用不動(dòng)點(diǎn)法求數(shù)列通項(xiàng)

1、用不動(dòng)點(diǎn)法求數(shù)列的通項(xiàng)定義：方程的根稱為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn).利用遞推數(shù)列的不動(dòng)點(diǎn)，可將某些遞推關(guān)系所確定的數(shù)列化為等比數(shù)列或較易求通項(xiàng)的數(shù)列，這種方法稱為不動(dòng)點(diǎn)法.定理1：若是的不動(dòng)點(diǎn)，滿足遞推關(guān)系，則，即是公比為的等比數(shù)列.證明：因?yàn)?是的不動(dòng)點(diǎn)由得所以是公比為的等比數(shù)列.定理2：設(shè)，滿足遞推關(guān)系，初值條件（1）：若有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，則 （這里）（2）：若只有唯一不動(dòng)點(diǎn)，則 （這里）證明：由得，所以（1）因?yàn)槭遣粍?dòng)點(diǎn)，所以，所以令，則（2）因?yàn)槭欠匠痰奈ㄒ唤?，所以所以，所以所以令，則 例1：設(shè)滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式例2：數(shù)列滿足下列關(guān)系：，求數(shù)列的通項(xiàng)公式定理3：設(shè)函數(shù)有兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn),且由確

2、定著數(shù)列,那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),證明: 是的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn) 即 于是, 方程組有唯一解例3：已知數(shù)列中,求數(shù)列的通項(xiàng).其實(shí)不動(dòng)點(diǎn)法除了解決上面所考慮的求數(shù)列通項(xiàng)的幾種情形,還可以解決如下問(wèn)題:例4：已知且,求數(shù)列的通項(xiàng).解: 作函數(shù)為,解方程得的不動(dòng)點(diǎn)為.取,作如下代換:逐次迭代后,得:已知曲線從點(diǎn)向曲線引斜率為的切線，切點(diǎn)為（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）證明：設(shè)為實(shí)數(shù)，是方程的兩個(gè)實(shí)根，數(shù)列滿足，（）（1）證明：，；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）若，求的前項(xiàng)和已知函數(shù)，是方程的兩個(gè)根（），是的導(dǎo)數(shù)，設(shè)，（1）求的值；（2）證明：對(duì)任意的正整數(shù)，都有；（3）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和13陜西文21（本小題滿分12分）已知數(shù)列滿足， .令，證明：是等比數(shù)列； ()求的通項(xiàng)公式。2山東文20.（本小題滿分12分）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為， 已知對(duì)任意的 ，點(diǎn)，均在函數(shù)且均為