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1、用不動(dòng)點(diǎn)法求數(shù)列的通項(xiàng)定義:方程的根稱為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn).利用遞推數(shù)列的不動(dòng)點(diǎn),可將某些遞推關(guān)系所確定的數(shù)列化為等比數(shù)列或較易求通項(xiàng)的數(shù)列,這種方法稱為不動(dòng)點(diǎn)法.定理1:若是的不動(dòng)點(diǎn),滿足遞推關(guān)系,則,即是公比為的等比數(shù)列.證明:因?yàn)?是的不動(dòng)點(diǎn)由得所以是公比為的等比數(shù)列.定理2:設(shè),滿足遞推關(guān)系,初值條件(1):若有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn),則 (這里)(2):若只有唯一不動(dòng)點(diǎn),則 (這里)證明:由得,所以(1)因?yàn)槭遣粍?dòng)點(diǎn),所以,所以令,則(2)因?yàn)槭欠匠痰奈ㄒ唤?,所以所以,所以所以令,則 例1:設(shè)滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式例2:數(shù)列滿足下列關(guān)系:,求數(shù)列的通項(xiàng)公式定理3:設(shè)函數(shù)有兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn),且由確
2、定著數(shù)列,那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),證明: 是的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn) 即 于是, 方程組有唯一解例3:已知數(shù)列中,求數(shù)列的通項(xiàng).其實(shí)不動(dòng)點(diǎn)法除了解決上面所考慮的求數(shù)列通項(xiàng)的幾種情形,還可以解決如下問(wèn)題:例4:已知且,求數(shù)列的通項(xiàng).解: 作函數(shù)為,解方程得的不動(dòng)點(diǎn)為.取,作如下代換:逐次迭代后,得:已知曲線從點(diǎn)向曲線引斜率為的切線,切點(diǎn)為()求數(shù)列的通項(xiàng)公式;()證明:設(shè)為實(shí)數(shù),是方程的兩個(gè)實(shí)根,數(shù)列滿足,()(1)證明:,;(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(3)若,求的前項(xiàng)和已知函數(shù),是方程的兩個(gè)根(),是的導(dǎo)數(shù),設(shè),(1)求的值;(2)證明:對(duì)任意的正整數(shù),都有;(3)記,求數(shù)列的前項(xiàng)和13陜西文21(本小題滿分12分)已知數(shù)列滿足, .令,證明:是等比數(shù)列; ()求的通項(xiàng)公式。2山東文20.(本小題滿分12分)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為, 已知對(duì)任意的 ,點(diǎn),均在函數(shù)且均為
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