矩陣單元綜合測試題

1、矩陣單元綜合測試題 一、填空題（每小題1分，滿分14分）1設(shè)A，B是數(shù)域F上的兩個(gè)矩陣，如果A與B能夠相加，則A與B必是同型矩陣。2.設(shè)A,B,C為n階方陣且可逆，則當(dāng)AB=C時(shí)，B=.5.三階初等矩陣是。6.設(shè)A是數(shù)域F上的n階方陣，則f(A)是數(shù)域F上的n階方陣，且.7.若A為對(duì)合矩陣（即），則A 一定可逆，且8.若A的秩為r,則A的標(biāo)準(zhǔn)型為。9.若10.設(shè)A是n階矩陣，則A可逆的充要條件r(A)=n、或 或 或A可以表示成一些初等矩陣的乘積。11設(shè)。12設(shè)。13如果向量組線性無關(guān)，那么它的任意一個(gè)非空部分組線性 無關(guān)；如果中有一部分向量線性相關(guān)，那么整個(gè)向量組線性相關(guān)。14.設(shè)向量組線性

2、無關(guān)，向量組可由向量組線性表出，且則向量組線性無關(guān)。二、判斷題（每小題1分，滿分14分）1.若方陣A對(duì)任意的同階方陣B都有AB=B，則必有A=I。（）2.設(shè) （×） （×）4.若AB=AC，且A0，則B=C。 （×）5.上（下）三角矩陣可逆的充要條件是它的所有主對(duì)角線上的元素都是非零數(shù)。 （）6.可逆的對(duì)稱矩陣的逆矩陣仍是對(duì)稱矩陣。 （）7.設(shè)是第三類初等矩陣，則有 （）8.若r(A)=r,則A至少有一個(gè)r-1階子式不等于零。 （）9.AB=B的充要條件是A=I。 （×）10.對(duì)于分塊矩陣，必有r(C)=r(A)+r(B). ()11.若 A+B與 A-

3、B均可逆，則A，B一定可逆。 （×）12. 可逆矩陣與不可逆矩陣之和必為不可逆矩陣。 （×）13.設(shè)向量組線性無關(guān)，則組 的秩為3. （）14.設(shè)如果線性相關(guān)，則線性相關(guān)。（）三、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，滿分24分）1.下列結(jié)論正確的是（ C ）（A）兩個(gè)矩陣可相加一定可乘；(B）兩個(gè)矩陣可乘一定可相加；（C）兩個(gè)矩陣既可相加又可相乘，這兩個(gè)矩陣一定是方陣；（D）在中可普遍施行矩陣的加法和乘法。2以下結(jié)論正確的只有（ B ）（A）初等矩陣的逆矩陣是本身； （B）初等矩陣的逆矩陣是同類初等矩陣；（C）初等矩陣的乘積仍是初等矩陣；（D）任一個(gè)n階矩陣都可以寫成初等矩陣的乘積形式

4、。3下列結(jié)論不正確的是（ D ）（A）n階矩陣M可逆的充要條件是；（B）n階矩陣M可逆的充要條件是存在可逆矩陣P使得MP=I；（C）n階矩陣M可逆的充要條件是它可以表成初等矩陣的乘積；（）n階矩陣M可逆的充要條件是它可以表成初等矩陣的和。設(shè)，均為上的可逆矩陣，則（B）矩陣的伴隨矩陣是（A）（A）； （B）；（C）； （D）6設(shè)A，B為n階矩陣，且A可逆，秩B=r<n,且秩（AB）=k,則有（ C ）（A）k<r; (B) kr; (C) k=r; (D) r<k<n.7.已知n階方陣等于零的元素個(gè)數(shù)多于個(gè)（位置不論），則必有（ C ）（A）r(A)=0; (B) r(A

5、)=n-1; (C) r(A)<n; (D) r(A)可能等于n.8.設(shè)A，B是任意n階方陣，則（ D ）（A）r(AB)=maxr(A),r(B); (B) r(AB)=minr(A),r(B);(C) r(AB)=r(BA) (D) 以上三個(gè)結(jié)論都不正確。9設(shè)3階方陣A的行列式的伴隨矩陣，則（A）0； （B） -3； （C） ； （D） ；10設(shè)3階方陣；11. 設(shè)向量組線性無關(guān)，向量可由線性表示，而不能由線性表示，則對(duì)于任意常數(shù)k,必有（A）。（A）線性無關(guān)；（B）線性相關(guān)；（C）線性無關(guān)；（D）線性相關(guān)。12.以下各向量組中線性無關(guān)的向量組為（A）(A) (2,-3,4,1),(

6、5,2,7,1),(-1,-3,5,5)(B) (12,0,2),(1,1,1),(3,2,1),(4,78,16)(C) (2,3,1,4),(3,1,2,4),(0,0,0,0)(D) (1,2,-3,1),(3,6,-9,3),(3,0,7,7)四、計(jì)算下列各題（每小題4分，滿分20分）1已知解 設(shè)2試將矩陣表為對(duì)稱矩陣與反對(duì)稱矩陣之和。解 令，則B，C為所求。3已知4解矩陣方程 。5.求以下向量組的一個(gè)極大無關(guān)組和向量組的秩。 解 將向量組組成以下矩陣，對(duì)A進(jìn)行初等行變換，化為階梯型矩陣為，由于矩陣的初等行變換不改變矩陣的列向量的線性關(guān)系，而矩陣B的1，2，3，4列向量線性無關(guān)，所以是所給向量組的一個(gè)極大無關(guān)組，所以其秩為4.五、證明下列各題（本題滿分21分）1設(shè)A，B都是n階矩陣，證明：若AB可逆，則A和B都可逆。（5分）證明 因?yàn)锳B可逆，所以，所以A和B都可逆。2設(shè)A，B為同階反對(duì)稱矩陣，證明：AB+BA為對(duì)稱矩陣，AB-BA為反對(duì)稱矩陣。（5分）所以AB+BA為對(duì)稱矩陣，AB-BA為反對(duì)稱矩陣。3設(shè)方陣A適合，證明A可逆。（5分）4.設(shè)向量可由向量組線性表出，但不