球的內(nèi)切與外接問題等邊三角形與正四面體之間的關(guān)系

1、處理球的“內(nèi)切”“外接”問題1、已知正三角形的邊長為，則三角形的高為：；重心分中線的比為，即；2、 知正四面體的棱長為，則正四面體的表面積為：，正四面體的高：；正四面體的體積：；直線與所成的角為:正四面體的外接球半徑：；正四面體的內(nèi)切球半徑：；3、已知球的半徑為，則球的表面積；體積；內(nèi)接正四面體的棱長為：外切正四面體的棱長為：4、正方體的內(nèi)切球：設(shè)正方體的棱長為，求（1）內(nèi)切球半徑；（2）外接球半徑；（3）與棱相切的球半徑。（1）截面圖為正方形的內(nèi)切圓，得；（2）與正方體各棱相切的球：球與正方體的各棱相切，切點(diǎn)為各棱的中點(diǎn)，如圖4作截面圖，圓為正方形的外接圓，易得。正方體的外接球：正方體的八個

2、頂點(diǎn)都在球面上，如圖5，以對角面作截面圖得，圓為矩形的外接圓，易得。例1、在球面上有四個點(diǎn)、.如果、兩兩互相垂直，且,求這個球的表面積是.【構(gòu)造直三角形，巧解正棱柱與球的組合問題正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心連線的中點(diǎn)處，由球心、底面中心及底面一頂點(diǎn)構(gòu)成的直角三角形便可得球半徑。】例2、已知底面邊長為正三棱柱的六個頂點(diǎn)在球上，又知球與此正三棱柱的5個面都相切，求球與球的體積之比與表面積之比。分析：先畫出過球心的截面圖，再來探求半徑之間的關(guān)系。解：如圖6，由題意得兩球心、是重合的，過正三棱柱的一條側(cè)棱和它們的球心作截面，設(shè)正三棱柱底面邊長為，則，正三棱柱的高為，由中，得，例3、正三棱錐，

3、底面邊長為3，側(cè)棱長為2，則其外接球和內(nèi)切球的半徑是多少？例4、正四棱錐，底面邊長為2，側(cè)棱長為3，則其外接球和內(nèi)切球的半徑是多少？練習(xí)：1. （球內(nèi)接正四面體問題）一個四面體的所有棱長都為，四個頂點(diǎn)在同一球面上，則此球 的表面積為 2. （球內(nèi)接長方體問題）一個長方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個頂點(diǎn)上的三條棱的長分別為1，2，3，則此球的表面積為 。3設(shè)是球面上的四點(diǎn),且兩兩互相垂直,若,則球心到截面的距離是 .4.（球內(nèi)接正三棱錐問題）在正三棱錐中，側(cè)棱，側(cè)棱，則此正三棱錐的外接球的表面積為 5.（球內(nèi)接棱柱問題） 若一個底面邊長為，棱長為的正六棱柱的所有頂點(diǎn)都在一個平面上，則此球的體積為 6.（正三棱柱內(nèi)切球、外接球問題）一個正三棱柱恰好有一個內(nèi)切球(球與三棱柱的兩個底面和三個側(cè)面都相切)和一個外接球(球經(jīng)過三棱柱的6個頂點(diǎn)),則此內(nèi)切球與外接球表面積之比為 。7.（球內(nèi)接正四棱錐問題）半徑為的球內(nèi)接一個各棱長都相等的正四棱錐則四棱錐的體積為 8.（正三棱錐球內(nèi)切問題） 正三棱錐的高為3，底面邊長為，正三棱錐內(nèi)有一個球與其四個面相切則球的表面積與體積分別為 9. 三棱錐的兩條棱,其余各棱長均為，求三棱錐的內(nèi)切球半徑.說明：球與正三棱錐四個面相切，實(shí)際上，球是正三棱錐的內(nèi)切球，球心到正三棱錐的四個面的距離相等，都為球半