、2卜C I=2,所以點(diǎn)M到兩定點(diǎn) G、C2的距離的差是常數(shù)且小于OG| = 6.又根據(jù)雙曲線的定義，得動(dòng)點(diǎn)以的軌跡為雙曲線的左支（點(diǎn)M與C2的距離大，與 G的距離?。?其中0=1, C=3 9則b2 = 8.故點(diǎn)Af的軌跡方程為 J專=i （xW 1）.例2解（1）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為2222S人2春=1 或事一赤=1 (。0, b0 ).由題意知，23=12, e=A. .b=6, c=10 9 a=8.2 2 2 2.? ?雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為翥一會(huì)=1或6436=1(2)設(shè)雙曲線方程為 mx2 ny2 = 1 ( mw0)9m 28 =1,72E = 1,解得75, 2 2.?雙曲線的標(biāo)

15、準(zhǔn)方程為會(huì)一會(huì)=1 ?I (I yQx 與直線 y=2x+10 上, 2c+10 = 0, c=5. .*.tz2 + Z?2 = c2=25.將b=2a代入上式得a =5, Z?2=20,故雙曲線的方程為普一京=】.2 2 2變式 答案(1壽一 /=1 (2扁 =1解析(1)由雙曲線漸近線方程為*= ,可設(shè)該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為孚一寸 所以彳一(、/5)2 =人，即2=1,故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為丁=1.=椰乂 0),已知該雙曲線過(guò)點(diǎn)(4, V3), A2由題意知橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)為尸1( 5,0), F2(5,0),設(shè)曲線G上的一點(diǎn)2 2=4, b=3.故曲線G的標(biāo)準(zhǔn)方程為奈一導(dǎo)=1.即七一

16、=】？由雙曲線的定義知：。R W|PF1|-|PF2| = 8.2 2例3答案(1) C (2)解析(1)如圖，:EB=2E4, . ?.，為線段既的中點(diǎn)，：.Z2=Z3.又 Z1 = Z2,Z2 = 60 , .?.g=tan 60 =0,? e=2.(2)由題意，不妨設(shè)直線。/的方程為y=%x,直線0B的方程為，變式答案(1)C (2)B2 2的右焦點(diǎn)F(c,0),左，右頂點(diǎn)分別為6 Q oe,則 e2=Aj= a 1/1%_by a 得 x=2p Kc, j=2py,解析(1)如圖，雙曲線的焦點(diǎn)為F,則Ro,圣易求職而，-5,史I!則 kA2C=A, kAxB=j,又 / 宙與 4?C

17、垂直, d i Cb2 b2則有曲1&初2=1，即- 一 =1, A a2=b29即a=b,?漸近線斜率左c a=- = 1.arc acI (hh b+ yhh b+mI幻=yl +-i 9e2= yj 1 + ； C+,2.不妨令ei0)，得，得b。時(shí)，有?云福,h h Hi即幻。2；當(dāng)ba時(shí)，有一v ,即e,A (2k)24(1 A) X ( 2)0,B 兩點(diǎn)，故I 2 2_1 Lx y 1, 得(1 W+2A-2 = 0.(*).? 直線與雙曲線右支交于亡160.故去的取值范圍是印疝:kl, 所以yl2kyl2 9由 (*) 得 + %2 = *_ ，工 1、2 = .2_ ,? |

18、刀司=寸 1 + 尸 W(X1 +、2)2 4 工 1、2 =(上 2A )2 = 6A3 ,整理得 28 尸一 55*+25=0,.= ：或上 2=j, 又 16丹|+必做題】1. C解析因?yàn)樗箅p曲線的右焦點(diǎn)為形。，。）且離心率為 e= i，所以c=5, a=4, b2 = c2a2=9,所以所求2 2雙曲線方程為 蒜- 卷=1, 故選 C.2. 答案 B解析設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，一=(a0, 30),由于直線Z過(guò)雙曲線的焦點(diǎn)且與對(duì)稱軸垂直，因此直線Z的方程為：x=c 或 x=c,代入圭一分 =1 得 y2 = b 2(a2 l)=Ai, :.y=A,故AB=A,依題意斗=物，,-A=2

19、aLT cz出.LTLLTLL2C2Q2- Qe21=2, .?.&=X3.答案 A 解析由 b得x=a,.A(a, b). 由題意知右焦點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為c=4,y= xy=-b 2 2?，./(。一 4 尸 +( 8)2=4,即(6z 4)2+ZJ2=16.而疽 + 尸二懷，；.a=2, b = 2 吏.二雙曲線。的方程為普一3=上4. 答案 A解析 由題意知 皿,b=l, c=y3, :.F (y3, 0), F2(y3, 0),/.MF = ( y3 xo, 一 Vo)，MF2=(y3 x() , 一*o) ? a/3x() )(y3 %o) +人0?即工 33+費(fèi),因此 FQF的周長(zhǎng)為 |FF| + |Q 尸| +”Q|=28 + 16=44.7. 答案 52 2解析因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)是 (0,2),所以焦點(diǎn)在軸上，所以雙曲線的方程為專 ;一與=1,即 a2=3m, b2=m,2所以 c2=3mm = 4m=4, 解得 m = l .所以橢圓方程為 A+x2=l, 且0,橢圓的焦距為 4,所以 c2=nl=4 或 1 一=4,解得=5 或一 3(舍去 ).28. 答案3+20, + )解析 由條件知 tz2+l22=4, .*.a2=3,雙曲線方程為司一y2= 1,_ _ 2 2設(shè) F 點(diǎn)坐標(biāo)為(x, y),則 OP=